Соотношение между средней величиной, медианой и модой

__

Средняя арифметическая величина (простая) Х исчисляется как сумма ∑ отдельных значений признака Х1, Х2, Х3,…, Хn, деленная на их число n. Т. е. используется для осреднения прямых значений признаков путем их суммирования. Она применяется для усреднения абсолютных и относительных величин. Её логическая формула имеет вид:

n

∑ Xi

__ I=1___

X ср. ариф. = n,

__

Где X – средняя определенной степени (читается как «икс с чертой»), Xi – варианты (меняющееся значение признака), n – число вариант, ∑ - знак суммирования (сигма большая).

Средняя арифметическая имеет определенные математические свойства, раскрывающие её сущность. Так сумма отклонений отдельных вариант от средней равна нулю, а сумма квадратов таких отклонений приближается к минимуму. Эти два свойства лежат в основе изучения вариации признаков. Если отдельные значения вариант увеличить (уменьшить) на величину А или в k раз, то средняя изменится соответственно.

Этот простейший способ определения средней применяется лишь тогда, когда каждая единица совокупности имеет различные значения изучаемого признака, т. е. его значения не повторяются.

Средняя арифметическая взвешенная – это средняя из вариантов, которые повторяются различное число раз или имеют различный вес.

В изучаемой совокупности почти всегда обнаруживаются варианты признака, одинаковые для целого ряда единиц совокупности. Число этих одинаковых вариантов называются весами или частотами, иными словами это числа, показывающие, сколько раз встречается вариант в каком-либо ряде.

Например, при расчете среднего возраста осужденных, среднего срока наказания, среднего срока расследования или рассмотрения уголовных дел одна и та же варианта (Х), например, возраст 20 лет или мера наказания 5 лет, может повторяться десятки или даже сотни раз, т. е. с той или иной частотой (f). В этом случае в общую и специальные формулы расчета средних вводится символ f – частота. Частоты при этом называются статистическими весами, или весами средней, а сама средняя называется взвешенной степенной средней. Это означает, что каждая варианта (возраст 25 лет) как бы взвешивается по частоте (40 человек), т. е. умножается на нее.

Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формуле:

__ ∑nf

Х = --------------,

∑f

где n – варианты и f – веса.

Смысл средней взвешенной можно продемонстрировать на примере вычисления среднего возраста осужденных в ВК для несовершеннолетних, в которой содержатся лица 15, 16, 17, 18 лет, его нельзя определять исходя только из показателей приведенного вариационного ряда:

__ 15 + 16 + 17 + 18

Х = ------------------------ = 16,5 лет.

Для правильного исчисления необходимо знать вес (частоту) указанных возрастных признаков, т. е. смколько человек каждой возрастной группы находится в изучаемой совокупности.

Предположим, что в ВК содержится 1000 осужденных и они распределяются по возрастным группам следующим образом:

(15´100) + (16´150) + (17´150) + (18´600)

Х ср.взв. = -------------------------------------------------------- = 17,25 года.

При сопоставлении полученных данных – 16, и 17,25 года, легко понять, почему между ними возникло расхождение. Дело именно в весе каждого варианта, поскольку больший вес (600 осужденных) имеет вариант 18 лет, он и «перетянул» среднюю в свою сторону.

Средние арифметические находят самое широкое применение при анализе правонарушений, результатов деятельности по социальному контролю над ними, оценке работы правоохранительных органов и т. д.

Среднее арифметическое линейное отклонение по абсолютной величине вычисляется как взвешенное по частоте отклонение середин интервалов от средней арифметической величины. Данный показатель служит наилучшей мерой колеблемости вариантов, из которых выводится средняя, наилучшим способом проверки однородности совокупности. При расчете средней арифметической из отклонений необходимо абстрагироваться от знаков «+» и «-».

_

В этом случае сумма отклонений ∑(x – x), разделенное на число отклонений n, а при наличие частот – на число f, и будет средним арифметическим отклонением. Следовательно, расчетная формула имеет вид:

__ _

d = ∑(x – x)

∑f

Это вторая мера измерения вариации признака.

Средняя из внутригрупповых дисперсий (взвешенных на частоты соответствующих групп) - для всех групп в целом вычисляются по формуле:

m

∑σj²fj

σ² = 1

m

∑fj

Средняя гармоническая (обратная средней арифметической) – это отношение числа вариантов признака к сумме обратных их значений, т. е. эта величина используется для осреднения индивидуальных значений признаков из обратных величин путем их суммирования. Для несруппированных данных используется средняя гармоническая простая. Её логическая формула имеет вид:

__ n

Х =

n 1

∑

i Х,

где Х – отдельные варианты; n – их число.

Средняя гармоническая часто применяется для анализа хозяйственной деятельности, а также для вычисления, например, покупательной способности денег на основе цен товаров, поскольку цена единицы товара при прочих равных условиях обратно пропорциональна покупательной способности рубля (чем ниже цена товара, тем больше единиц этого товара можно приобрести на единицу денег).

Если данные сгруппированы, то используют среднюю гармоническую взвешенную.

Средняя гармоническая взвешенная. Применяется для усреднения относительных величин (за исключением относительных показателей динамики).

Её логическая формула имеет вид:

n

∑ fi

__ i=1

Х =

n fi

∑

i=1 Хi,

где Х – отдельные варианты; n – их число, fi – веса.

Средняя геометрическая величина (простая для несгруппированных данных) – этот вид средней вычисляется для установления средних показателей темпов роста и прироста (снижения) наблюдаемых явлений. Изучение этих параметров в динамике преступности, выявленных правонарушителей, раскрываемости, судимости и других меняющихся во времени юридически значимых явлений и процессов имеет важное практическое и научное значение. Средние арифметические показатели применяются для расчета среднегодового абсолютного прироста (снижения), выраженного в именованных числах. Они важны, но недостаточны, особенно в сравнительных целях, для достижения которых большую помощь оказывают темпы роста, прироста и снижения, выраженных в процентах. Расчет этих параметров производится по формуле средней геометрической, но на основе тех же абсолютных показателей.

Средняя геометрическая исчисляется путем извлечения корня степени n из произведений отдельных значений признака:

n n n

Х= √ Х1´ Х2´Х3´ …´ Хn = √ ПХi,

__ i=1

Где Х – средняя геометрическая, П – символ произведения или знак перемножения; n – число значений признака или число осредняемых величин.

Чаще всего, на практике, сопоставление усредненного показателя с реальными годовыми абсолютными приростами показывает, что в течение, предположим, пятилетия прирост получается очень неравномерным. В уголовной статистике редко встречаются тенденции, когда уровень преступности или ее отдельных видов изменяется по законам, близким к геометрической прогрессии, т. е. когда каждый последующий уровень ряда примерно равен предудущему, умноженному на некоторое постоянное число, называемое в математике знаменателем прогрессии. Поэтому в чистом виде геометрическая прогрессия в динамике юридически значимых явлений наблюдается крайне редко.

Если временные интервалы неодинаковы, используют среднюю геометрическую взвешенную.

Средняя геометрическая взвешенная используется при неодинаковых временных интервалах. Ее формула имеет вид:

__ n n

Х = √ П xi ´ ti / t,

i=1

n

где t = ∑ ti – временной интервал.

i=1

Средняя квадратическая величина – это величина, которая используется для характеристики вариации. Она лежит в основе вычисления ряда сводных расчетных показателей. Средний квадратичный показатель (средний квадрат отклонения, среднеквадратическое отклонение) играют важную роль при измерении связей между изучаемыми явлениями и их причинами, при обосновании корреляционной зависимости.

Формула средней квадратической величины имеет вид:

n

∑Хi²

Х = √ i=1

n

Средняя квадратическая взвешенная величина. Ее формула имеет вид:

n

∑Хi²fi

Х = √ i=1

n

∑fi

i=1

В статистической практике также находят применение степенные средние 3-го и более высоких порядков.

Среднее квадратическое отклонение – это величина, которая рассчитывается как корень квадратный из дисперсии. Среднее квадратическое отклонение, дисперсия и среднее линейное отклонение могут определяться по формулам простой и взвешенной (в зависимости от исходных данных). Это четвертый показатель вариации. Он исчисляется по формуле:

_________

__

∑ (x – x)²

σ =√ σ² = √ n,

а при наличии частот __________

__

∑ (x – x)² f

σ = √ σ² = √ ∑ f

В юридической статистике оно используется при сравнительных статистических исследованиях, для обоснования ошибки репрезентативности (ошибки выборки) выборочного наблюдения, а также при изучении корреляционных и иных статистических связей между признаками фактора и признаками следствия, или между причиной и следствием.

Средняя многомерная – это величина из m относительных признаков, которая является интегральной оценкой j-го элемента совокупности:

m

∑pij

pj =.

m

Если показатели системы считаются неравнозначными, каждому из них присваивается определенный вес di, а расчет многомерной средней производится по формуле арифметической взвешенной:

m

∑ pijdi

рj =

m

∑ di

При рj >1 уровень явления у j-го элемента выше среднего по совокупности или нормативного; при рj < 1, наоборот, ниже.

Среднее линейное отклонение – средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант признака от их средней.

Средний показатель – это показатель в форме средней величины, представляющий собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.

Средняя величина является наиболее ценной, с аналитической точки зрения, и универсальной формой выражения статистичесих показателей. Наиболее распространенная средняя – средняя арифметическая – обладает рядом математических свойств, которые могут быть использованы при её расчете. В тоже время при исчислении конкретной средней всегда целесообразно опираться на её логическую формулу. Представляющую собой отношение объема прихнака к объему совокупности. Для каждой средней существует тоько одно истинное исходное соотношение, для реализации которого, в зависимости от имеющихся данных, могут потребоваться различные формы средних. Однако во всех случаях, когда характер осредняемой величины подразумевает наличие весов, нельзя вместо взвешенных формул средних использовать их невзвешенные формулы.

__

Средний темп роста (Тр) показывает, во сколько раз в среднем за единицу времени изменился уровень динамического ряда и исчисляется по формуле средней геометрической:

__ ______________

Тр = ⁿ√ Т1´Т2´Т3´…´Тn

Средний темп прироста (Тпр.) рассчитывается по единственной методике (по другому нельзя): сначала находится средний темп роста, а затем уменьшают его на 1 или 100%. Формула имеет вид:

__

Тпр = Тр – 100%

Средний уровень ряда обобщает итоги развития явления за какой-либо интервал времени (месяц, квартал, год) или момент времени. Расчет среднего уровня определяется видом ряда (моментный или интервальный). Для любых интервальных рядов, для интервальных и моментных рядов средних величин средний уровень ряда рассчитывается по правилам средней арифметической. Например, в n – ой области было зарегистрировано разбоев: в 1999 г. - 48, 2000 г. – 64, 2001 г. – 100, 2002 г. – 111, 2003 г. – 113. Если обозначить годовые уровни символом Уi, то средний уровень ряда У может быть исчислен по формуле:

__ ∑ Уi 48+64+100+111+113

У = n = 5 = 87,2 разбоя.

Средний уровень разбоев за 5 лет показателен лишь как некий эталон, от которого колеблются реальные показатели. Очевидно, что начиная с 2001 г. годовой уровень разбоев был намного выше среднего. Однако такие расчеты по анализу преступности производятся редко. В практических целях часто важно знать средний уровень нагрузки конкретного следователя, судьи, адвоката и т. д. за год по месяцам или за несколько лет при сравнении с общей средней нагрузкой тех или иных работников в целом. Объективная оценка работы каждого имеет важное значение в управленческой деятельности.

По-иному рассчитывается средний уровень для моментных рядов. Вначале исчисляют средний уровень на начало и на конец периода (например, года), а затем среднюю арифметическую за несколько лет. Эта средняя известна в статистике как средняя хронологическая для моментных рядов. Она исчисляется по формуле:

У1 Уn

__ 2 +У2 +У3 + У4 +…+ 2

У = n-1

Существуют и другие способы расчета, на которых мы останавливаться не будем.

Средняя хронологическая формуле средней арифметической, причем при равных интервалах применяется средняя арифметическая простая, а при неравных – средняя арифметическая взвешенная. интервального ряда исчисляется по

Средняя хронологическая моментного ряда исчисляется как сумма всех уровней ряда, поделенного на число членов ряда без одного, причем первый и последний члены ряда берутся в половинном размере.

Срок (период) наблюдения – это время, в течение которого происходит заполнение статистических формуляров, т. е. время, необходимое для проведения массового сбора данных. Этот срок определяется исходя из объема работы (числа регистрируемых признаков и единиц в обследуемой совокупности), численности персонала, занятого сбором информации. Следует учитывать, что отдаление периода наблюдения от критического момента или интервала времени может привести к снижению достоверности получаемых сведений.

Стандартизация – это когда индивидуальные значения показателей заменяются рангами, баллами, относительными величинами, стандартными отклонениями и т.п. При стандартизации с помощью относительных величин базой сравнения может быть либо эталонное значение (норма, стандарт), либо среднее значение показателя по совокупности:

xij xij

pij =, или pij =

xi xi,st

где: xij – значение i-го показателя у j-го элемента совокупности; xi,st – эталонное значение этого показателя; xi – среднее.

Средняя ошибка выборки μ – это ошибка, которая является средним квадратическим отклонением выборочных оценок от значений параметра генеральной совокупности и показывает среднюю величину всех возможных расхождений выборочной и генеральной средней. Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцировано в зависимости от способа отбора и процедуры выборки. Так, при случайном повторном отборе средняя ошибка определяется по формуле:

σ²

При случайном отборе μ = √

n,

____

σ² n

При бесповторном отборе μ = √ [1 - --- ]

n N

где σ² - выборочная дисперсия; n и N – соответственно объем выборочной и генеральной совокупностей.

«Статистика» восходит к позднелатинскому status – состояние, положение вещей. Первоначально оно употреблялось в значении «политическое состояние». Отсюда итальянское слово stato – государство и statista – знаток государства. В научный обиход слово «статистика» вошло в XVIII в. и первоначально потреблялось в значении «государствоведение».

Статистика - в настоящее время термин «статистика» употребляется в трех значениях:

1) статистикой называют цифровой материал, служащими для характеристики какой-либо области массовых явлений или территориального распределения какого-то показателя (т.е. в данном случае статистика выступает как совокупность сведений о массовых явлениях, это конкретные количественные величины абсолютные и относительные, раскрывающие уровень, динамику или структуру исследуемого явления). Пример: статистика населения, статистика преступности, статистика торговли и т.д.;

2) под статистикой понимают отрасль практической деятельности, направленной на получение, обработку и анализ массовых данных о самых различных явлениях общественной жизни (в этом смысле «статистика» выступает как синоним словосочетания «статистический учет»). Это непосредственный учет социальных, юридических, экономических, демографических и других массовых явлений и формируемая на его основе периодическая отчетность о них на различных стадиях обобщения. Пример: сбор, анализ и интерпретация данных о преступности за квартал и т.д.;

3) статистика – особая научная дисциплина, в рамках которой изучается статистика в обоих смыслах слова или только в одном и содержит теоретические положения о методах изучения тех или иных массовых явлений. Рассматриваемая наука включает в себя общую теорию статистики и научные основы её отдельных отраслей (юридической, экономической, демографической и т.д.)

Главная особенность статистики заключается в том, что статистические данные сообщаются в количественной форме, т. е. статистика говорит языком цифр, отображающих общественную жизнь во всем многообразии её проявлений.

Итак, статистика определяется как собирание, представление, анализ и интерпретация числовых данных.