Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Тема 7. Дифференциальное исчисление функций одной переменной




7.1. Производная функции

 

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента (независимой переменной) при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

.

 

Обозначают: .

Уравнение касательной к кривой в точке примет вид:

.

 

Правила дифференцирования. Производные элементарных функций

 

1. Производная постоянной равна нулю, т.е. .

2. Производная аргумента равна 1, т.е. .

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е.

.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной

.

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений каждого из сомножителей на все остальные:

.

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

при .

 

Производные элементарных функций

1) , .

2) ,

.

3) ,

.

4) .

5) .

6) .

7) ,

Пример. Найти производную функции .

Решение.

Первой применим формулу . Получим

= =

 

{по формулам и }=

 

{ применим формулы и }

 

={преобразуем выражение}

 

7.2. Приложения производной

 

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Итак, если имеется неопределенность вида или , то

 

.

Пример. Вычислить предел .

Решение. При множитель является бесконечно большой функцией, а множитель - бесконечно малой. Таким образом, имеем нестандартную неопределенность «».

= «» =

Преобразуем эту нестандартную неопределенность к стандартному виду (виду дроби):

= = «» =

Для раскрытия полученной стандартной неопределенности «» используем правило Лопиталя.

= = = «» =

Используем правило Лопиталя во второй раз:

= = = «» = 0.

Пример. Найти уравнение касательной к кривой в точке . Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно к этой касательной.

Решение. Уравнение касательной к графику функции имеет вид , где - координаты точки касания, - угловой коэффициент касательной.

Найдем координаты точки касания: по условию , тогда .

Найдем угловой коэффициент прямой: , , .

Запишем уравнение касательной или

Искомая прямая проходит параллельно найденной касательной, следовательно, их угловые коэффициенты связаны соотношением . Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точку : . Уравнение искомой прямой имеет вид или .

Таким образом, уравнение касательной ; уравнение искомой прямой .

 

Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка , то она возрастает на этом промежутке.

Теорема (достаточное условие убывания функции). Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка , то она убывает на этом промежутке.

 

Необходимое условие экстремума. Для того, чтобы функция имела экстремум в точке , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю () или не существовала.

Замечание. Это условие не является достаточным, т.е. производная в точке может обращаться в нуль или не существовать, а функция не будет иметь экстремум в этой точке.

 

Теорема (первое достаточное условие экстремума). Если при переходе через точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума функции, а если с минуса на плюс, то точка минимума.

Теорема (второе достаточное условие экстремума). Если первая производная дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке , а вторая производная в этой точке положительна, то есть точка минимума функции , если же отрицательна, то - точка максимума.

Пример. Исследовать на экстремум функцию и найти интервалы монотонности.

Решение.

1˚. Область определения функции . Производная функции .

2˚. Приравнивая производную к нулю, находим критическую точку функции . Точка , в которой производная не существует, является точкой разрыва функции.

3˚. Покажем критическую точку и область определения функции на числовой прямой. Для определения знака производной в полученных интервалах выберем, например, и найдем

, .

Следовательно, при всех функция убывает, а на интервалах и функция возрастает. Согласно достаточному условию – точка минимума данной функции.

4˚. Находим .

Пример. Найти асимптоты графика функции .

Решение.

1˚. Область определения . Найдем пределы функции при .

, отсюда следует, что прямая является вертикальной асимптотой.

2˚. Исследуем поведение функции на бесконечности:

.

Следовательно, прямая является горизонтальной асимптотой.

3˚. Найдем наклонную асимптоту:

. Таким образом, наклонных асимптот не существует.

Пример. Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение. 1˚. Область определения , т.е. .

2˚. Выполняется условие , следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси ординат.

3˚.Нули функции (точки пересечения с осями координат): . То есть точка пересечения одна .

4˚. Вертикальные асимптоты cледует искать в точках разрыва функции . Рассмотрим односторонние пределы функции

и , т.к. пределы бесконечны, то прямая есть вертикальная асимптота. В силу симметрии графика прямая также вертикальная асимптота.

5˚. Рассмотрим поведение функции при .

Вычислим , отсюда следует, что горизонтальных асимптот нет, нужно искать наклонные асимптоты :

.

Наклонной асимптоты также нет.

6˚. Экстремумы и интервалы монотонности.

Найдем

при - критические точки и - точки разрыва функции.

Из рисунка 4 видно, что точки являются точками минимума и , а точка – точка максимума и .

На интервалах функция убывает, а на интервалах – возрастает.

 

7˚. По результатам исследования построим график. График изображен на рисунке.

 

7.3. Дифференциал функции

 

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

.

 

Определение. Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной

 

Тогда формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

,

.

.

Пример. Вычислить приближенно

Решение. В нашем случае

Надо так подобрать ( должно быть близко к ), чтобы извлекался точно. Очевидно, что Тогда

Чтобы применить формулу, вычислим производную

и найдём значение производной в точке :

Тогда получим:

 


Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...