 |
Сравнение по идеалу. Фактор-кольца
|
|
|
|
Сравнение по идеалу. a º b (mod I).
Теорема 1. Свойства сравнения по идеалу.
1°. Сравнение по идеалу является отношением эквивалентности.
2°. Сравнение по идеалу согласуется со сложением.
3°. Сравнение по идеалу согласуется с умножением.
4°. Классы эквивалентности отношения сравнения по идеалу имеют вид Ka = I + a.
Теорема-определение 2. Множество A / I классов эквивалентности является кольцом относительно операций Å и Ä, которые определяются следующим образом: (I + a)Å(I + b) = I +(a + b), (I + a)Ä(I + b) = I +(a × b).
Это кольцо называется фактор-кольцом кольца A по идеалу I: á A / I; Å, Äñ.
Кольца классов вычетов. Z m = Z /(m)
Теорема 3. Строение колец классов вычетов.
1°.Если m – число простое, то Z m – поле.
2°. Если m – число составное, то Z m содержит делители нуля.
3°. Всякий ненулевой элемент кольца Z m является либо делителем нуля, либо делителем единицы (обратимым элементом).
4°. G 
= { 
: (a, m) = 1}.
Гомоморфизмы и эпиморфизмы колец. Теорема об эпиморфизмах
Определение, примеры, простейшие (групповые) свойства гомоморфизма колец. Ядро гомоморфизма. Ker f.
Теорема 1. Ядро гомоморфизма является идеалом кольца.
Теорема-определение 2. Отображение j: A ® A / I по правилу j(a) = I + a является эпиморфизмом колец. Этот эпиморфизм называется естественным эпиморфизмом кольца A на фактор-кольцо A / I.
Теорема 5. Теорема об эпиморфизмах.
Если f: A ® A 1 – эпимоморфизм колец, I = Ker f, j: A ® A / I – естественный эпиморфизм, то существует, и причём единственный, изоморфизм q: A / I ® A 1, обладающий свойством f = q°j.
ГЛАВА 17. Элементы теории делимости в целостных кольцах
Отношение делимости в целостных кольцах.
|
|
|
Стандартные свойства отношения делимости.
Обратимые элементы (делители единицы) кольца.
Теорема 1. Множество G обратимых элементов кольца образует коммутативную группу относительно операции умножения.
Отношение ассоциированности. ~.
Простые и составные элементы кольца.
Теорема 2. Свойства отношения ассоциированности.
1°. Критерий ассоциированности: a ~ b Û a 
b Ù b a.
2°. Отношение ассоциированности является отношением эквивалентности.
3°. Классы эквивалентности по отношению ассоциированности имеют вид Ка = aG.
4°. a ~ a 1 Ù b ~ b 1 Ù a b Þ Ù a 1 b 1.
5°. p ~ a Ù p – простой элемент Þ a – простой элемент.
6°. a ~ b Ù a – составной элемент Þ b – составной элемент.
Теорема 3. Связь главных идеалов с теорией делимости.
1°. a b Û (a)Ì(b).
2°. a ~ b Û (a) = (b).
Делимость идеалов. НОД и НОК идеалов.
Теорема 4. Существование НОД и НОК идеалов.
1°. Любые два идеала кольца имеют НОД. Им является сумма этих идеалов.
2°. Любые два идеала кольца имеют НОК. Им является пересечение этих идеалов.
Разложение на простые множители в кольцах
Разложение на простые множители: по существу, одинаковые; существенно различные. Кольца с однозначным разложением (= факториальные кольца). Кольца с неоднозначным разложением. Кольца без разложения. КОР. КНОР. КБР.
Примеры.
1. Z – кольцо с однозначным разложением (ММИ по модулю числа).
2. Z [ 
] – кольцо с неоднозначным разложением.
Разложимость доказывается ММИ по величине нормы, неоднозначность следует из того, что 4 = 2×2 = (1+ 
)×(1– ), при этом числа 2, 1+ и 1– – простые неассоциированные элементы.
3. È{ Z [ 
]: k Î N } – кольцо без разложения: элемент 2 не имеет конечного разложения на простые множители.
Кольца главных идеалов
Примеры.
1. Z является кольцом главных идеалов.
|
|
|
2. R [ x, y ] не является кольцом главных идеалов: (x)+(y) не является главным идеалом.
Теорема 1. В кольце главных идеалов
1°. Любые два элемента имеют НОД и имеют НОК.
2°. Любые два НОД и НОК элементов ассоциированные.
3°. Если d – НОД элементов a и b, то найдутся u, v такие, что выполняется равенство d = ua + vb.
Взаимно простые элементы.
Теорема 2. Свойства взаимно простых элементов.
1°. Критерий взаимной простоты. Элементы a и b кольца главных идеалов взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют u, v, такие, что выполняется равенство 1 = ua + vb.
2°. Если элементы a и с, а также b и с – взаимно простые, то элементы a × b и с – также взаимно простые.
3°. Если a × b с и a и с – взаимно простые элементы, то b с.
4°. Если с a, c b и a и b – взаимно простые элементы, то с a × b.
Обобщение свойств 1°–4° на любое конечное число элементов.
Контрпримеры к свойствам 3° и 4° для не взаимно простых элементов.
Простые элементы.
Теорема 3. Свойства простых элементов.
1°. p a Ù p – простой элемент Þ a Î G Ú a ~ p.
2°. Если p 1 и p 2 – простые элементы и они не ассоциированные, то ни один из них не делится на другой.
3°. (" a)(" p)(p – простой элемент ® a p Ú a и p – взаимно простые элементы).
4°. a 1 a 2... an p Ù p – простой элемент Þ a 1 p Ú a 2 p Ú... Ú an 
p.
Теорема 4. В кольце главных идеалов последовательность элементов a 1, a 2,..., an,..., в которой каждый элемент является делителем предыдущего и не ассоциирован с ним, содержит конечное число элементов.
Теорема 5. Всякое кольцо главных идеалов является факториальным кольцом.
Лемма. В кольце главных идеалов всякий необратимый элемент, отличный от нуля, обладает простым делителем.
Евклидовы кольца
Определение евклидова кольца. Норма.
Примеры евклидовых колец.
1. Z. 2. R [ x ]. 3. Z [ i ].
Теорема 1. Всякое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов.
Теорема 2. В евклидовом кольце последний ненулевой остаток обобщённого алгоритма Евклида двух элементов является НОД этих элементов.
|
|
|
