Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Связь между тригонометрическими функциями одного угла.




Да, конечно. Синус, косинус, тангенс и котангенс одного и того же угла связаны между собой. Всякая связь между выражениями задаётся в математике формулами. В тригонометрии формул - колоссальное количество. Но здесь мы рассмотрим самые основные. Эти формулы так и называются: основные тригонометрические тождества. Вот они:

Эти формулы надо знать железно. Без них вообще в тригонометрии делать нечего. Из этих основных тождеств вытекают ещё три вспомогательных тождества:

В каких заданиях и как используются основные тригонометрические тождества? Самое популярное задание - найти какую-нибудь функцию угла, если дана другая. В ЕГЭ такое задание из года в год присутствует.) Например:

Найти значение sinx, если х - острый угол, а cosx=0,8.

Задачка почти элементарная. Ищем формулу, где имеются синус и косинус. Вот она эта формула:

sin2x + cos2x = 1

Подставляем сюда известную величину, а именно, 0,8 вместо косинуса:

sin2x + 0,82 = 1

Ну и считаем, как обычно:

sin2x + 0,64 = 1

sin2x = 1 - 0,64

sin2x = 0,36

Вот, практически и всё. Мы вычислили квадрат синуса, осталось извлечь квадратный корень и ответ готов! Корень из 0,36 будет 0,6.

sinx = 0,6

Задачка почти элементарная. Но словечко "почти" здесь не зря стоит... Дело в том, что ответ sinx= - 0,6 тоже подходит... (-0,6)2 тоже 0,36 будет.

Два разных ответа получаются. А нужен один. Второй - неправильный. Как быть!? Да как обычно.) Внимательно прочитать задание. Там зачем-то написано:... если х - острый угол... А в заданиях каждое слово смысл имеет, да... Эта фраза - и есть дополнительная информация к решению.

Острый угол - это угол меньше 90°. А у таких углов все тригонометрические функции - и синус, и косинус, и тангенс с котангенсом - положительные. Т.е. отрицательный ответ мы здесь просто отбрасываем. Имеем право.

Собственно, восьмиклассникам такие тонкости не нужны. Они работают только с прямоугольными треугольниками, где углы могут быть только острые. И не знают, счастливые, что бывают и отрицательные углы, и углы в 1000°... И у всех этих кошмарных углов есть свои тригонометрические функции и с плюсом, и с минусом...

А вот старшеклассникам без учёта знака - никак. Многие знания умножают печали, да...) И для правильного решения в задании обязательно присутствует дополнительная информация (если она необходима). Например, она может быть дана такой записью:

Или как-нибудь иначе. В примерах ниже увидите.) Для решения таких примеров нужно знать, в какую четверть попадает заданный угол х и какой знак имеет нужная тригонометрическая функция в этой четверти.

Эти азы тригонометрии рассмотрены в уроках что такое тригонометрический круг, отсчёт углов на этом круге, радианная мера угла. Иногда требуется знать и таблицу синусов косинусов тангенсов и котангенсов.

Итак, отметим самое главное:

Практические советы:

1. Запомните определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Очень пригодится.

2. Чётко усваиваем: синус, косинус, тангенс и котангенс накрепко связаны с углами. Знаем одно - значит, знаем и другое.

3. Чётко усваиваем: синус, косинус, тангенс и котангенс одного угла связаны между собой основными тригонометрическими тождествами. Знаем одну функцию - значит, можем (при наличии необходимой дополнительной информации) вычислить все остальные.

А теперь порешаем, как водится. Сначала задания в объёме 8-го класса. Но и старшеклассникам тоже можно...)


1. Вычислить значение tgА, если ctgА = 0,4.


2. β - угол в прямоугольном треугольнике. Найти значение tgβ, если sinβ = 12/13.


3. Найти значение выражения:

6sin25° - 3 + 6cos2


4. Найти значение выражения:

(1-cosx)(1+cosx), если sinх = 0,3


5. Определить синус острого угла х, если tgх = 4/3.

Ответы (через точку с запятой, в беспорядке):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Получилось? Отлично! Восьмиклассники могут уже пройти за своими пятёрками.)

Это были задачки типа ЕГЭ, но в урезанном варианте. ЕГЭ - лайт). А сейчас почти такие же задания, но в полноценном егэшном виде. Для обременённых знаниями старшеклассников.)


6. Найти значение tgβ, если sinβ = 12/13, а


7. Определить sinх, если tgх = 4/3, а х принадлежит интервалу (- 540°; - 450°).


8. Найти значение выражения sinβ·cosβ, если ctgβ = 1.

Ответы (в беспорядке):

-0,8; 0,5; -2,4.

Здесь в задаче 6 угол задан как-то не очень однозначно... А в задаче 8 и вовсе не задан! Это специально). Дополнительная информация не только из задания берётся, но и из головы.) Зато уж если решили - одно верное задание "В" гарантировано!

 

В этом уроке дано очень ограниченное понятие тригонометрических функций. В пределах 8-го класса. А у старших остаются вопросы...

Например, если угол х (смотрите вторую картинку на этой странице) - сделать тупым!? Треугольник-то вообще развалится! И как быть? Ни катета не будет, ни гипотенузы... Пропал синус...

Если бы древние люди не нашли выход из этого положения, не было бы у нас сейчас ни мобильников, ни TV, ни электричества. Да-да! Теоретическая основа всех этих вещей без тригонометрических функций - ноль без палочки. Но древние люди не подвели. Как они выкрутились - в следующем уроке.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...