 |
Раздел 10. Дифференциальные уравнения
|
|
|
|
Программа дисциплины
Раздел 1. Введение. Функции одной переменной
Роль математики в экономике и практике. Понятие множества. Операции над множествами.
Определение функции одной переменной. Способы задания. Монотонные функции. Ограниченные и неограниченные функции. Чётные и нечётные функции. Сложная функция. Обратная функция. Основные элементарные функции (область определения, график, характеристики поведения). Примеры поведения элементарных функций в экономике (функция спроса, предложения, издержек и т.д.)
Раздел 2. Теория пределов
Числовая последовательность (определение, обозначение, способы задания). Предел числовой последовательности. Геометрическая интерпретация предела. Теоремы об единственности предела, об ограниченности сходящейся последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие величины (последовательности). Связь между ними.
Свойства бесконечно малых последовательностей. Связь сходящихся последовательностей с бесконечно малым (второе определение предела последовательности). Арифметические операции над последовательностями. Предельный переход в равенствах и неравенствах. Достаточное условие сходимости монотонной последовательности. Предел функции (на языке последовательности).
Раскрытие неопределённостей различных видов. Первый и второй замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые.
Раздел 3. Непрерывные функции
Односторонние пределы. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация. Свойства функций непрерывных на отрезке. Приращение функции. Второе определение непрерывности функции в точке.
Раздел 4. Производная функции одной переменной
|
|
|
Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, её геометрический, механический, экономический смысл. Уравнение касательной. Производная, как показатель мгновенного прироста или скорости изменения функции. Простейшие предельные характеристики из экономического анализа (предельная выручка, предельный доход, предельные издержки, предельная прибыль...). Эластичность функции и ее свойства.
Непрерывность дифференцируемой функции. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производная обратной функции. Производная сложной функции. Логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков. Дифференциал функций, его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала в приближённых вычислениях.
Раздел 5. Теоремы дифференциального вычисления. Исследование функций и построение графиков
Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа. Правило Лопиталя. Признак постоянства функции. Необходимое и достаточное условие монотонности. Экстремум функции одной переменной. Достаточные условия монотонности (первое и второе). Наибольшее и наименьшее значение функции. Задачи на экстремум с экономическим содержанием.
Выпуклость, вогнутость функции y=f(x). Точки перегиба. Асимптоты функции. Схема исследования функции.
Раздел 6. Функции нескольких переменных
Функции нескольких переменных (основные определения). Функция двух переменных. График функции двух переменных. Линии уровня. Предел и непрерывность функции двух переменных. Частные приращения. Частные производные. Полное приращение. Полный дифференциал.
Частные производные высших порядков. Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Условный экстремум. Метод наименьших квадратов.
|
|
|
Производная по направлению. Градиент функции. Понятие о градиентных методах в задачах оптимизации.
Раздел 7. Неопределенный интеграл
Первообразная и ее свойства. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. Замена переменной, интегрирование по частям. Интегрирование иррациональных функций. Интегрирование рациональных дробей, интегрирование тригонометрических функций. Понятие о неберущихся интегралах.
Раздел 8. Определённый интеграл
Понятие определённого интеграла, его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла. Определённый интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона – Лейбница. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определённом интеграле. Геометрические приложения определённого интеграла. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл Пуассона. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Приближённое вычисление определённых интегралов.
Экономический смысл определённого интеграла. Использование определённого интеграла в экономике.
Раздел 9. Ряды
Числовой ряд. Сходимость ряда. Геометрический ряд. Свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости. Сравнение рядов с положительными членами. Признак Даламбера. Интегральный признак. Обобщённо-гармонический ряд. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Степенной ряд. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда.
Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Примеры разложения функций в ряд Маклорена. Применение рядов в приближённых вычислениях.
Раздел 10. Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения (определение; порядок; общее решение; частное решение). Дифференциальные уравнения первого порядка; уравнения с разделяющимися переменными; однородные уравнения; линейные уравнения. Математические модели экономического роста.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (однородные и неоднородные).
|
|
|
