Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость.

РАЗДЕЛ 10. ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ.

Решение задачи, представленной в математических терминах, например, в виде комбинации различных функций, их производных и интегралов, нужно уметь «довести до числа», которое чаще всего и служит окончательным ответом. Для этого в различных разделах математики выработаны различные методы. Раздел математики, позволяющий решить любую корректно поставленную задачу с достаточной для практического использования точностью, называется теорией рядов. Даже если некоторые тонкие понятия математического анализа появились вне связи с теорией рядов, они немедленно применялись к рядам, которые служили как бы инструментом для испытания значимости этих понятий.

Основные понятия числового ряда.

Знакоположительные и знакопеременные ряды.

Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость.

Основные понятия числового ряда.

Пусть дана бесконечная последовательность чисел , , …, , ….

Символ

(10.1)

называется числовым рядом, или просто рядом, а числа , , …, , … называются членами ряда. Вместо (10.1), пользуясь знаком суммы, кратко пишут так:

Здесь:

- математический значок суммы;

– общий член ряда;

– переменная-«счетчик».

Запись обозначает, что проводится суммирование от 1 до , то есть, сначала у нас , затем , потом , и так далее до бесконечности. Вместо переменной можно использовать переменные . Суммирование не обязательно начинается с единицы, в ряде случаев оно может быть с нуля , с двойки , либо с любого натурального числа.

Числовой ряд имеет принципиальное отличие от числовой последовательности, в которой члены не суммируются, а рассматриваются как таковые.

Необходимо уметь переходить от общего члена ряда к конкретным членам, и наоборот.

Пример: [14]. Записать первые три члена ряда .

Решение.

Пример: [14]. Записать первые три члена ряда .

Решим обратное задание.

Пример: [14]. Записать сумму в свернутом виде с общим членом ряда

Решение. Здесь нет какого-то четкого алгоритма, закономерность нужно просто увидеть. В данном случае

Для проверки полученный ряд можно расписать обратно в развернутой форме.

Пример: [14]. Записать сумму в свернутом виде с общим членом ряда

Выполнить проверку, снова записав ряд в развернутом виде.

Суммы конечного числа членов ряда (10.1) , , , …, , … называются частичными суммами (или отрезками) ряда (10.1).

Рассмотрим последовательность

(10.2)

Если существует предел , то ряд (10.1) называется сходящимся, а число S – суммой этого ряда. В этом случае пишут:

Если последовательность (10.2) не имеет предела, то ряд (10.1) называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.

Пример: [14]. Хороший пример расходящегося числового ряда был рассмотрен нами ранее: . Здесь совершенно очевидно, что каждый следующий член ряда больше, чем предыдущий, поэтому и, значит, ряд расходится.

Пример: [14]. Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии :

(10.3)

Имеют место три случая.

Если получаем ряд . Следовательно, и , то есть ряд (10.3) при расходится.

Если , то, как известно,

При , то есть ряд (10.3) сходится.

В подавляющем большинстве случаев найти сумму ряда затруднительно, и поэтому, на практике для исследования сходимости ряда используют специальные признаки, которые доказаны теоретически.

Существует несколько признаков сходимости ряда: необходимый признак сходимости ряда, признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши и некоторые другие. Когда какой признак применять? Это зависит от общего члена ряда .

Начнем с необходимого признака сходимости ряда:

«Общий член сходящегося ряда (10.1) стремится к нулю при неограниченном возрастании n, то есть

. (10.4)

Если общий член ряда (10.1) при неограниченном возрастании n не стремится к нулю, то этот ряд расходится».

Отметим, что условие (10.4) не является достаточным для сходимости ряда. Действительно, для ряда

называемого гармоническим рядом, . Однако этот ряд расходится (доказательство этого будет рассмотрено далее).

Также следует запомнить понятие обобщенного гармонического ряда .

Данный ряд расходится при и сходится при .

Пример: [14]. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Имеем

Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Пример: [14]. Исследовать ряд на сходимость.

Проанализировав результаты последних примеров, приходим к выводу, что при существенную роль играет старшая степень многочлена; именно она характеризует скорость ухода на . Поэтому предел отношения многочленов одинаковых степеней (при ) всегда равен отношению их старших коэффициентов. Если степень многочлена в числителе выше степени многочлена в знаменателе, то в пределе получается . Если же числитель уступает знаменателю в скорости роста на бесконечности, то в пределе имеем ноль.

· Знакоположительные и знакопеременные ряды. Признаки сходимости.

Перейдем теперь к рассмотрению некоторых рядов специального вида.

Положительным рядом называется ряд, члены которого неотрицательны.

Пусть ряд (10.1), то есть ряд , будет положительным, то есть . Тогда, очевидно, , то есть последовательность является неубывающей.

Это позволяет сформулировать следующий признак сравнения рядов: «Пусть даны два положительных ряда

, (A)

(B)

Если члены ряда (А) не превосходят соответствующих членов ряда (В):

то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В)».

Пример: [14]. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Рассмотрим «похожий» гармонический ряд (. Этот ряд сходится при . Теперь нам нужно показать, что при всех значениях справедливо неравенство

Это условие можно проверить несколькими способами.

Например, сравнить члены ряда (А) и ряда (В) при нескольких значениях n:

при n =1 имеем ,

при n =2 имеем ,

при n =3 имеем и так далее.

Также можно решить неравенство и показать, что для оно выполняется:

Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Пример: [14]. Исследовать ряд на сходимость.

В этом примере признак сравнения не дал ответа на вопрос о сходимости ряда, поэтому необходимо использовать какой-то другой признак.

На практике признак сравнения рядов используется редко. Настоящей «рабочей лошадкой» числовых рядов является признак сходимости Даламбера: «Если члены положительного ряда (10.1) таковы, что существует предел

то при ряд (10.1) сходится, а при ряд (10.1) расходится».

При признак Даламбера на вопрос о том, сходится или расходится ряд, ответа не дает. Например, для гармонического ряда имеем

причем этот ряд расходится.

Вместе с тем для ряда имеем

но этот ряд сходится (см. пример ранее).

Пример: [14]. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Мы видим, что в общем члене ряда у нас есть , а это верная предпосылка, что нужно использовать признак Даламбера.

Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Пример: [14]. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. В общий член ряда входит и степень, и факториал. Поэтому здесь необходимо использовать признак Даламбера.

Таким образом, исследуемый ряд расходится.

Признак сходимости Коши для положительных числовых рядов чем-то похож на рассмотренный признак Даламбера.

Радикальный признак Коши: «Рассмотрим положительный числовой ряд (10.1). Если существует предел , то:

а) при ряд сходится. В частности, ряд сходится при .

б) при ряд расходится. В частности, ряд расходится при .

в) при признак ответа не дает. Нужно использовать другой признак».

Интересно отметить, что если признак Коши не дает нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера нам тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не дает ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.

Радикальный признак Коши обычно используют в тех случаях, когда общий член ряда полностью находится в степени, зависящей от n, либо когда корень хорошо извлекается из общего члена.

Пример: [14]. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Мы видим, что общий член ряда полностью находится под степенью, зависящей от n, значит, нужно использовать радикальный признак Коши:

Таким образом, исследуемый ряд расходится.

Существует также интегральный признак Коши: «Рассмотрим положительный числовой ряд (10.1). Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом».

Основной предпосылкой использования интегрального признака Коши является тот факт, что в общем члене ряда ест некоторая функция и ее производная.

Рассмотрим еще один специфический вид числового ряда. Знакочередующимся рядом называется ряд вида

, (10.5)

где .

Имеет место теорема Лейбница: «Если члена ряда (10.5) по абсолютной величине монотонно убывают:

и общий член стремится к нулю:

то ряд (10.5) сходится».

Пример: [13]. Ряд

сходится, так как условия теоремы Лейбница выполнены.

· Абсолютная и условная сходимость.

Перейдем теперь к рядам с членами, имеющими любой знак.

С каждым таким рядом связан ряд с неотрицательными членами, составленный из модулей членов данного ряда, то есть ряд

. (10.6)

Исследуем вопрос об исследовании знакочередующегося ряда на сходимость.

Имеет место следующая теорема: «Если сходится ряд , то сходится и ряд ».

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд . Если же ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется неабсолютно или условно сходящимся.

Пример: [13]. Ряд

абсолютно сходится, так как сходится ряд

;

ряд

по теореме Лейбница сходится, но ряд

расходится как гармонический. Следовательно, ряд сходится условно.

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒