Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Примеры вычисления вектора угловой скорости

Углы Эйлера. Традиционно углы Эйлера вводятся следующим образом. Переход из отсчетного положения в актуальное осуществляется тремя поворотами (рис. 4.7):

1. Поворот вокруг на угол прецессии При этом переходит в положение ( в ). Этот поворот описывается тензором .

Рис. 4.7. Углы Эйлера

Рис. 4.8. Углы Эйлера (волчок)

2. Поворот вокруг

на угол нутации

. При этом

. Этот поворот описывается тензором

3. Поворот вокруг на угол собственного вращения – тензор .

Таким образом, результирующий тензор поворота равен

. (4.18)

Для наглядности на рис. 4.8 изображен волчок и углы Эйлера, описывающие его ориентацию.

Покажем, что традиционная последовательность поворотов (4.18) может быть заменена последовательностью поворотов на те же самые углы вокруг неподвижных осей:

1. Поворот вокруг на угол собственного (чистого) вращения .

2. Поворот вокруг на угол нутации .

3. Поворот вокруг на угол прецессии .

Поскольку , ,то по теореме (4.12)

Подставляя эти выражения в (4.18), получим с учетом

. (4.19)

Разумеется, преимущество (4.19) по сравнению с (4.18) в том, что оси поворотов неподвижны.

Вектор угловой скорости по теореме о сложении угловых скоростей (4.16) .

Это же (правильное) выражение обычно получают из (4.18), применяя правдоподобные рассуждения о сложении «бесконечно малых» поворотов; применив их к другой последовательности поворотов, например (4.19), получим абсолютно неверный результат: .

Из (4.19) видно, что при малом угле нутации , когда , тензор поворота . Видим, что углы и в линейном приближении становятся неразличимыми и входят в уравнения в виде суммы (. В этом неудобство углов Эйлера.

Самолетные (корабельные) углы (рис. 4.9). Переход из отсчетного положения в актуальное можно осуществить тремя поворотами (повернуть самостоятельно!):

1. Поворот вокруг на угол рысканья , при этом .

2. Поворот вокруг на угол тангажа , при этом .

Рис. 4.9. Самолетные углы

3. Поворот на угол крена

вокруг

Тензор поворота равен:

.(4.20)

Выражение «можно осуществить» неслучайное; нетрудно понять, что возможны и другие варианты, например, повороты вокруг фиксированных осей.

Применяя теорему о тензоре поворота с повернутой осью (4.12) из того, что , , получим:

Таким образом, получили следующую композицию поворотов вокруг неподвижных осей:

1. Поворот вокруг на угол крена (рискуя сломать крылья),

2. Поворот вокруг на угол тангажа (подъем «носа»),

3. Поворот вокруг на угол рысканья .

Тензор поворота и вектор угловой скорости имеют вид:

; (4.21)

Трехстепенной гироскоп в кардановом подвесе ( рис. 4.10).Карданов подвес имеет три физических оси поворота, поэтому нетрудно догадаться, как тремя поворотами вокруг неподвижных осей перевести ротор гироскопа из отсчетного положения в актуальное. Разумеется, последовательность поворотов может быть любой, но, как мы убедились, повороты вокруг неподвижных осей самые удобные. Тензор поворота и вектор угловой скорости имеют вид:

; (4.22)

ротор

Рис. 4.10. Трехстепенной гироскоп

Физические оси позволяют правильно найти угловую скорость как сумму угловых скоростей вращений вокруг этих осей в актуальном положении.

Движение конуса по конусу (рис. 4.11). Ориентация подвижного конуса (шестерни) задается двумя углами – углом поворота вокруг неподвижной оси (вектора ) и углом вращения вокруг собственной оси, актуальное положение которой задается вектором .

Рис. 4.11. Качение конуса (шестерни)

x X

Тензор поворота – повороты производятся вокруг неподвижных осей. Вектор угловой скорости

. (4.23)

Если нет проскальзывания, то длина дуги окружности основания неподвижного конуса равна длине соответствующей дуги подвижного:

, откуда и .

Векторное произведение угловой скорости на вектор касающихся образующих конусов равно нулю: , следовательно, параллелен .

Впрочем, геометрическому подходу следует предпочесть кинематический. Так, если вращается и нижняя шестерня (конус), то для нахождения угловой скорости проще исходить из равенства скоростей в точке контакта К:

Проецируя эту формулу на ось , получим откуда . Дифференцируя угловую скорость (4.23), получим угловое ускорение: и, с учетом ,

⇐ Предыдущая 9 10 11 12 131415 16 17 18 Следующая ⇒