Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Геометрическая интерпретация К.Ч. Комплексная плоскость.

Поле комплексных чисел

К.Ч. называется упорядоченная пара вещественных чисел:

называются равными

Введем две операции на множестве :

(I) + = =()

(II) = ()

Покажем, что ─ поле.

операция сложения (I)

2) ассоциативна:

3) существует нейтральный (нулевой) элемент :

4) существует противоположный элемент :

Следовательно – абелева группа

операция умножения (II) дистрибутивна относительно сложения

5) =(

, аналогично проверяется дистрибутивность слева.

Следовательно – кольцо.

Операция умножения (II)

7) ассоциативна: (доказывается аналогично)

8) существует нейтральный элемент по умножению

Следовательно – ассоциативное, коммутативное кольцо с единицей.

Осталось доказать, что существует обратный для

Отступление.

Рассмотрим число вида , будем его отождествлять с числом , тогда сумма двух таких чисел

1) будет отождествляться с числом ,

т.е. с числом, которое мы получили бы при обычном сложении вещественных чисел ,
их произведение

2) (

будет отождествляться с числом (), т.е. с числом, которое мы получили бы при обычном умножении вещественных чисел .

Отсюда следует согласованность в определении сложения и умножения вещественных и комплексных чисел.
Далее будем отождествлять пару с вещественным числом . В частности будем считать .

Т.о. множество вещественных чисел R является подмножеством множества

Пара мнимая единица (была введена Эйлером (1707- 1783), играет особую роль.

или

Преобразуем произведение:

Тогда

алгебраическая форма записи К.Ч. удобна для сложения и умножения К.Ч.

Комплексно сопряженные числа

· Каждому комплексному числу соответствует число , которое называется комплексно сопряженным числу .

· Любое действительное число равно своему сопряженному:

Свойства комплексно сопряженных чисел

1)

2)

3)

4) =

5) =

=

6) =

7)

Два последних пункта доказываются аналогично.

9) Для того чтобы – было полем, осталось доказать, что

, обратный элемент такой что .

Заметим, что при Найдем выражение для

⎕ Умножим равенство слева на

Следовательно, поле.

Будем называть вещественной частью; мнимой частью;

Если , z – чисто мнимое число, если , z – вещественное число.

Частное можно получить, домножив числитель и знаменатель на число сопряженное знаменателю: :

Геометрическая интерпретация К.Ч. Комплексная плоскость.

Пусть на плоскости выбрана прямоугольная декартова система координат. Поставим в соответствие каждому комплексному числу точку этой плоскости. Очевидно, что это соответствие взаимно однозначно.

· вещественные числа изображаются точками оси абсцисс;

· на оси ординат располагаются изображения чисто мнимых чисел;

· началу координат соответствует число нуль;

· сопряженные комплексные числа изображаются точками симметричными относительно оси абсцисс.

· плоскость, точками которой изображаются К.Ч. называется к.п.;

· ее ось абсцисс- вещественной осью; ось ординат - мнимой осью.

Так как каждая точка плоскости связана с ее радиус-вектором , т.е. вектором, имеющим начало в точке О и конец в точке , то К.Ч. можно изображать вектором .

Изображение комплексных чисел векторами позволяет дать простое геометрическое истолкование сложения и вычитания комплексных чисел.

При сложении комплексных чисел и складываются их действительные и мнимые части, а при сложении соответствующих им векторов и складываются их координаты. Поэтому сумме комплексных чисел будет соответствовать вектор , равный сумме векторов ,

Относительно геометрического истолкования вычитания комплексных чисел, заметим, что вычитание векторов сводится к сложению: в результате получаем вектор , соответствующий разности комплексных чисел .

· Геометрический смысл модуля разности комплексных чисел состоит в том, что он равен длине вектора | = , т.е. расстоянию между точками .

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...