Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Молекулярная физика и Термодинамика.




Электростатика

Основные формулы

Молекулярная физика

1. Количество вещества или число молей

(1Ф)

где N – число молекул (атомов) вещества; – постоянная Авогадро (находится из таблицы); m – масса вещества (газа); М – молярная масса вещества (находится из таблицы).

2. Уравнение Менделеева – Клапейрона (уравнение состояния идеального газа)

, (2Ф)

где Р, V – давление и объем газа; ν – число молей; R – универсальная газовая постоянная (находятся из таблицы); – термодинамическая температура.

3. Зависимость давления газа от концентрации молекул n и температуры Т (уравнение состояния идеального газа)

(3Ф)

где k – постоянная Больцмана (находится из таблицы).

4. Основное уравнение молекулярно – кинетической теории газов

, (4Ф)

где средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

(5Ф)

5. Средняя квадратичная скорость молекул массой m 0

. (6Ф)

Термодинамика

6. Молярные теплоемкости тела (газа) при постоянном объеме С V и постоянном давлении СР:

, (7Ф)

где i – число степеней свободы молекулы.

7. Внутренняя энергия газа

(8Ф)

8. Первое начало термодинамики

(9Ф)

где сообщенной газу; приращение внутренней энергии; работа, совершенная газом против внешних сил.

9. Работа при расширении газа от объема V 1 до объема V 2

: (10Ф)

а) при изобарном процессе

; (11Ф)

б) при изотермическом процессе

А = ln(V 2/ V 1). (12Ф)

10. Работа газа при адиабатическом процессе

, или A = , (13Ф)

11. Уравнение Пуассона для адиабатического процесса

, (14Ф)

где γ = Cp / CV постоянная адиабаты.

12. Коэффициент полезного действия (к. п. д.) тепловой машины

(15Ф)

где тепло, полученное рабочим телом от нагревателя; тепло, переданное рабочим телом холодильнику.

13. К. п. д. идеального цикла Карно(теорема Карно)

(16Ф)

где и термодинамические температуры нагревателя и холодильника.

14. Приращение энтропии для замкнутых равновесных процессов

, (17Ф)

где S 1, S 2 энтропия в начальном и конечном равновесных состояниях системы; δ Q элементарное количество теплоты; Т температура системы, при которой она получает тепло δ Q.

Электростатика

15. Закон Кулона

(18Ф)

где F модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов q 1и ; r расстояние между зарядами; электрическая постоянная, находится из таблицы. Закон Кулона записан для вакуума (воздуха).

16. Напряженность электрического поля, создаваемого системой n точечных зарядов, равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом (принцип суперпозиции электрических полей),

, (19Ф)

где напряженность поля, создаваемого i – м зарядом.

17. Модуль напряженности электрического поля:

а) точечного заряда

, (20Ф)

где расстояние от заряда до точки, в которой определяется напряженность поля;

б) двух разноименно заряженных бесконечных параллельных плоскостей

где ϭ1, ϭ2 поверхностные плотности зарядов. При ú σú напряженность Е = ú σú/e0. В таком виде формула справедлива для пло­ского конденсатора, в котором расстояние между пластинами много меньше их линейных размеров;

в) равномерно заряженной бесконечно длинной нити (или цилиндра радиуса R) на расстоянии r от нити (или оси цилиндра)

, (22Ф)

где линейная плотность заряда. Для цилиндра r > R, т. к. внутри цилиндра напряженность поля Е = 0.

18. Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов

где q 1, q 2 величины зарядов; r расстояние между зарядами. Потенциальная энергия положительная при взаимодействии одноименных зарядов и отрицательная при взаимодействии разноименных зарядов.

19. Потенциал электрического поля точечного заряда на расстоянии r от заряда

Такая же формула используется для нахождения потенциала заряженной металлической сферы радиусом R и зарядом q в точке на расстоянии r > R от центра сферы. Потенциал поля внутри и на поверхности сферы φ = q /4pe0 R.

20. Потенциал электрического поля, создаваемого системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом в отдельности (принцип суперпозиции)

где потенциал поля заряда .

21. Связь между напряженностью поля и потенциалом :

а) для поля, обладающего центральной или осевой симметрией,

где производная d φ/ dr, берется вдоль линии напряженности Е;

б) для однородного поля

где расстояние между эквипотенциальными поверхностями с потенциалами φ1 и φ2 вдоль линии напряженности .

22. Работа, совершаемая электрическим полем по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2,

А = q1 – φ2), (28Ф)

где (φ1 φ2) – разность потенциалов между начальной 1 и конечной 2 точками перемещения.

23. Электроемкость уединенного проводника

где q заряд, сообщенный проводнику; φ потенциал проводника.

24. Электроемкость конденсатора

где φ1 φ2 = U разность потенциалов или напряжение между обкладками конденсатора; q модуль заряда одной обкладки конденсатора.

25. Электроемкость проводящего шара (сферы)

где R радиус шара; e диэлектрическая проницаемость среды; e0 электрическая постоянная (находится из таблицы).

26. Электроемкость плоского конденсатора

где S площадь одной пластины; d расстояние между пластинами.

27. Электроемкость системы из n конденсаторов, соединенных последовательно,

28. Электроемкость системы из n конденсаторов, соединенных параллельно,

29. Энергия заряженного конденсатора

Энергию заряженного конденсатора удобно вычислять через ту из величин q или U, которая в данном процессе остается постоянной. Если заряд конденсатора не изменяется (конденсатор отключен от источника напряжения), то ; если напряжение не изменяется (конденсатор подключен к источнику напряжения), то независимо от того, как меняется электроемкость конденсатора.

 

Примеры решения задач

Пример 1. В двух теплоизолированных сосудах объемами и находится одинаковый идеальный газ при давлениях и температурах , . Сосуды соединяют трубкой. Какая температура установится в сосудах после смешивания газов?

Решение

V 1 = 3,00.10–3м3, V 2 = 5,00.10–3м3, Р 1 = 400 кПа, Р 2 = 600 кПа, Т 1 = 300 К, Т 2=400 К. Т =?
Внутренняя энергия газов, находящихся в первом и втором сосудах до их смешивания, равна (см. (8Ф)):

где число степеней свободы молекул газа; , число молей газов в первом и втором сосудах; R = 8,31 Дж/(моль.К) универсальная газовая постоянная (находится из таблицы). Используем уравнение Менделеева Клапейрона (2Ф) для газовв первом и втором сосудах

Сравнивая первые и вторые формулы в равенствах (1), (2), имеем:

Общая энергия газов в сосудах до их соединения или учитывая (3), получим:

После смешивания газов (соединение сосудов трубкой) установится искомая температура и внутренняя энергия газа (8Ф) , или учитывая , получим:

Число молей и найдем из уравнений (2) и подставим их в (5). В результате получим

Сосуды теплоизолированные, поэтому (закон сохранения энергии), откуда с учетом (4) и (6), найдем искомую температуру:

Пример 2. Кислород массой находится при температуре и расширяется при постоянном давлении, при этом объем увеличивается в n = V 2/ V 1 = 2,0 раза. Найти количество теплоты, сообщенной газу.

Решение

m = 6,4.10–3кг, Т 1 = 300 К, V 2/ V 1 = n = 2,0. Q =?
Используем первое начало термодинамики (9Ф)

Количество теплоты, сообщенной газу, идет на приращение внутренней энергии газа и на совершение газом работы против внешних сил. Приращение внутренней энергии = U 2 U 1, или, учитывая (8Ф), получим:

где = 5 число степеней свободы молекул двухатомного кислорода;

R = 8,31 Дж/(моль.К) универсальная газовая постоянная (находится из таблицы); молярная масса кислорода (находится из таблицы); приращение температуры. Работа газа при изобарном процессе (11Ф)

(3)

С учетом (2) и (3) количество теплоты (1) запишется

, (4)

где Δ Т = Т 2 Т 1. Применяя уравнение Менделеева Клапейрона (2Ф) для изобарного процесса, имеем: , откуда, с учетом условия задачи конечная температура после изобарного расширения

Тогда приращение температуры

Подставляя это выражение в (4), получим:

Учитывая условие задачи и табличные данные, найдем искомое количество теплоты:

Пример 3. Объем одного моля ( = 1) идеального газа с числом степеней свободы молекул изменяется по закону V = а / Т, где – постоянная величина. Найти количество теплоты, полученной газом в этом процессе, если его температура испытала приращение .

Решение

ν = 1, i, V = a / T, Δ T. Q =?
Количество теплоты находится из первого начала термодинамики (9Ф)

Q = Δ U + A. (1)

Приращение внутренней энергии одного моля газа = U 2 U 1, или, учитывая (8Ф), имеем:

, (2)

где R = 8,31 Дж/(моль.К) универсальная газовая постоянная (берется из таблицы). Работа газа (10Ф)

Воспользуемся уравнением Менделеева Клапейрона (2Ф) для одного моля газа (ν = 1)

откуда, учитывая условие задачи,

Продифференцируем условие задачи V = а / Т

Подставляя (4) и (5) в формулу (3), найдем работу:

С учетом (2) и (6) количество теплоты (1) равно

Пример 4. Два моля идеального газа находятся при температуре и охлаждаются изохорно, в результате давление газа умень­шилось в n = P 1/ P 2 = 2,0 раза. Затем газ изобарно расширяется так, что в конечном состоянии его температура стала равной первоначальной. Найти количество теплоты, сообщенной газу в данном процессе.

Решение

T 1 = 300 K, P 1/ P 2 = n = 2,0, ν = 2. Q =?
V 1
V 2
P 1, V 1, T 11
P 2, V 1, T 2
V
Рис. 20
1
3
2
P 2, V 2, T 1  
Р
Р 2
 
Р 1
Решение задачи упрощается, если заданные процессы изобразить на , диаграмме (см. рис. 20). Количество теплоты находится из первого начала термодинамики (9Ф)

Q = Δ U + A, (1)

В данной задаче на участке 1 2 (изохора) объем не изменяется (рис. 20) и работа = 0 (см. (10Ф), где dV = 0). Следовательно,работа совершается газом только на участке 2 3 при изобарном расширении А 23 = А = P 2(V 2 V 1). Используем формулу работы газа для изобарного процесса (см. (11Ф)), где для нашей задаче Δ Т = Т 1 Т 2 (см. рис. 20). В результате получим:

A = ν R (T 1T 2), (2)

Применяя уравнения Менделеева Клапейрона (2Ф) к состояниям газа 1 и 2 при изохорном процессе (см. рис. 20), получим:

откуда, учитывая условие задачи,

Подставим эту формулу в уравнение (2), и найдем работу, совершенную газом в данном процессе:

Приращение внутренней энергии (см. (8Ф))

где число степеней свободы. В данном сложном процессе начальная и конечная температуры равны (на рис. т. т. 1 и 3), следовательно, Тогда из (1) искомое количество теплоты . Учитывая формулу (3), получим:

Пример 5. Водород массой m = 20,0 г находится при температуре = 300 К. Его объем при адиабатическом процессе увеличился в n = V 2/ V 1 = 5,00 раз, затем при изотермическом процессе уменьшился до прежнего значения. Найти: температуру в конце адиабатического расширения; работу газа и приращение внутренней энергии при этих процессах.

 

Решение

Н2, m = 20,0.103 кг, Т 1 = 300 К, V 2/ V 1 = n =5,00. T 2 =? A 1, A 2 =? Δ U 1, Δ U 2 =?
Процессы расширения и сжатия газа изобразим графически в системе координат (см. рис. 21). Параметры газа можно определить из уравнений адиабатического и изотермического процессов. При адиабатическом процессе температура и объем газа в состояниях 1 и 2 связаны между собой уравнением Пуассона (14Ф)

откуда, учитывая условие задачи, получим:

 
Рис. 21  
адиабата
изотерма  
 
где постоянная адиабаты . Для молекулярного водорода (число степеней свободы = 5) молярная теплоемкость при постоянном давлении (7Ф) , где R = 8,31 Дж/(моль.К) универсальная газовая постоянная (находится из таблицы). Молярная теплоемкость при постоянном объеме , тогда γ = 1,4. Подставляя это значение γ в (1), найдем температуру: = 158 К. Работа газа при адиабатическом расширении (см. (13Ф), где число молей ν = m / M)

Учли, что молярная масса водорода кг/моль (находится из таблицы). Работа газа при изотермическом процессе (12Ф) для нашей задачи (см. рис. 21)

Учитывая условие задачи и выражение (1), найдем работу при изотермическом сжатии:

Знак «минус» показывает, что при сжатии газа работа совершается внешними силами. Для определения приращения внутренней энергии газа при адиабатическом процессе воспользуемся первым началом термодинамики (9Ф)

В данном процессе = 0, и приращение внутренней энергии при адиабатическом расширении с учетом (2) равно

Δ U 1 = A 1 = 29,5 кДж.

При изотермическом процессе Т = const и = 0. Следовательно,

Пример 6. У тепловой машины, работающей по циклу Карно, температура нагревателя в n = 1,6 раза больше температуры холодильника . За один цикл машина производит полезную работу А = 12 кДж. Какая работа за цикл затрачивается внешними силами на изотермическое сжатие рабочего тела?

Решение

Т 1/ Т 2 = n = 1,6, A = 12 кДж. =?
Воспользуемся теоремой Карно: коэффициент полезного действия (к. п. д.) тепловой машины, работающей по циклу Карно, зависит только от температур нагревателя и холодильника и не зависит от природы рабочего тела и устройства тепловой машины (см. (16Ф))

Учитывая условие задачи, получим коэффициент полезного действия машины:

К. п. д. цикла Карно запишем через работу и тепло , переданное рабочему телу от нагревателя: , откуда с учетом (2)

Работа находится через и тепло , переданное от рабочего тела холодильнику,

Откуда, учитывая (3), имеем:

Применим к изотермическому сжатию первое начало термодинамики (9Ф) в виде:

где Q –тепло, переданное рабочему телу. В нашей задаче Q = – Q 2, т. к. тепло отнимается от тела и передается холодильнику; – приращение внутренней энергии рабочего тела. У нас = 0, т. к. Т = const (см. (8Ф)); – искомая работа внешних сил над рабочим телом. В результате из (5) имеем . Используя (4), найдем:

Пример 7. Водород совершает цикл Карно. Найти к. п. д. цикла, если при адиабатическом расширении: а) объем газа увеличивается в n = V 2/ V 1 = 2,0 раза; б) давление уменьшается в n = Р 1/ Р 2 = 2,0 раза.

Решение

;  
 
 
а) Воспользуемся формулой к. п. д. цикла Карно (16Ф)

где – температура нагревателя и холодильника. Используем для адиабатического процесса уравнение Пуассона (14Ф) в виде:

откуда имеем

где = 1,4 постоянная адиабаты для двухатомного водорода. По условию задачи . Тогда из (2)

Подставляя это выражение в (1), найдем к. п. д. цикла Карно при увеличении объема газа в n = 2,0 раза

б) Запишем уравнение Пуассона в следующем виде (см. (14Ф)):

откуда

,

или, учитывая условие задачи, получим:

С учетом этого выражения, из (1) найдем к. п. д. цикла, когда давление уменьшается в n = 2,0 раза

Пример 8. Один моль гелия при изобарном расширении увеличил свой объем в = V 2/ V 1 = 4,0 раза. Найти приращение энтропии.

Решение

ν = 1 моль, V 2/ V 1 = n = 4,0, P = const. Δ S =?
Приращение энтропиинаходитсяиз второго нача­ла термодинамики для равновесных процессов (17Ф)

, (1)

где δ Q элементарное количество теплоты, находится из первого начала термодинамики (9Ф), записанного в дифференциальной форме,

Приращение внутренней энергии для одного моля газа (см. (8Ф))

 

где универсальная газовая постоянная (находится из таблицы). Элементарная работа газа

Продифференцируем уравнение состояния идеального газа (2Ф) для одного моля (ν = 1) с учетом того, что процесс изобарный: . Тогда (4) запишется:

Подставляя (3) и (5) в уравнение (2), получим:

Подставим это выражение в (1) и проинтегрируем:

где число степеней свободы атомов гелия. Применяя уравнение Менделеева Клапейрона (2Ф) к состояниям газа при изобарном процессе, получим с учетом условия задачи:

Используя это соотношение, из (6) найдем приращение энтропии:

Пример 9. Один моль двухатомного идеального газа находится при температуре = 300 К и сжимается от объема V 1 до объема V 2 = V 1/2 один раз изотермически, а другой – адиабатически. Найти приращение энтропии и конечную температуру в обоих процессах.

Решение

 
Для нахождения приращения энтропии используем второе начало термодинамики (17Ф)

(1)

Элементарное количество теплоты находится из первого начала термодинамики (9Ф)

δ Q = dU + δ A, (2)

где dU приращение внутренней энергии. При изотермическом процессе dU = 0 (см. (8Ф)). Элементарная работа газа

δ А = PdV. (3)

Из уравнения Менделеева–Клапейрона (2Ф), записанного для одного моля (ν = 1), найдем: P = RT / V, и подставим это выражение в (3). В результате получим

(4)

Учитывая dU = 0, из (2) и (4) имеем:

Подставляя это выражение в (1), найдем приращение энтропии при изотермическом сжатии:

Учитывая условие задачи V 2 = V 1/2 и табличное значение универсальной газовой постоянной R = 8,31 Дж/(моль.К), получим искомое приращение энтропии:

Δ S 1 = R 2 = 5,76 Дж/К.

Знак «минус» означает, что энтропия при этом процессе уменьшается, так как макросистема не является замкнутой.

Для адиабатического процесса , тогда из (1) видно, что , т. е. энтропия при данном процессе остается постоянной.

Температура при изотермическом процессе не изменяется, следовательно, по условию задачи конечная температура в этом процессе Т 2 = = 300 К. Для адиабатического процесса используем уравнение Пуассона (14Ф) в виде: откуда

Постоянная адиабаты = CP / СV. Используя формулы молярных теплоемкостей CP и С V (7Ф), найдем: γ = (i + 2)/ i. В задаче дан двухатомный газ, для которого число степеней свободы i = 5, тогда γ = 1,4. Учитывая условие задачи V 2 = V 1/2, получим из (5):

Таким образом, конечная температура больше при адиабатическом сжатии.

Пример 10. Точечные закрепленные заряды q 1 = 40 нКл и q 2 = 10 нКл находятся на расстоянии r = 10 cм друг от друга. Где следует поместить третий заряд q 3, чтобы он находился в равновесии? При каком знаке заряда q 3 равновесие будет устойчивым?

Решение

q 1 =40 нКл, q 2 =– 10 нКл, r = 10 cм. х =?
Равновесие заряда возможно, если векторная сумма сил, действующих на него, рана нулю. Следовательно, для нашего случая на заряд действуют две силы, равные по модулю и противоположные по направлению или

F 1 = F 2.(1)

Учитывая величины и знаки зарядов q 1 и q 2, легко сообразить, что условие (1) выполняется в точке C, находящейся на прямой, проходящей через эти заряды и расположенной справа от заряда q 2 (см. рис. 22, где заряд q 3 > 0).

С
Рис. 22
 
 
 
Рис. 23
 
 
С

Используя закон Кулона (18Ф) и обозначения на рис. 22, запишем модули сил взаимодействия заряда q 3 с зарядами q 1 и q 2 (см. рис. 22):

(2)

С учетом этих формул, уравнение (1) примет вид:

Откуда, учитывая условие задачи, получим: х = r = 10 см. Нашли положение точки (т. С на рис. 22), в которой заряд q 3 находится в равновесии. Если, при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в прежнее положение, то равновесие называется устойчивым. Найдем знак заряда q 3, при котором равновесие будет устойчивым.

Возьмем отношение сил Кулона (2)

При смещении заряда из положения равновесия (т. C на рис. 22) вправо, расстояние x увеличивается,

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...