 |
Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
|
|
|
|
Формула скалярного произведения векторов для плоских задач
В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {ax; ay} и b = {bx; by} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = ax · bx + ay · by
Векторное произведение векторов: определение свойства, геометрический смысл модуля. Векторное произведение векторов, заданных координатами.
Определение. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c (рис. 1).
|
| рис. 1 |
Формулы вычисления векторного произведения векторов
Векторное произведение двух векторов a = {ax; ay; az} и b = {bx; by; bz} в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:
| a × b = | i | j | k | = i(aybz - azby) - j(axbz - azbx) + k(axby - aybx) |
| ax | ay | az | ||
| bx | by | bz |
a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}
Свойства векторного произведения векторов
- Геометрический смысл векторного произведения.
Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:
Sпарал = [a × b]
- Геометрический смысл векторного произведения.
Площадь треугольника построенного на векторах a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:
| SΔ = | |a × b| | |
- Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когдавектора коллинеарны.
- Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.
- a × b = -b × a
- (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
- (a + b) × c = a × c + b × c
|
|
|
Примеры задач на вычисления векторного произведения векторов
Пример 1. Найти векторное произведение векторов a = {1; 2; 3} и b = {2; 1; -2}.
Решение:
| a × b = | i | j | k | = |
| -2 |
= i (2 · (-2) - 3 · 1) - j (1 · (-2) - 2 · 3) + k (1 · 1 - 2 · 2) =
= i (-4 - 3) - j (-2 - 6) + k (1 - 4) = -7 i + 8 j - 3 k = {-7; 8; -3}
Пример 2. Найти площадь треугольника образованного векторамиa = {-1; 2; -2} и b = {2; 1; -1}.
Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:
| a × b = | i | j | k | = |
| -1 | -2 | |||
| -1 |
= i (2 · (-1) - (-2) · 1) - j ((-1) · (-1) - (-2) · 2) + k ((-1) · 1 - 2 · 2) =
= i (-2 + 2) - j (1 + 4) + k (-1 - 4) = -5 j - 5 k = {0; -5; -5}
Из свойств векторного произведения:
| SΔ = | |a × b| = | √02 + 52 + 52 = | √25 + 25 = | √50 = | 5√2 | ||||
Ответ: SΔ = 2.5√2.
Смешанное произведение векторов: определение, свойства, геометрический смысл. Смешанное произведение по координатам векторов?
Определение. Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c.
Формулы вычисления смешанного произведения векторов
Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.
Смешанное произведение векторов a = {ax; ay; az}, b = {bx; by; bz} и c = {cx; cy; cz} в декартовой системе координат можно вычислить, используя следующую формулу:
| a · [b × c] = | ax | ay | az |
| bx | by | bz | |
| cx | cy | cz |
Свойства смешанного произведения векторов
- Геометрический смысл смешанного произведения.
Модуль смешанного произведения трех векторов a, b и с равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами:
Vпарал = |a · [b × c]|
- Геометрический смысл смешанного произведения.
Объем пирамиды образованной тремя векторами a, b и с равен одной шестой части от модуля смешанного произведения этих векторов:
| Vпир = | |a · [b × c]| | |
- Если смешанного произведения трех не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора компланарные.
- a · [b × c] = b · (a · c) - c · (a · b)
- a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = -a · [c × b] = -b · [a × c] = -c · [b × a]
- a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 - тождество Якоби.
Примеры задач на вычисления смешанного произведения векторов
|
|
|
Пример 1. Найти смешанное произведение векторов a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.
Решение:
| a · [b × с] = | = | |||
= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2
Пример 2.
Найти объем пирамиды построенной на векторах a = {1; 2; 3},b = {1; -1; 1}, c = {2; 0; -1}.
Решение: Найдем смешанное произведение этих векторов:
| a · [b × с] = | = | |||
| -1 | ||||
| -1 |
= 1·(-1)·(-1) + 2·1·2 + 3·1·0 - 3·(-1)·2 - 2·1·(-1) - 1·1·0 =
= 1 + 4 + 0 + 6 + 2 - 0 = 13
Найдем объем пирамиды воспользовавшись свойствами:
| Vпир = | |a · [b × c]| = | = 2 | |||
|
|
|
