Спектральный анализ периодических сигналов
В соответствии со спектральным способом анализа прохождения сигналов через линейные цепи любой случайный сигнал s (t) можно представить в виде бесконечной суммы элементарных аналитически однотипных детерминированных сигналов : Подавая на вход линейной цепи (рис. 1.14), коэффициент передачи которой равен , элементарный детерминированный сигнал, можно найти элементарный отклик цепи, то есть сигнал на выходе цепи. Рис.2.3. К определению сигнала на выходе линейной цепи.
Сигнал на выходе линейной цепи равен (2.9)
Поскольку для линейных цепей справедлив принцип суперпозиции, то результирующий отклик будет равен: (2.10)
Функции, описывающие элементарные сигналы, называются базисными функциями. Представление сигнала базисными функциями упрощается, если они являются ортогональными и ортонормированными. Набор функций называется ортогональным, если в интервале от до при (2.11) и ортонормированным, если для всех выполняется условие . (2.12) Ортогональность базисных функций, с помощью которых представляется исходный сигнал , является гарантией того, что представление сигнала может быть сделано единственным образом. Условию ортогональности отвечают гармонические функции кратных частот, а также функции Уолша, которые на отрезке своего существования от до принимают лишь значения, равные 1, дискретные сигналы Баркера и некоторые другие функции. Спектральный метод анализа сигналов основан на преобразованиях Фурье и состоит в замене сложной функции времени, описывающей сигнал, суммой простых гармонических сигналов, образующих частотный спектр этого сигнала. Знаменитый французский физик и математик Ж. Б. Фурье (1768 – 1830 г.г.) доказал, что любое изменение во времени некоторой функции можно аппроксимировать в виде конечной или бесконечной суммы ряда гармонических колебаний с разными амплитудами, частотами и начальными фазами. Этой функцией может быть ток или напряжение в электрической цепи.
Рассмотрим вначале представление периодического электрического сигнала (рис. 2.4), отвечающего условию , (2.13) где: - период сигнала; =1,2,3,…. Рис. 2.4. Периодический сигнал
Представим этот сигнал бесконечным тригонометрическим рядом: . (2.14) Этот ряд называется рядом Фурье. Возможна запись ряда Фурье в другом виде: , (2.15) где: - модуль амплитуд гармоник; - фазы гармоник; - круговая частота; - коэффициенты косинусоидальных составляющих; - коэффициенты синусоидальных составляющих; - среднее значение сигнала за период (постоянная составляющая). Отдельные слагаемые рядов называют гармониками. Число является номером гармоники.Совокупность величин в ряде (2.15) называют спектром амплитуд, а совокупность величин - спектром фаз. Ниже на рис. 2.5 представлены амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала. Вертикальные отрезки амплитудного спектра представляют амплитуды гармоник и называются спектральными линиями.
Рис 2.5. Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала
Таким образом, спектр периодического сигнала – линейчатый. Каждый периодический сигнал имеет вполне определенные амплитудный и фазовый спектры. Сумма ряда (2.15) является бесконечной, но, начиная с некоторого номера, амплитуды гармоник настолько малы, что ими можно пренебречь и практически реальный периодический сигнал представляется функцией с ограниченным спектром. Интервал частот, соответствующий ограниченному спектру, называется шириной спектра. Если функция , описывающая периодический сигнал, является четной, то сумма ряда (2.14) будет содержать только косинусоидальные составляющие. Если - нечетная функция, то сумма будет содержать только синусоидальные составляющие.
Возможно также представление периодического сигнала в виде комплексного ряда Фурье:
, (2.16) где: - комплексные амплитуды спектра, содержащие информацию, как об амплитудном, так и о фазовом спектрах. После подстановки значений и , получим: (2.17) Если подставить полученное значение в ряд (1.29), то он обращается в тождество. Таким образом, периодический электрический сигнал можно задавать либо функцией времени , либо комплексной амплитудой спектра.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|