| УЭ1
| основные понятия
Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат. В общем случае это уравнение имеет следующий вид:
При этом предполагается, что хотя бы один из коэффициентов А, В, С не равно нулю.
Любая линия второго порядка представляет собой либо окружность, либо эллипс, либо параболу, либо гиперболу. Другие случаи линий второго порядка называются вырожденными.
1. Окружность
Простейшей кривой второго порядка является окружность. Окружностью называют множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки О на одно и тоже расстояние R. Точка О - центр окружности, R – радиус окружности. Пусть точка О в прямоугольной системе координат Оху имеет координаты  , а  - произвольная точка окружности.
Тогда из условия  получаем уравнение
то есть  (1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением окружности. Это уравнение второй степени относительно х и у. Следовательно, окружность есть кривая второго порядка.
Пример 1.
Найти координаты центра и радиус окружности:
 .
Решение:
Выделяя полные квадраты в левой части данного уравнения, приведем его к виду (1):
 ,
т.е.  . Центр окружности находится в точке (2;-4), а радиус равен 6.
2. Эллипс
Эллипсом называется множество точек на плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Обозначим фокусы через  и  , расстояние между ними 2 с, а постоянную величину, равную сумме расстояний от каждой точки эллипса до фокусов, через 2 а (по условию 2 а >2 c).
Каноническое уравнение эллипса
 (2)
Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Из симметрии эллипса следует, что кроме вершин B(0,b) и A(a,0) Эллипс имеет ещё две вершины  и  . Отрезки  и  соединяют противоположенные вершины эллипса, а так же длины 2а и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа а и b называются большой и малой полуосями эллипса.
Отношение фокального расстояния к длине большой оси называется эксцентриситетом эллипса и обозначается  :
 (3)
Так как с<a, то <1. Эксцентриситет характеризует форму эллипса.
Две прямые, перпендикулярные к Ох и расположенные на расстоянии  от центра, называются директрисами эллипса:
 . (4)
Пример 2.
Дано уравнение эллипса  . Найти:
1) длинны его полуосей;
2) координаты фокусов;
3) эксцентриситет эллипса;
4) уравнения директрис и расстояние между ними;
5) точки эллипса, расстояния от которых до левого фокуса F1 равно 12.
Решение:
Запишем уравнение эллипса в виде (2), разделив обе его части на 1176:
 .
1) Отсюда  .
2) Используя соотношение  ,  . Следовательно, 
3) По формуле  находим: 
4) Уравнения директрис имеют вид  ; расстояние между ними 
5) По формуле  находим абсциссу точек, расстояние от которых до точки  равно 12:  подставляя значения х в уравнение эллипса, найдем ординаты этих точек:  . Условию задачи удовлетворяет точка 
3. Гипербола
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Расстояние между фокусами и обозначим 2с, а постоянную величину, равную модулю разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов 2а (0<2а<2с).
 (5)
уравнение (5) называется каноническим уравнением гиперболы.
Прямые
 и  (6)
Называется асимптотами гиперболы.
Отношение фокального расстояния к длине действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается  :
(7)
Директрисы гиперболы, как и директрисы эллипса, определяются уравнениями
. (8)
Пример 3.
Дано уравнение гиперболы  . Найти:
1) Длины его полуосей;
2) Координаты фокусов;
3) Эксцентриситет гиперболы;
4) Уравнение асимптот и директрис;
5) Фокальные радиусы точки 
Решение:
Разделив обе части уравнения на 20, приведем уравнение гиперболы к каноническому виду
 отсюда:
1) 
2) используя соотношение  , находим  . Отсюда 
3) По формуле находим: 
4) Уравнения асимптот и директрис имеют вид  ;
5) Точка М лежит на правой ветви гиперболы  ,воспользуемся формулами 
4. Парабола
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки F, называется фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Обозначим расстояние от фокуса до директрисы p. Эта величина называется параметром параболы.
Уравнение директрисы имеет вид 
 (9)
Уравнение (9) называется каноническим уравнением параболы.
Пример 4.
Дана парабола  . Найти координаты ее фокуса, уравнение директрисы, длину фокального радиуса точки  .
Решение:
Парабола задана каноническим уравнением, значит  . Используя формулы  ,  находим, что  ; уравнение директрисы имеет вид  ; фокальный радиус точки М равен 
Задания:
1. Найти уравнение окружности, если концы одного из ее диаметров находятся в точках  .
2. Дан эллипс  Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах данного эллипса.
3. Составить уравнение траектории движения точки  , если в любой момент времени она остается равноудаленной от точки  и оси ординат.
4. Привести к каноническому виду и построить кривые, заданные уравнением:
a) 
b) 
| Записать необходимую информацию
Решить задания, проверить ответы.
|
