Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Тема: Системы линейных уравнений.

К системам линейных уравнений приводит множество прикладных, в том числе и экономических задач. Система линейных уравнений с переменными имеет вид: .

Где - произвольные числа, причем . Числа называются соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Решением системы линейных уравнений называется такая совокупность чисел , при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Матричный метод

Запишем систему линейных уравнений в матричной форме. Обозначим:

, , , где

– матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы,

– матрица – столбец переменных,

– матрица – столбец свободных членов.

Тогда систему линейных уравнений можно записать в виде: .

Пусть число уравнений системы равно числу неизвестных, то есть . Тогда матрица системы является квадратной, а ее определитель называется определителем системы. Если квадратная матрица системы невырожденная, то есть ее определитель , то существует обратная матрица . Тогда справедливо:

Последняя формула позволяет решить систему линейных уравнений с неизвестными методом обратной матрицы.

Пример1. Решить систему уравнений методом обратной матрицы.

Решение.

а) Обозначим

Тогда в матричной форме данная система имеет вид: .

1) Найдем определитель: .

2) Так как , то матрица невырожденная, и существует обратная матрица . Найдем .

3) Для решения системы воспользуемся формулой . Получим:

То есть решение системы (4; 2; 1).

4) Сделаем проверку:

№1 Решите систему линейных уравнений матричным методом.

Решение:

Метод Крамера

Теорема Крамера. Пусть – определитель матрицы системы , а – определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой - го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

Эти формулы получили название формул Крамера.

Пример2. Решить систему уравнений по формулам Крамера.

Решение.

а) Обозначим

1) Найдем определитель: . Так как , то по теореме Крамера система имеет единственное решение.

2) Вычислим определители матриц .

; ; .

3) Воспользуемся формулами Крамера:

; ; ;

То есть решение системы (4; 2; 1).

4) Сделаем проверку:

№2 Выберите один вариант ответа и подчеркните его

Переменная х системы уравнений определяется по формуле …

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1)			2)
3)			4)

№3 Выберите один вариант ответа и подчеркните его

При решении системы по правилу Крамера …

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ;

№4 Решите систему линейных уравнений методом Крамера

Решение:

Метод Гаусса

Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних переменных, находятся все остальные переменные. Переход системы к равносильной ей системе ступенчатого (или треугольного) вида называется прямым ходом, а нахождение переменных из системы – обратным ходом.

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов.

Матрица называется расширенной матрицей системы, ибо в нее, кроме матрицы системы, дополнительно включен столбец свободных членов.

Алгоритм решения систем с помощью метода Гаусса.

Прямой ход:

Составить расширенную матрицу системы.
Выбрать ведущую строку, а в ней отличный от нуля ведущий элемент.
В столбце ведущего элемента с помощью элементарных преобразований все остальные элементы обратить в нуль.
а) Если в полученной матрице появилась строка , где , преобразования прекратить, ток как исходная система несовместна.

б) Если такой строки не появилось, вычеркнуть (если есть) строки, все элементы которых равны нулю.

в) Снова выбрать ведущую строку среди строк, которые еще не были ведущими, а в ней ведущий элемент и повторить п. 3 и 4. В случае совместной системы каждая строка должна побывать ведущей

Каждую строку разделить на соответствующий ведущий элемент.

В результате прямого хода будет получена расширенная матрица треугольного или ступенчатого вида или установлена несовместность системы.

Обратный ход.

По полученной в результате прямого хода матрице записать соответствующую систему, из которой последовательно, начиная с последних переменных, найти все остальные переменные.

Пример 3.Методом Гаусса решить систему уравнений:

Решение. Прямой ход. Преобразуем расширенную матрицу системы

~ ~ .

Так как , то система совместна и определенна, то есть имеет единственное решение.

По полученной в результате прямого хода матрице записываем соответствующую систему, из которой последовательно, начиная с последних переменных, находим все остальные переменные.

То есть решение системы (-1; -1; 0).

Сделаем проверку:

Ответ: система совместна и определенна; (-1; -1; 0).

Пример 4. Методом Гаусса решить систему уравнений:

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы

~ ~ .

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству , следовательно, данная система несовместна.