Молекулярная физика и Термодинамика.
Электростатика Основные формулы Молекулярная физика 1. Количество вещества или число молей (1Ф) где N – число молекул (атомов) вещества; – постоянная Авогадро (находится из таблицы); m – масса вещества (газа); М – молярная масса вещества (находится из таблицы). 2. Уравнение Менделеева – Клапейрона (уравнение состояния идеального газа) , (2Ф) где Р, V – давление и объем газа; ν – число молей; R – универсальная газовая постоянная (находятся из таблицы); – термодинамическая температура. 3. Зависимость давления газа от концентрации молекул n и температуры Т (уравнение состояния идеального газа) (3Ф) где k – постоянная Больцмана (находится из таблицы). 4. Основное уравнение молекулярно – кинетической теории газов , (4Ф) где средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы (5Ф) 5. Средняя квадратичная скорость молекул массой m 0 . (6Ф) Термодинамика 6. Молярные теплоемкости тела (газа) при постоянном объеме С V и постоянном давлении СР: , (7Ф) где i – число степеней свободы молекулы. 7. Внутренняя энергия газа (8Ф) 8. Первое начало термодинамики (9Ф) где сообщенной газу; – приращение внутренней энергии; – работа, совершенная газом против внешних сил. 9. Работа при расширении газа от объема V 1 до объема V 2 : (10Ф) а) при изобарном процессе ; (11Ф) б) при изотермическом процессе А = ln(V 2/ V 1). (12Ф) 10. Работа газа при адиабатическом процессе , или A = , (13Ф) 11. Уравнение Пуассона для адиабатического процесса , (14Ф) где γ = Cp / CV – постоянная адиабаты. 12. Коэффициент полезного действия (к. п. д.) тепловой машины (15Ф) где – тепло, полученное рабочим телом от нагревателя; – тепло, переданное рабочим телом холодильнику.
13. К. п. д. идеального цикла Карно(теорема Карно) (16Ф) где и – термодинамические температуры нагревателя и холодильника. 14. Приращение энтропии для замкнутых равновесных процессов , (17Ф) где S 1, S 2 – энтропия в начальном и конечном равновесных состояниях системы; δ Q – элементарное количество теплоты; Т – температура системы, при которой она получает тепло δ Q. Электростатика 15. Закон Кулона (18Ф) где F – модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов q 1и ; r – расстояние между зарядами; – электрическая постоянная, находится из таблицы. Закон Кулона записан для вакуума (воздуха). 16. Напряженность электрического поля, создаваемого системой n точечных зарядов, равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом (принцип суперпозиции электрических полей), , (19Ф) где – напряженность поля, создаваемого i – м зарядом. 17. Модуль напряженности электрического поля: а) точечного заряда , (20Ф) где – расстояние от заряда до точки, в которой определяется напряженность поля; б) двух разноименно заряженных бесконечных параллельных плоскостей где ϭ1, ϭ2 – поверхностные плотности зарядов. При ú σú напряженность Е = ú σú/e0. В таком виде формула справедлива для плоского конденсатора, в котором расстояние между пластинами много меньше их линейных размеров; в) равномерно заряженной бесконечно длинной нити (или цилиндра радиуса R) на расстоянии r от нити (или оси цилиндра) , (22Ф) где – линейная плотность заряда. Для цилиндра r > R, т. к. внутри цилиндра напряженность поля Е = 0. 18. Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов где q 1, q 2 – величины зарядов; r – расстояние между зарядами. Потенциальная энергия положительная при взаимодействии одноименных зарядов и отрицательная при взаимодействии разноименных зарядов. 19. Потенциал электрического поля точечного заряда на расстоянии r от заряда
Такая же формула используется для нахождения потенциала заряженной металлической сферы радиусом R и зарядом q в точке на расстоянии r > R от центра сферы. Потенциал поля внутри и на поверхности сферы φ = q /4pe0 R. 20. Потенциал электрического поля, создаваемого системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом в отдельности (принцип суперпозиции) где – потенциал поля заряда . 21. Связь между напряженностью поля и потенциалом : а) для поля, обладающего центральной или осевой симметрией, где производная d φ/ dr, берется вдоль линии напряженности Е; б) для однородного поля где – расстояние между эквипотенциальными поверхностями с потенциалами φ1 и φ2 вдоль линии напряженности . 22. Работа, совершаемая электрическим полем по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2, А = q (φ1 – φ2), (28Ф) где (φ1 – φ2) – разность потенциалов между начальной 1 и конечной 2 точками перемещения. 23. Электроемкость уединенного проводника где q – заряд, сообщенный проводнику; φ – потенциал проводника. 24. Электроемкость конденсатора где φ1 – φ2 = U – разность потенциалов или напряжение между обкладками конденсатора; q – модуль заряда одной обкладки конденсатора. 25. Электроемкость проводящего шара (сферы) где R – радиус шара; e – диэлектрическая проницаемость среды; e0 – электрическая постоянная (находится из таблицы). 26. Электроемкость плоского конденсатора где S – площадь одной пластины; d – расстояние между пластинами. 27. Электроемкость системы из n конденсаторов, соединенных последовательно, 28. Электроемкость системы из n конденсаторов, соединенных параллельно, 29. Энергия заряженного конденсатора Энергию заряженного конденсатора удобно вычислять через ту из величин q или U, которая в данном процессе остается постоянной. Если заряд конденсатора не изменяется (конденсатор отключен от источника напряжения), то ; если напряжение не изменяется (конденсатор подключен к источнику напряжения), то независимо от того, как меняется электроемкость конденсатора.
Примеры решения задач Пример 1. В двух теплоизолированных сосудах объемами и находится одинаковый идеальный газ при давлениях и температурах , . Сосуды соединяют трубкой. Какая температура установится в сосудах после смешивания газов?
Решение
где число степеней свободы молекул газа; , – число молей газов в первом и втором сосудах; R = 8,31 Дж/(моль.К) – универсальная газовая постоянная (находится из таблицы). Используем уравнение Менделеева – Клапейрона (2Ф) для газовв первом и втором сосудах
Сравнивая первые и вторые формулы в равенствах (1), (2), имеем:
Общая энергия газов в сосудах до их соединения или учитывая (3), получим: После смешивания газов (соединение сосудов трубкой) установится искомая температура и внутренняя энергия газа (8Ф) , или учитывая , получим: Число молей и найдем из уравнений (2) и подставим их в (5). В результате получим Сосуды теплоизолированные, поэтому (закон сохранения энергии), откуда с учетом (4) и (6), найдем искомую температуру: Пример 2. Кислород массой находится при температуре и расширяется при постоянном давлении, при этом объем увеличивается в n = V 2/ V 1 = 2,0 раза. Найти количество теплоты, сообщенной газу. Решение
Количество теплоты, сообщенной газу, идет на приращение внутренней энергии газа и на совершение газом работы против внешних сил. Приращение внутренней энергии = U 2 – U 1, или, учитывая (8Ф), получим: где = 5 – число степеней свободы молекул двухатомного кислорода; R = 8,31 Дж/(моль.К) – универсальная газовая постоянная (находится из таблицы); – молярная масса кислорода (находится из таблицы); – приращение температуры. Работа газа при изобарном процессе (11Ф) (3) С учетом (2) и (3) количество теплоты (1) запишется , (4) где Δ Т = Т 2 – Т 1. Применяя уравнение Менделеева – Клапейрона (2Ф) для изобарного процесса, имеем: , откуда, с учетом условия задачи конечная температура после изобарного расширения
Тогда приращение температуры Подставляя это выражение в (4), получим: Учитывая условие задачи и табличные данные, найдем искомое количество теплоты: Пример 3. Объем одного моля ( = 1) идеального газа с числом степеней свободы молекул изменяется по закону V = а / Т, где – постоянная величина. Найти количество теплоты, полученной газом в этом процессе, если его температура испытала приращение . Решение
Q = Δ U + A. (1) Приращение внутренней энергии одного моля газа = U 2 – U 1, или, учитывая (8Ф), имеем: , (2) где R = 8,31 Дж/(моль.К) – универсальная газовая постоянная (берется из таблицы). Работа газа (10Ф) Воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона (2Ф) для одного моля газа (ν = 1) откуда, учитывая условие задачи, Продифференцируем условие задачи V = а / Т Подставляя (4) и (5) в формулу (3), найдем работу: С учетом (2) и (6) количество теплоты (1) равно Пример 4. Два моля идеального газа находятся при температуре и охлаждаются изохорно, в результате давление газа уменьшилось в n = P 1/ P 2 = 2,0 раза. Затем газ изобарно расширяется так, что в конечном состоянии его температура стала равной первоначальной. Найти количество теплоты, сообщенной газу в данном процессе. Решение
Q = Δ U + A, (1) В данной задаче на участке 1 – 2 (изохора) объем не изменяется (рис. 20) и работа = 0 (см. (10Ф), где dV = 0). Следовательно,работа совершается газом только на участке 2 – 3 при изобарном расширении А 23 = А = P 2(V 2 – V 1). Используем формулу работы газа для изобарного процесса (см. (11Ф)), где для нашей задаче Δ Т = Т 1 – Т 2 (см. рис. 20). В результате получим: A = ν R (T 1 – T 2), (2) Применяя уравнения Менделеева – Клапейрона (2Ф) к состояниям газа 1 и 2 при изохорном процессе (см. рис. 20), получим: откуда, учитывая условие задачи, Подставим эту формулу в уравнение (2), и найдем работу, совершенную газом в данном процессе: Приращение внутренней энергии (см. (8Ф)) где – число степеней свободы. В данном сложном процессе начальная и конечная температуры равны (на рис. т. т. 1 и 3), следовательно, Тогда из (1) искомое количество теплоты . Учитывая формулу (3), получим: Пример 5. Водород массой m = 20,0 г находится при температуре = 300 К. Его объем при адиабатическом процессе увеличился в n = V 2/ V 1 = 5,00 раз, затем при изотермическом процессе уменьшился до прежнего значения. Найти: температуру в конце адиабатического расширения; работу газа и приращение внутренней энергии при этих процессах.
Решение
откуда, учитывая условие задачи, получим:
Учли, что молярная масса водорода кг/моль (находится из таблицы). Работа газа при изотермическом процессе (12Ф) для нашей задачи (см. рис. 21) Учитывая условие задачи и выражение (1), найдем работу при изотермическом сжатии: Знак «минус» показывает, что при сжатии газа работа совершается внешними силами. Для определения приращения внутренней энергии газа при адиабатическом процессе воспользуемся первым началом термодинамики (9Ф) В данном процессе = 0, и приращение внутренней энергии при адиабатическом расширении с учетом (2) равно Δ U 1 = – A 1 = – 29,5 кДж. При изотермическом процессе Т = const и = 0. Следовательно, Пример 6. У тепловой машины, работающей по циклу Карно, температура нагревателя в n = 1,6 раза больше температуры холодильника . За один цикл машина производит полезную работу А = 12 кДж. Какая работа за цикл затрачивается внешними силами на изотермическое сжатие рабочего тела? Решение
Учитывая условие задачи, получим коэффициент полезного действия машины: К. п. д. цикла Карно запишем через работу и тепло , переданное рабочему телу от нагревателя: , откуда с учетом (2) Работа находится через и тепло , переданное от рабочего тела холодильнику, Откуда, учитывая (3), имеем: Применим к изотермическому сжатию первое начало термодинамики (9Ф) в виде: где Q –тепло, переданное рабочему телу. В нашей задаче Q = – Q 2, т. к. тепло отнимается от тела и передается холодильнику; – приращение внутренней энергии рабочего тела. У нас = 0, т. к. Т = const (см. (8Ф)); – искомая работа внешних сил над рабочим телом. В результате из (5) имеем . Используя (4), найдем: Пример 7. Водород совершает цикл Карно. Найти к. п. д. цикла, если при адиабатическом расширении: а) объем газа увеличивается в n = V 2/ V 1 = 2,0 раза; б) давление уменьшается в n = Р 1/ Р 2 = 2,0 раза. Решение
где – температура нагревателя и холодильника. Используем для адиабатического процесса уравнение Пуассона (14Ф) в виде: откуда имеем где = 1,4 – постоянная адиабаты для двухатомного водорода. По условию задачи . Тогда из (2) Подставляя это выражение в (1), найдем к. п. д. цикла Карно при увеличении объема газа в n = 2,0 раза б) Запишем уравнение Пуассона в следующем виде (см. (14Ф)): откуда , или, учитывая условие задачи, получим: С учетом этого выражения, из (1) найдем к. п. д. цикла, когда давление уменьшается в n = 2,0 раза
Пример 8. Один моль гелия при изобарном расширении увеличил свой объем в = V 2/ V 1 = 4,0 раза. Найти приращение энтропии. Решение
, (1) где δ Q – элементарное количество теплоты, находится из первого начала термодинамики (9Ф), записанного в дифференциальной форме, Приращение внутренней энергии для одного моля газа (см. (8Ф))
где – универсальная газовая постоянная (находится из таблицы). Элементарная работа газа Продифференцируем уравнение состояния идеального газа (2Ф) для одного моля (ν = 1) с учетом того, что процесс изобарный: . Тогда (4) запишется: Подставляя (3) и (5) в уравнение (2), получим: Подставим это выражение в (1) и проинтегрируем: где – число степеней свободы атомов гелия. Применяя уравнение Менделеева – Клапейрона (2Ф) к состояниям газа при изобарном процессе, получим с учетом условия задачи: Используя это соотношение, из (6) найдем приращение энтропии: Пример 9. Один моль двухатомного идеального газа находится при температуре = 300 К и сжимается от объема V 1 до объема V 2 = V 1/2 один раз изотермически, а другой – адиабатически. Найти приращение энтропии и конечную температуру в обоих процессах. Решение (1) Элементарное количество теплоты находится из первого начала термодинамики (9Ф) δ Q = dU + δ A, (2) где dU – приращение внутренней энергии. При изотермическом процессе dU = 0 (см. (8Ф)). Элементарная работа газа δ А = PdV. (3) Из уравнения Менделеева–Клапейрона (2Ф), записанного для одного моля (ν = 1), найдем: P = RT / V, и подставим это выражение в (3). В результате получим (4) Учитывая dU = 0, из (2) и (4) имеем: Подставляя это выражение в (1), найдем приращение энтропии при изотермическом сжатии: Учитывая условие задачи V 2 = V 1/2 и табличное значение универсальной газовой постоянной R = 8,31 Дж/(моль.К), получим искомое приращение энтропии: Δ S 1 = – R 2 = – 5,76 Дж/К. Знак «минус» означает, что энтропия при этом процессе уменьшается, так как макросистема не является замкнутой. Для адиабатического процесса , тогда из (1) видно, что , т. е. энтропия при данном процессе остается постоянной. Температура при изотермическом процессе не изменяется, следовательно, по условию задачи конечная температура в этом процессе Т 2 = = 300 К. Для адиабатического процесса используем уравнение Пуассона (14Ф) в виде: откуда Постоянная адиабаты = CP / СV. Используя формулы молярных теплоемкостей CP и С V (7Ф), найдем: γ = (i + 2)/ i. В задаче дан двухатомный газ, для которого число степеней свободы i = 5, тогда γ = 1,4. Учитывая условие задачи V 2 = V 1/2, получим из (5): Таким образом, конечная температура больше при адиабатическом сжатии. Пример 10. Точечные закрепленные заряды q 1 = 40 нКл и q 2 = – 10 нКл находятся на расстоянии r = 10 cм друг от друга. Где следует поместить третий заряд q 3, чтобы он находился в равновесии? При каком знаке заряда q 3 равновесие будет устойчивым? Решение
F 1 = F 2.(1) Учитывая величины и знаки зарядов q 1 и q 2, легко сообразить, что условие (1) выполняется в точке C, находящейся на прямой, проходящей через эти заряды и расположенной справа от заряда q 2 (см. рис. 22, где заряд q 3 > 0).
Используя закон Кулона (18Ф) и обозначения на рис. 22, запишем модули сил взаимодействия заряда q 3 с зарядами q 1 и q 2 (см. рис. 22): (2) С учетом этих формул, уравнение (1) примет вид: Откуда, учитывая условие задачи, получим: х = r = 10 см. Нашли положение точки (т. С на рис. 22), в которой заряд q 3 находится в равновесии. Если, при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в прежнее положение, то равновесие называется устойчивым. Найдем знак заряда q 3, при котором равновесие будет устойчивым. Возьмем отношение сил Кулона (2) При смещении заряда из положения равновесия (т. C на рис. 22) вправо, расстояние x увеличивается,
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|