Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Тема 2. Элементы линейной алгебры




Системы линейных уравнений

Дана система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. (2.1)

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Систему уравнений (2.1) можно представить в матричном виде , где − основная матрица системы,состоящая из коэффициентов уравнений при неизвестных; − матрица-столбец неизвестных ; − матрица-столбец свободных членов системы.

Исходную систему уравнений (2.1) можно представить в матричном виде , где − основная матрица системы,состоящая из коэффициентов уравнений при неизвестных, причём матрица квадратная(содержит одинаковое число строк и столбцов); − матрица-столбец неизвестных ; − матрица-столбец свободных членов системы: .

Если матрица невырожденная, т.е. определитель матрицы отличен от нуля , то исходная система уравнений имеет единственное решение, которое находится по формуле , (2.2) где − обратная матрица к матрице .

Определитель третьего порядка матрицы вычисляется по формуле

Обратная матрицанаходится по формуле . (2.3)

Алгебраические дополнения элементов матрицы находятся по формуле , где – минор элемента матрицы , представляющий собой определитель, полученный из основного вычёркиванием - й строки и - го столбца.

Пример 5

Решить систему уравнений матричным методом

Решение: Матричный вид данной системы уравнений:

Вычислим определитель матрицы А. Т.к. определитель матрицы А не равен 0, то матрица А невырожденная, для неё существует обратная матрица A-1.

Вычислим алгебраические дополнения для каждого элемента основной матрицы.

Таким образом, имеем следующую обратную матрицу:

Тогда матричное решение исходной системы имеет вид:

 

 

Проверка:

Подставим найденные числа вместо переменных в исходную систему уравнений

Получили верные числовые равенства, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: .

Метод Крамера

Рассмотрим решение системы (2.1) с помощью формул Крамера

Дополнительные определители получаются из основного Δ, если в нём заменить соответственно первый, второй, … n-й столбец на столбец свободных членов системы.

Таким образом, для решения системы (2.1) с учетом уже введённых обозначений, дополнительные определители будут иметь вид:

Пример 6 Решить систему уранений, рассмотренную в примере 5, по правилу Крамера.

Тема 3. Теория пределов

Предел функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Определение. Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любого, сколь угодно малого положительного числа найдётся такое положительное число , зависящее от , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Этот предел функции обозначается: или ƒ(х)→А при х→х0.

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах: если существуют и , то

1) ; (3.1)

2) ; (3.2)

3) ; (3.3)

4) (при ). (3.4)

Определение. Функция α (х) называется бесконечно малой величиной при х→х0, или при х→∞, если её предел равен нулю

Определение. Функция ƒ(х) называется бесконечно большой в точке х0 (или при х→х0), если имеет место одно из равенств: .

Теорема (о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций): если ƒ(х) ─ бесконечно малая функция при х→х0, то ─ бесконечно большая функция при х→х0, и наоборот.

 

Первый замечательный предел . (3.5)

Второй замечательный предел . (3.6)

Пример 7 Найти предел

Решение: Поскольку функция непрерывна в точке , искомый предел равен значению функции в этой точке. Используя теоремы о действиях над пределами функций, получим

Пример 8 Найти предел

Решение: При числитель стремится к пяти (т.е. является ограниченной функцией), а знаменатель – к нулю (т.е. является бесконечно малой величиной). Очевидно, что их отношение есть величина бесконечно большая, т. е.

В рассмотренных примерах предел находился сразу, чаще при вычислении пределов мы сталкиваемся с неопределённостями: , , , .

Пример 9 Найти предел

Решение: При числитель и знаменатель дроби равны нулю, имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть неопределённость вида , необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить их на общий множитель .

Пример 10 Найти предел

Решение: Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённости вида . Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение .

.

Пример 11 .

Решение: Теорему о пределе частного здесь применить нельзя, так как числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют. В данном случае имеет место неопределённость вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на х в высшей степени (в данном случае на х2 ), а затем воспользуемся теоремами о пределах функций:

Пример 12

Найти предел

Решение: Приведём дроби к общему знаменателю:

Числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функции, поэтому здесь имеет место неопределённость вида . Раскрывая эту неопределённость, разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень , т. е. на :

Пример 13 Найти предел

Решение: При , а показатель степени стремится к , следовательно, имеем неопределённость вида .

Представим дробь в виде суммы 1 и некоторой бесконечно малой величины: .

Применим второй замечательный предел (3.6).

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...