Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Перечень практических занятий




Алгебра и теория чисел,

 

Избранные вопросы алгебры

 

Программа курсов

 

 

Для специальности 351500 – Математическое обеспечение и администрирование информационных систем.

Факультет физико-математический.

 

Курс «Алгебра и теория чисел»:

курсы 1, 2, семестры 1, 2, 3.

Всего часов (включая самостоятельную работу) – 358.

 

Курс «Избранные вопросы алгебры»:

курс 2, семестр 4.

Всего часов (включая самостоятельную работу) – 144.

 

Составитель С.А. Моисеев, канд. пед. наук, доцент

 

 


 

Печатается по решению редакционно-издательского совета Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина» в соответствии с планом издания на 2006 год.

 

Рецензент Н.И. Крючков, канд. физ.-мат. наук, доц.

Научный редактор Г.В. Денисова, канд. пед. наук, доц.

 

Алгебра и теория чисел, Избранные вопросы алгебры: Программы курсов / Сост. С.А. Моисеев; Ряз. гос. ун-т им. С.А. Есенина. – Рязань, 2006. – 81 с.

 

Программа предназначена для студентов физико-математического факультета. Она включает в себя пояснительную записку, тематический план, рекомендации к практическим занятиям и организации самостоятельной работы, список учебной литературы, а также план-конспект, содержащий формулировки всех основных утверждений курса. Всё это поможет студентам усвоить курс на более высоком уровне.

 

Ключевые слова: действительные, комплексные, рациональные, целые, натуральные числа, операции, группы, кольца, поля, изоморфизм, гомоморфизм, векторы, линейная зависимость, матрицы, определители, подстановки, многочлены, корни многочленов, делимость, сравнения, упорядоченные кольца, упорядоченные поля.

 

Ó Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Рязанский государственный университет

имени С.А. Есенина», 2006

 

 


Пояснительная записка

Данные курсы посвящены изучению основных числовых и алгебраических структур. Изложение идет от рассмотрения более простых понятий к более трудным и абстрактным. Оба этих курса составляют неразрывное единое целое: материал первого курса доставляет примеры, иллюстрирующие более абстрактный материал второго курса, со своей стороны, материал второго курса позволяет унифицировать изучаемые понятия первого курса, посмотреть на них с единой точки зрения (например, параллелизм в свойствах делимости целых чисел и многочленов отражает то обстоятельство, что оба эти кольца являются евклидовыми кольцами).

Первый семестр начинается с изложения элементов теории множеств, математической логики и сведений о важнейших числовых множествах. Далее рассматриваются основные алгебраические структуры, системы линейных уравнений, арифметические векторы, матрицы и определители.

Во втором семестре рассматриваются элементы теории векторных пространств, пространств с метрикой и линейные отображения векторных пространств.

Третий семестр посвящён изучению чисел и многочленов: вначале изучается теория делимости целых чисел, затем – она же, только на языке теории сравнений, далее изучаются комплексные числа. Далее подробно изучается кольцо многочленов от одной переменной, в том числе и над важнейшими числовыми полями, более бегло – кольцо многочленов от нескольких переменных, прежде всего, его подкольцо симметрических многочленов. Завершает курс раздел, в котором рассматриваются элементы теории расширения полей.

В четвёртом семестре изучение алгебраического материала продолжается в рамках курса «Избранные вопросы алгебры». Он посвящён более подробному изучению важнейших алгебраических структур: групп, колец и полей. Рассматриваются подалгебры и морфизмы этих структур, а также взаимосвязь основных операций с некоторыми отношениями на этих алгебрах: отношением порядка и отношением делимости.

Тематическое планирование является примерным. Преподаватель имеет право изменять последовательность прохождения отдельных разделов, соотношение количества часов на лекции и практические занятия.

Настоящая программа разработана в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта к подготовке специалистов по специальности 351500 «математическое обеспечение и администрирование информационных систем».


Содержание учебной дисциплины

«Алгебра и теория чисел»

 
1. Элементы теории множеств, математической логики, числовых систем. Множества и операции над ними. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и отношение порядка Отображения, композиция отображений, обратимые отображения. Высказывания и предикаты. Отношения следования и равносильности. Системы действительных, рациональных, целых и натуральных чисел.
 
2. Основные алгебраические структуры. Алгебраические операции. Группа, кольцо, поле. Простейшие свойства групп, колец, полей. Подгруппа. Подкольцо. Подполе. Изоморфизм алгебраических структур.  
3. Системы линейных уравнений. Арифметическое n -мерное векторное пространство. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Арифметическое n -мерное векторное пространство. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Связь между решениями неоднородной и соответствующей однородной систем. Свойства решений однородной системы уравнений.
 
4. Матрицы и определители. Операции над матрицами и их свойства. Обратная матрица. Условие обратимости матрицы. Перестановки и подстановки. Определение определителя. Свойства определителя. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу. Определитель произведения матриц. Теорема о ранге матрицы.  
5. Векторные пространства. Определение, примеры, простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов. Конечномерные векторные пространства. Базис и размерность конечномерного векторного пространства. Координаты вектора относительно данного базиса. Подпространство. Пересечение, сумма и прямая сумма подпространств. Связь между координатами векторов относительно различных базисов. Изоморфизм векторных пространств.  
6. Евклидовы пространства. Скалярное произведение, евклидовы и унитарные пространства. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональность. Процесс ортогонализации. Ортонормированный базис, его существование. Ортогональное дополнение к подпространству, свойства ортогонального дополнения. Изоморфизм евклидовых пространств.
 
7. Линейные отображения и линейные операторы. Понятия линейного отображения и оператора. Операции над линейными отображениями. Ранг, дефект, ядро и образ линейного отображения. Обратимые операторы. Изоморфизм алгебры операторов и полной матричной алгебры. Собственные числа и собственные векторы оператора, связь с матричными понятиями. Характеристический многочлен оператора. Теорема Гамильтона-Кэли для операторов.   8. Теория делимости целых чисел. Отношение делимости. Теорема о делении с остатком для целых чисел. Систематическая запись натуральных чисел. НОД и НОК чисел. Взаимно простые числа. Простые числа и основная теорема арифметики. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение.  
9. Теория сравнений. Числовые сравнения и их свойства. Классы вычетов. Полная и приведенная системы вычетов. Функция Эйлера. Теорема Эйлера. Сравнений первой степени. Диофантовы уравнения. Признаки делимости
10. Комплексные числа. Определение поля комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме. Извлечение корней из комплексных чисел. Комплексно сопряженные числа
 
11. Многочлены от одной переменной. Кольцо многочленов от одной переменной над коммутативным кольцом. Теорема Безу. Схема Горнера. Корни многочлена. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов. Теорема о делении с остатком для многочленов над полем. Приводимые и неприводимые многочлены. Каноническое разложение многочлена над полем. Формальная производная. Формула Тейлора. Кольцо многочленов над факториальным кольцом.  
12. Многочлены от нескольких переменных. Понятие многочлена от нескольких переменных. Степень многочлена. Лексикографическое упорядочение членов многочлена. Симметрические многочлены. Основная теорема теории симметрических многочленов.  
13. Многочлены над числовыми полями. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Разложение многочлена над полем комплексных чисел в произведение неприводимых множителей. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами. Разложение многочлена над полем действительных чисел в произведение неприводимых множителей. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Критерий Эйзенштейна.  
14. Расширения полей. Простое алгебраическое расширение поля и его строение. Конечное расширение поля. Алгебраическое расширение поля. Составное алгебраическое расширение поля. Поле алгебраических чисел и его алгебраическая замкнутость. Простота конечного расширения.  
 
Содержание учебной дисциплины «Избранные вопросы алгебры» (мы продолжаем нумерацию глав) 15. Элементы теории групп. Теорема о факторизации. Алгебры и алгебраические системы. Изоморфизм алгебр. Примеры и простейшие свойства групп. Целые степени элемента группы. Порядок элемента. Циклические группы. Подгруппы. Теорема Кэли. Разложение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Нормальные подгруппы. Фактор-группы. Гомоморфизмы и эпиморфизмы групп. Теорема об эпимоморфизмах.  
16. Кольца и поля. Примеры и простейшие свойства колец и полей. Разность и частное, их свойства. Изоморфизм колец и полей. Подкольцо. Подполе. Характеристика кольца. Упорядоченные кольца и поля. Модуль элемента. Свойства порядка натуральных, целых и рациональных чисел: дискретность N и Z, неограниченность N, Z и Q в R, принцип Архимеда. Идеалы колец. Сравнение по идеалу. Фактор-кольца. Кольца классов вычетов. Гомоморфизмы и эпиморфизмы колец. Теорема об эпиморфизмах.
17. Элементы теории делимости в целостных кольцах. Отношение делимости в целостных кольцах. Ассоциированность элементов. Разложение на простые множители. Факториальные кольца (кольца с однозначным разложением), кольца с неоднозначным разложением, кольца без разложения. Кольца главных идеалов. Евклидовы кольца.  
18. Поле частных целостного кольца. Определение и строение поля частных. Изоморфизм полей частных. Теорема о существовании поля частных целостного кольца.

Тематический план курса «Алгебра и теория чисел»

  №   Наименование разделов и тем   Всего часов В том числе аудиторных СР
    Всего   Лек-ции Пр. зан.
1. Элементы теории множеств, математической логики, числовых систем Множества и операции над ними. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и отношение порядка Отображения, композиция отображений, обратимые отображения. Высказывания и предикаты. Отношения следования и равносильности. Системы действительных, рациональных, целых и натуральных чисел.          
2. Основные алгебраические структуры Алгебраические операции. Группа, кольцо, поле. Простейшие свойства групп, колец, полей. Подгруппа. Подкольцо. Подполе. Изоморфизм алгебраических структур.          
3. Системы линейных уравнений. Арифметическое n -мерное векторное пространство Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Арифметическое n -мерное векторное пространство. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Связь между решениями неоднородной и соответствующей однородной систем. Свойства решений однородной системы уравнений.          
4. Матрицы и определители Операции над матрицами и их свойства. Обратная матрица. Условие обратимости матрицы. Перестановки и подстановки. Определение определителя. Свойства определителя. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу. Определитель произведения матриц. Теорема о ранге матрицы.          
5. Векторные пространства Определение, примеры, простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов. Конечномерные векторные пространства. Базис и размерность конечномерного пространства. Координаты вектора относительно данного базиса. Подпространство. Пересечение, сумма и прямая сумма подпространств. Связь между координатами векторов относительно различных базисов. Изоморфизм векторных пространств.          
6. Евклидовы пространства Скалярное произведение, евклидовы и унитарные пространства. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональность. Процесс ортогонализации. Ортонормированный базис, его существование. Ортогональное дополнение к подпространству, свойства ортогонального дополнения. Изоморфизм евклидовых пространств.          
7. Линейные отображения и линейные операторы Понятия линейного отображения и оператора. Операции над линейными отображениями. Ранг, дефект, ядро и образ линейного отображения. Обратимые операторы. Изоморфизм алгебры операторов и полной матричной алгебры. Собственные числа и собственные векторы оператора, связь с матричными понятиями. Характеристический многочлен оператора. Теорема Гамильтона-Кэли для операторов.          
8. Теория делимости целых чисел Отношение делимости. Теорема о делении с остатком для целых чисел. Систематическая запись натуральных чисел. НОД и НОК чисел. Взаимно простые числа. Простые числа и основная теорема арифметики. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение.          
9. Теория сравнений Числовые сравнения и их свойства. Классы вычетов. Полная и приведенная системы вычетов. Функция Эйлера. Теорема Эйлера. Сравнений первой степени. Диофантовы уравнения. Признаки делимости.          
10. Комплексные числа Определение поля комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме. Извлечение корней из комплексных чисел. Комплексно сопряженные числа.          
11. Многочлены от одной переменной Кольцо многочленов от одной переменной над коммутативным кольцом. Теорема Безу. Схема Горнера. Корни многочлена. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов. Теорема о делении с остатком для многочленов над полем. Приводимые и неприводимые многочлены. Каноническое разложение многочлена над полем. Формальная производная. Формула Тейлора. Кольцо многочленов над факториальным кольцом.          
12. Многочлены от нескольких переменных Понятие многочлена от нескольких переменных. Степень многочлена. Лексикографическое упорядочение членов многочлена. Симметрические многочлены. Основная теорема теории симметрических многочленов.          
13. Многочлены над числовыми полями Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Разложение многочлена над полем комплексных чисел в произведение неприводимых множителей. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами. Разложение многочлена над полем действительных чисел в произведение неприводимых множителей. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Критерий Эйзенштейна.          
14. Расширения полей Простое алгебраическое расширение поля и его строение. Конечное расширение поля. Алгебраическое расширение поля. Составное алгебраическое расширение поля. Поле алгебраических чисел и его алгебраическая замкнутость.          
  ИТОГО          

 

Тематический план курса «Избранные вопросы алгебры»

  №   Наименование разделов и тем   Всего часов В том числе аудиторных СР
    Всего   Лек-ции Пр. зан.
15. Элементы теории групп Теорема о факторизации. Алгебры и алгебраические системы. Изоморфизм алгебр. Примеры и простейшие свойства групп. Целые степени элемента группы. Порядок элемента. Циклические группы. Подгруппы. Теорема Кэли. Разложение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Нормальные подгруппы. Фактор-группы. Гомоморфизмы и эпиморфизмы групп. Теорема об эпимоморфизмах.          
16. Кольца и поля Примеры и простейшие свойства колец и полей. Разность и частное, их свойства. Изоморфизм колец и полей. Подкольцо. Подполе. Характеристика кольца. Упорядоченные кольца и поля. Модуль элемента. Свойства порядка натуральных, целых и рациональных чисел: дискретность N и Z, неограниченность N, Z и Q в R. принцип Архимеда. Идеалы колец. Сравнение по идеалу. Фактор-кольца. Кольца классов вычетов. Гомоморфизмы и эпиморфизмы колец. Теорема об эпиморфизмах.          
17. Элементы теории делимости в целостных кольцах Отношение делимости в целостных кольцах. Ассоциированность элементов. Разложение на простые множители. Факториальные кольца (кольца с однозначным разложением), кольца с неоднозначным разложением, кольца без разложения. Кольца главных идеалов. Евклидовы кольца.          
18. Поле частных целостного кольца Определение и строение поля частных. Изоморфизм полей частных. Теорема о существовании поля частных целостного кольца.          
  Итого          

 

 

Перечень практических занятий

 

Перечень заданий, как правило, избыточен, поэтому преподавателю предоставляется право выбирать задания.

 

Семестр

 

Занятие 1. Операции над множествами. Свойства включения.

[5]: 1.3.1, 1.3.2, 1.3.5, 1.3.9, 1.4.8 – 1.4.10, 1.4.17 – 1.4.20.

[8]: ИЗ 1.

 

Занятие 2. Высказывания и предикаты.

[5]: 1.1.1, 1.1.6 – 1.1.9, 1.1.12, 1.1.18 – 1.1.21.

[8]: ИЗ 2 – ИЗ 5.

 

Занятие 3. Бинарные отношения. Отношения эквивалентности и порядка.

[5]: 1.5.17 – 1.5.19, 1.5.26; 1.7.1, 1.7.9, 1.7.14, 1.7.15; 1.8.1 – 1.8.3, 1.8.8.

[8]: ИЗ 8 – ИЗ 10, ГЗ 2.

 

Занятие 4. Функции и отображения.

[5]: 1.6.1, 1.6.3, 1.6.6, 1.6.7, 1.6.19 – 1.6.21, 1.6.23.

[8]: ГЗ 3.

 

Занятие 5. Метод математической индукции. Делимость целых чисел, деление с остатком.

[5]: 2.5.16, 2.5.20, 2.5.24 – 2.5.27; 8.8.16.

[8]: ИЗ 12, ИЗ 47.

 

Занятие 6. Определение и свойства групп.

[5]: 2.1.1, 2.1.2 а) – б), 2.1.6, 2.1.7, 2.1.13.

[8]: ИЗ 23.

 

Занятие 7. Определение и свойства колец и полей.

[5]: 2.4.1, 2.4.34, 2.4.38 а) – в), 2.4.55.

[8]: ИЗ 28.

 

Занятие 8. Подалгебры и изоморфизм алгебр.

[5]: 2.2.3, 2.2.4, 2.4.39, 2.4.41,.4.43, 2.4.45; 2.2.6–2.2.7, 2.3.70, 2.4.69.

[8]: ИЗ 27.

 

Занятие 9. Решение систем линейных уравнений.

[6]: 693, 699, 692, 703, 704, 709.

[8]: ИЗ 13.

 

Занятие 10. Исследование систем линейных уравнений.

[6]: 712, 714 – 717.

[8]: ИЗ 14.

 

Занятие 11. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

[5]: 4.1.7, 4.1.8.

[6]: 642 – 644.

[8]: ИЗ 16.

 

Занятие 12. Базис и ранг системы векторов.

[5]: 4.2.6, 4.2.10 – 4.2.14.

[6]: 673 – 676, 679 – 681.

[8]: ИЗ 17.

 

Занятие 13. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Многообразие решений системы линейных уравнений.

[6]: 737 – 741, 724 – 727.

[8]: ИЗ 15.

 

Занятие 14. Операции над матрицам и.

[6]: 790 – 792, 804, 809, 827, 828, 815, 824.

[8]: ИЗ 18.

 

Занятие 15. Обратная матрица. Матричные уравнения.

[6]: 840 – 843, 876, 865 – 867, 869.

[8]: ИЗ 19.

 

Занятие 16. Определение и свойства определителя.

[6]: 188, 198, 200, 204, 205, 212.

[8]: ИЗ 20 – ИЗ 21, ГЗ 5.

 

Занятие 17. Вычисление определителей.

[6]: 44 – 47, 236, 260 – 263.

[8]: ИЗ 20, ГЗ 6.

 

Занятие 18. Теорема Крамера. Определитель произведения матриц.

[6]: 554 – 558.

[7]: 374, 375.

[8]: ИЗ 22.

 

Семестр

Занятие 1. Примеры векторных пространств. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Размерность конечномерных векторных пространств.

[5]: 6.1.6, 6.1.10 – 6.1.12.

[6]: 1289 – 1293, 1297 – 1300, 1308, 1310, 1311.

[8]: ИЗ 36 – ИЗ 37.

 

Занятие 2. Подпространства. Пересечение и сумма подпространств.

[6]: 1317, 1318, 1320 – 1322.

[7]: 235.

[8]: ИЗ 39.

 

Занятие 3. Координаты вектора в разных базисах.

[5]: 6.5.1, 6.5.4, 6.5.6, 6.5.7.

[6]: 1277 – 1281.

[8]: ИЗ 38.

 

Занятие 4. Определение, примеры, свойства евклидовых пространств.

[5]: 6.6.4, 6.6.5, 6.6.10 – 6.6.12.

[8]: ИЗ 40.

 

Занятие 5. Длина вектора, угол между векторами. Ортогональная проекция вектора на подпространство.

[6]: 1366 – 1368, 1370 – 1372, 1385.

[7]: 1077 – 1079.

[8]: ИЗ 42.

 

Занятие 6. Процесс ортогонализации системы векторов.

[6]: 1361 – 1363, 1357, 1358.

[8]: ИЗ 41.

 

Занятие 7. Примеры линейных отображений. Матрица линейного отображения в разных базисах.

[6]: 1441 – 1444, 1448 – 1450, 1445, 1453, 1457, 1458.

[8]: ИЗ 43 – ИЗ 44.

 

Занятие 8. Ранг, дефект, ядро и образ линейного отображения.

[5]: 7.1.2, 7.1.11.

[7]: 966.

[8]: ИЗ 45.

На примере V = R [ x ], j: f f ¢, y: f x×f убедиться, что для бесконечномерных векторных пространств теорема 7.4.1 неверна.

 

Занятие 9. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Приведение матрицы к диагональному виду.

[6]: 1479 – 1481.

[8]: ИЗ 46, ГЗ 18.

 

Семестр

Занятие 1. Систематические числа. Перевод из одной системы счисления в другую.

[12]: С.49, №№ 20 – 25.

[8]: ИЗ 48 – ИЗ 49.

 

Занятие 2. Делимость целых чисел. НОД и НОК.

[8]: ИЗ 47, ИЗ 51, ГЗ 27 – ГЗ 28АБ.

 

Занятие 3. Взаимно простые числа.

[8]: ГЗ 28 Б, ИЗ 50, ИЗ 54.

 

Занятие 4. Простые числа. Основная теорема арифметики. Применения числовых сравнений в арифметике.

[12]: С.27, №№ 19, 20, 22.

[8]: ГЗ 28ВГД – ГЗ 30.

 

Занятия 5 – 6. Функция Эйлера. Числовые сравнения.

[12]: С.122, №№ 16 – 19, 24 – 26, 30 – 32.

[8]: ИЗ 56, ИЗ 57.

 

Занятие 7. Сравнения первой степени и неопределённые уравнения первой степени.

[12]: С.138, №№ 18, 20, 24, 25, 17, 27.

[8]: ИЗ 58, ИЗ 61.

 

Занятие 8. Операции над комплексными числами в алгебраической форме.

[7]: 107 с), 108 а), 113.

[17]: 443, 454, 461, 462, 469.

[8]: ИЗ 34.

 

Занятие 9. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа.

[7]: 124, 125, 135, 137, 141.

[17]: 501 – 503, 515, 517.

[8]: ИЗ 32 – ИЗ 33.

 

Занятие 10. Корни из комплексных чисел. Комплексно сопряжённые ч исла.

[7]: 143.

[17]: 529, 532.

[8]: ИЗ 35.

 

Занятие 11. Определение многочлена. Схема Горнера. Корни многочлена.

[7]: 599 – 605, 51, 555, 586.

[17]: 560 – 564, 572 – 579, 582, 588.

См. Приложение 2.1°.

[8]: ИЗ 69, ИЗ 71.

 

Занятие 12. Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов.

[7]: 580.

[17]: 601, 605 – 607, 611.

[8]: ИЗ

 

Занятие 13. Разложение многочлена над полем на неприводимые множители.

[17]: 675, 678.

[8]: ГЗ 37.

 

Занятие 14. Симметрические многочлены.

[7]: 693, 695, 697.

[17]: 756, 757.

[8]: ИЗ 76.

 

Занятие 15. Рациональные корни многочлена. Многочлены над C и R.

[7]: 650, 592.

[17]: 675, 678.

[8]: ИЗ 72, ИЗ 74, ИЗ 75.

 

Занятие 16. Формулы Виета. Применения симметрических многочлено в.

[7]: 614 – 617, 700 – 702.

[17]: 763 – 765.

[8]: ИЗ

 

Занятие 17. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.

[7]: 684.

[17]: 773.

[8]: ИЗ 78.

 

Занятие 18. Алгебраические числа.

[8]: ИЗ 79 – ИЗ 82.

 

Семестр

Занятие 1. Примеры групп. Группы подстановок.

[5]: 8.1.17, 8.1.18.

[6]: 1634 16), 1634 21), 1634 26), 1635, 1636, 1651

[8]: ГЗ 7 А.

 

Занятие 2. Подгруппы. Операции над подгруппами.

[5]: 8.1.19, 8.1.20.

[6]: 1650, 1652.

[8]: ГЗ 7 В, ГЗ 8.

 

Занятие 3. Порядок элемента группы. Циклические группы.

[5]: 8.2.1, 8.2.2; 8.2.5, 8.2.6, 8.2.8, 8.2.10; 8.2.27, 8.2.28, 8.2.33, 8.2.46.

[6]: 1646, 1656.

[8]: ГЗ 7 Б, ИЗ 25.

 

Занятие 4. Теорема Кэли. Теорема Лагранжа.

[6]: 1637, 1645.

[8]: ГЗ 7 Д.

 

Занятие 5. Разложение группы по подгруппе. Фактор-группы.

[5]: 8.3.24, 8.3.25, 8.3.31, 8.3.32.

[6]: 1659, 1660, 1663; 1670; 1685.

[8]: ГЗ 10 АБВГ, ИЗ 24.

 

Занятие 6. Изоморфизм групп. Теорема об эпимор физмах.

[5]: 8.2.45; 8.2.55 – 8.2.57; 8.2.61, 8.3.37, 8.3.38; 8.3.42, 8.3.43.

[6]: 1642, 1653; 1681, 1682; 1687; 1688, 1689.

[8]: ГЗ 7 Г, ГЗ 9, ГЗ 10 Д, ИЗ 26, ИЗ 27.

 

Занятие 7. Примеры и свойства колец и полей.

[5]: 8.4.6, 8.4.7, 8.4.10; 8.4.4.

[6]: 1732, 1733, 1738.

[8]: ГЗ 20.

 

Занятие 8. Свойства разностей и частных.

План-конспект курса, Т. 16.1.3 и Т. 16.1.7.

[8]: ИЗ 28

 

Занятие 9. Подкольца. Подполя.

[5]: 8.4.3.

[8]: ИЗ

 

Занятие 10. Свойства упорядоченных колец и полей.

План-конспект курса, Т. 16.4.3 – 16.4.5.

[8]: ГЗ 25, ИЗ 28.

 

Занятие 11. Доказательство числовых неравенств.

См. Приложение 2.2°.

 

Занятие 12. Свойства дискретности N и Z.

См. приложение 2.3°.

 

Занятие 13. Идеалы. Операции над идеалами.

[5]: 8.5.1, 8.5.3, 8.5.6, 8.5.8.

[6]: 1781; 1794 – 1796.

[8]: ИЗ 55.

 

Занятие 14. Фактор-кольца. Кольца классов вычетов.

[5]: 8.5.35, 8.5.36, 8.5.40, 8.5.41, 8.5.54.

[6]: 1792, 1793.

 

Занятие 15. Изоморфизм и эпиморфизм колец.

[5]: 8.5.55, 8.5.56.

[6]: 1745, 1746, 1749, 1751 – 1753, 1790.

[8]: ГЗ 22, ГЗ 23.

 

Занятие 16. Делимость в кольцах.

[6]: 1774.

[12]: C.72, №№ 4, 5, 7, 15, 17.

[8]: ГЗ 20.

 

Занятие 17. Кольца главных идеалов.

[5]: 8.8.10 – 8.8.13.

[12]: C. 85, №№ 3; 8, 10, 19, 21.

[8]: ИЗ 55.

 

Занятие 18. Евклидовы кольца.

[5]: 8.8.17, 8.8.18; 8.8.20, 8.8.22.

[8]: ГЗ 31, ИЗ 52, ИЗ 53.

 

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...