 |
Типовой расчет 4.2 по теме «Криволинейные и поверхностные интегралы»
|
|
|
|
Задание 1. Вычислить криволинейные интегралы I-го рода:
 ,
где L – дуга кривой  
| 
где L – дуга циклоиды  ,  
| 
где L – дуга параболы  от точки  до точки  .
| |||
где L – отрезок прямой, соединяющей точки  . и 
| 
где L – контур треугольника с вершинами 
| 
где L – дуга параболы  , отсечённая парабола 
| |||
где L – арка циклоиды   , 
|  , где L – дуга астроиды 
| 
где L – дуга гиперболы 
| |||
где L – дуга кривой  , 
| 
где L – дуга кривой 
| ,
где L – дуга кривой 
| |||
где L – дуга астроиды 
|  где L – дуга кривой 
| 
где L – дуга параболы 
| |||
где L – дуга кривой 
| 
где L – дуга параболы 
| 
где L – контур треугольника с вершинами 
| |||
 где L – отрезок прямой, соединяющей точки  и  .
| 
где L – дуга кривой 
| 
где L – отрезок прямой, соединяющей точки  и 
| |||
 , где L – контур квадрата 
| 
где L –контур квадрата 
|  где L – верхняя половина окружности 
| |||
где L – дуга эллипса 
| 
где L – дуга окружности 
|
где L – четверть эллипса  лежащая в первом квадранте.
| |||
где L – контур прямоугольника с вершинами   .
| 
где L – дуга кривой  между точками 
| 
где L – дуга развёртки окружности 
|
Задание 2. Вычислить криволинейные интегралы I-го рода.
где L – верхняя половина кардиоиды 
| 
где L – правый лепесток лемнискаты 
| 
где L – верхняя полуокружность 
| |||
где L – часть спирали Архимеда  , заключённая внутри круга радиуса R с центром в начале координат (в полюсе).
|  ,
где L - дуга спирали Архимеда 
|  ,
где L – дуга лемнискаты 
| |||
 ,
где L – дуга кардиоиды 
|  ,
где L – граница кругового сектора 
|  ,
где L – окружность 
| |||
 ,
где L – дуга лемнискаты 
|  ,
где L – первый виток линии 
|  ,
где L – дуга линии  от точки  до точки 
| |||
где L – отрезок прямой, соединяющей точки  и 
| 
где L – дуга окружности 
| 
где L – первый виток конической винтовой линии 
| |||
где L – отрезок прямой, соединяющей точки  и 
| 
где L – первый виток конической винтовой линии 
| 
где L – дуга кривой 
| |||
где L – дуга винтовой линии 
| 
где L – отрезок прямой, соединяющей точки  и 
|  , где L – часть дуги спирали Архимеда  , заключенная внутри круга радиусом R с центром в полюсе.
| |||
, где L – дуга кривой 
|  ,
где L - дуга кардиоиды 
|  , где L - дуга астроиды  между точками  и  .
| |||
 , где L - дуга кривой 
|  , где L - дуга кривой 
|  , где L – первый виток винтовой линии 
| |||
 , где L – первый виток винтовой линии 
|  , где L – развертка окружности 
|  , где L – дуга лемнискаты Бернулли 
|
|
|
|
Задание 3. Вычислить криволинейные интегралы 2-го рода:
где L – виток винтовой линии 
| 
где L – дуга кривой 
| 
где L – дуга кривой 
| |||
 ,
где L – дуга кривой 
| 
где L – отрезок прямой от точки  до точки 
| 
где L – дуга эллипса от точки  до точки 
| |||
 ,
где L – окружность  пробегаемая в положительном направлении.
|  ,
где L – эллипс , пробегаемый в положительном направлении
|  ,
где L – четверть астроиды 
от точки  до точки 
| |||
где L – контур треугольника с вершинами  , пробегаемый в положительном направлении.
|  ,
где L –отрезок прямой от точки  до точки 
|  ,
где L – контур прямоугольника, образованного прямыми  Интегрирование вести в положительном направлении.
| |||
 ,
вдоль кривой  от точки  до точки 
| 
где L - отрезок прямой от точки  до точки 
|  ,
где L - окружность  , пробегаемая в положительном направлении.
| |||
где L – первая четверть окружности,  пробегаемая против хода часовой стрелки.
| 
где L – верхняя половина эллипса , пробегаемая по ходу часовой стрелки.
|  ,
где L – контур, ограниченный параболами  и пробегаемый против хода часовой стрелки.
| |||
 где L – дуга кривой  от точки  до точки 
|  ,
где L – контур треугольника с вершинами  , пробегаемый против хода часовой стрелки.
| 
где L – дуга параболы  , расположенная над осью OX и пробегаемая против хода часовой стрелки.
| |||
 ,
где L – арка циклоиды 
|  ,
где L – отрезок прямой от точки  до точки 
|  ,
вдоль линии  от точки  до точки 
| |||
 ,
вдоль линии  от точки до точки 
|  ,
вдоль прямой  от точки до точки 
|  ,
вдоль линии от точки до точки 
| |||
 ,
вдоль прямой  от точки до точки 
|  ,
вдоль прямой от точки до точки 
|  ,
вдоль параболы  от точки до точки 
|
Задание 4. Вычислить криволинейные интегралы 2-го рода.
|
|
|
где контур L – ограничивает круговой сектор радиуса R с углом 
|  ,
где L – окружность 
| 
где L – контур треугольника с вершинами 
| |||
где L – окружность 
| 
где L – контур треугольника с вершинами 
| 
где контур фигуры, ограниченной линиями и 
| |||
Вычислить интеграл по замкнутому контуру
 , если
в направлении возрастания параметра  .
| Вычислить интеграл по замкнутому контуру
 , если  в направлении возрастания параметра .
| Вычислить интеграл по замкнутому контуру  , если
в направлении возрастания параметра .
| |||
Вычислить интеграл по замкнутому контуру
 , если
,
в направлении возрастания параметра .
| Вычислить интеграл по замкнутому контуру  , если
в направлении возрастания параметра .
| Вычислить интеграл по замкнутому контуру  , если 
в направлении возрастания параметра .
| |||
Вычислить интеграл по замкнутому контуру  , если  в направлении возрастания параметра .
| Вычислить интеграл по замкнутому контуру  , если  в направлении возрастания параметра .
| Вычислить интеграл по замкнутому контуру  , если  в направлении возрастания параметра .
| |||
 , где L – контур прямоугольника, образованного прямыми  при положительном направлении обхода контура
| Вычислить интеграл по замкнутому контуру  , если  в направлении возрастания параметра .
| Вычислить интеграл по замкнутому контуру  , если  в направлении возрастания параметра .
| |||
Вычислить интеграл по замкнутому контуру  , если  в направлении возрастания параметра .
| Вычислить интеграл по замкнутому контуру  , если  в направлении возрастания параметра .
| Вычислить интеграл по замкнутому контуру  , если  в направлении возрастания параметра .
| |||
 , где LOA – дуга эллипса  «пробегаемая»против хода часовой стрелки.
| Вычислить интеграл по замкнутому контуру  , если  в направлении возрастания параметра .
|  , где L – контур
треугольника, образованного прямыми  при положительном направлении обхода контура.
| |||
 , где L – дуга эллипса  при положительном направлении обхода контура.
|  , где L – контур треугольника с вершинами  при положительном направлении обхода контура.
|  , где LАВО – ломаная  ( ;  ;  ) при положительном направлении обхода контура.
| |||
 ,
где L – эллипс , «пробегаемый»по ходу часовой стрелки.
|  , где LOBA – ломаная  ;  ;  ;  .
| 
где L – контур треугольника с вершинами ,  и 
|
|
|
|
Задача 5. Найти работу силы 
при перемещении вдоль линии 
от точки 
к точке 
.
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
|
Задача 6. Вычислить поверхностные интегралы по площади поверхности (I рода)
 где σ - часть плоскости  , лежащая в первом октанте;
|  где σ – часть сферы  , лежащая в первом октанте;
|  где σ – полусфера  ;
| |||
 где σ – полусфера 
|  где σ – полусфера
|  где σ – часть плоскости  расположенная в первом октанте;
| |||
| где σ – полусфера
|  ,где σ – поверхность, отсекаемая от параболоиды  плоскостью 
|  где σ – часть плоскости , лежащая в первом октанте;
| |||
 где σ – часть поверхности конуса  ;
|  где σ – сфера 
|  где σ – часть сфера  лежащая в первом октанте;
| |||
 где σ – часть конической поверхности  , заключенной между плоскостями  и
| где σ – часть поверхности  расположенная между плоскостями и
| 
где S – часть плоскости (p), отсеченная координатными плоскостями
 .
| |||
.  где S – часть плоскости (p), отсеченная координатными плоскостями.
|  где S – часть плоскости (p), отсеченная координатными плоскостями
|  где S – часть плоскости (p)  , отсеченная координатными плоскостями.
| |||
 где S – часть плоскости (p), лежащая в первом октанте 
| .  часть плоскости (p), лежащая в первом октанте
 .
|  часть плоскости (p), лежащая в первом октанте
 .
| |||
 часть плоскости (p), лежащая в первом октанте
 .
|  часть плоскости (p), лежащая в первом октанте
.
|  часть плоскости (p), лежащая в первом октанте
| |||
 часть плоскости (p), лежащая в первом октанте
.
|  часть плоскости (p), лежащая в первом октанте
 .
|  часть плоскости (p), лежащая в первом октанте
 .
| |||
 где σ – часть плоскости  лежащая в первом октанте;
|  часть плоскости (p), лежащая в первом октанте
|  часть плоскости (p), лежащая в первом октанте
|
|
|
|
Задача 7. Вычислить поверхностные интегралы по координатам (II рода)
 где σ – положительная сторона куба, составленного плоскостями  
|  где σ – положительная сторона нижней половины сферы 
| ||||||
 где σ – внешняя сторона эллипсоида  .
|  где σ – внешняя сторона эллипсоида .
| ||||||
 где σ – внешняя сторона пирамиды, составленной плоскостями 
|  где σ – внешняя сторона поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из цилиндра и плоскостей 
| ||||||
| ,где σ – внешняя сторона верхней половины сферы
|  где σ – верхняя сторона части плоскости  , лежащей в первом октанте;
| ||||||
 , где σ - внешняя сторона части поверхности параболоиды 
|  где σ - внешняя сторона части параболоиды  , отсечённой плоскостью  .
| ||||||
 где σ - внешняя сторона сферы 
| где σ – внешняя сторона полусферы 
| ||||||
 где σ - нижняя сторона круга 
|  где σ – внешняя сторона полусферы 
| ||||||
 , где S – часть поверхности параболоида  (нормальный вектор n которой образует острый угол с ортом k), отсекаемая плоскостью .
|  , где S – часть поверхности параболоида (нормальный вектор n которой образует острый угол с ортом i), отсеченная плоскостью  .
| ||||||
 , где S – внешняя сторона поверхности эллипсоида  .
|  , где S – внешняя сторона поверхности сферы  .
| ||||||
 , где S – верхняя часть плоскости  , отсеченной координатными плоскостями.
|  , где S – верхняя сторона плоскост
Воспользуйтесь поиском по сайту:  ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|