Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Основы теории деформированного состояния. Тензор деформаций

Тема 5. Основы теории деформированного состояния. Объемная деформация. Обобщенный закон Гука

Основы теории деформированного состояния. Тензор деформаций

При деформации тела его точки перемещаются, при этом изменяются расстояния между точками и углы между отрезками, соединяющими эти точки. Обозначим линейные перемещения точки вдоль осей соответственно Оx,Оy,Оz через u, v, w. На рис. 5.1 слева изображен прямоугольный параллелограмм, вырезанный вокруг некоторой точки тела с длинами сторон dx, dy, dz. После деформации длины его сторон изменятся: , , . Поменяются и углы между сторонами соединяющими, например, точки и (рис. 5.1 справа); здесь - угол сдвига.

 

Рис.5.1. К нахождению составляющих тензора деформации

 

Деформированное состояние в точке тела характеризуется совокупностью относительных линейных и угловых сдвиговых деформаций , , по всем декартовым направлениям Оx,Оy,Оz, проходящим через данную точку тела.

Покажем, как определяются компоненты относительных линейных и угловых деформаций на примере плоского случая деформирования элемента (рис. 5.2). Пусть плоский элемент ABCD под действием нагрузки перемещается (за счет общей деформации тела) в пределах плоскости и деформируется (изменяет размеры и форму), трансформируясь в элемент . Координаты точек элемента до и после его деформирования показаны на рис. 5.2.

По определению относительная линейная деформация в точке A по направлению оси Ox равна

 

, (5.1)

 

где элементарные длины отрезков а определяется по формуле

 

(5.2)

В случае малых деформаций и квадратными членами в (5.2) можно пренебречь. Раскладывая оставшуюся часть подкоренного выражения в биноминальный ряд и удерживая первые два члена, будем иметь

 

. (5.3)

 

Подставляя (5.3) в (5.1), получаем

. (5.4)

 
 

 

 

Рис. 5.2. К нахождению составляющих тензора деформации

 

Из рис. 5.2 видно, что угловая деформация равна

 

. (5.5)

В случае малых деформаций и учитывая, что , имеем

 

, (5.6)

 

.

 

С учетом (5.6) выражение (5.5) окончательно принимает форму

 

. (5.7)

 

Обобщая аналогичные выкладки на общий случай трехмерной деформации, имеем

 

(5.8)

.

 

Соотношения (5.8) носят название соотношений Коши.

Три линейных и шесть угловых , , , , , деформаций образуют тензор деформаций

 

. (5.9)

 

Тензор (5.12) полностью определяет деформированное состояние твердого тела. Он обладает теми же свойствами, что и тензор напряжений, так как строится в рамках закона взаимно однозначного соответствия между напряжениями и деформациями, т. е. в рамках закона Гука.

 

 

5.2. Закон парности касательных напряжений при объемной деформации

Не все девять компонентов напряжений, действующих на гранях элементарного параллелепипеда, являются независимыми. В этом легко можно убедиться, составив уравнения моментов для выделенного плоского элемента (рис. 5.3). Составим уравнение моментов относительно оси О z - точки (рис. 5.3):

 

тогда (5.10)

 

 

Рис. 5.3. К выводу закона парности касательных напряжений

 

Отсюда следует

. (5.11)

 

Аналогично для 2-х других уравнений можем найти

 

; . (5.12)

 

Итак, равенства ; ; называются законом парности касательных напряжений.

Он гласит: касательные напряжения на двух любых взаимно перпендикулярных площадках, направленные перпендикулярно к линии пересечения площадок, равны по величине и направлены либо оба к линии пересечения, либо от нее.

 

5.3. Обобщенный закон Гука для изотропных тел

Для большинства конструкционных материалов свойство упругости проявляется при умеренных значениях внешних сил, приводящих к малым деформациям, и при малых скоростях нагружения, когда потери энергии за счет температурных эффектов пренебрежимо малы. Материал называется линейно-упругим, если компоненты тензора напряжений и тензора деформаций связаны линейными соотношениями.

Одноосное напряженное состояние. Пусть материал является линейно-упругим и изотропным. Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Одноосное напряженное состояние

Тензор напряжений в этом случае будет иметь вид

 

. (5.13)

 

При таком нагружении направление действия напряжения будет характеризоваться линейной деформацией, пропорциональной величине напряжения

 

, (5.14)

где Е — модуль упругости .

Соответствующие деформации по направлениям 2 и 3 обозначим через и , причем они будут отрицательны при >0 и пропорциональны

 

, , (5.15)

где μ - коэффициент Пуассона.

 

Трехосное напряженное состояние. При одновременном действии напряжений по трем ортогональным осям (рис. 5.5), когда отсутствуют касательные напряжения, тензор напряжений будет

. (5.16)

Рис. 5.16. Трехосное напряженное состояние. Главные площадки

 

Используя принцип суперпозиции, можно записать

 

,

 

, (5.17)

 

.

 

С учетом формул типа (5.14), (5.15) зависимости (5.17) примут вид

 

,

, (5.18)

.

 

Соотношения (5.18) справедливы для главных направлений (главных площадок). Доказано, что они справедливы для любых трех взаимно перпендикулярных направлений.

.

,

, (5.19)

.

Это и понятно, так как при малых деформациях скос (сдвиг), вызываемый касательными напряжениями, не влияет на изменение длины отрезков. Поэтому зависимости (5.19) выражают так называемый обобщенный закон Гука.

Связь между деформациями сдвига и касательными напряжениями. Угловая деформация (деформация сдвига) обусловлена касательным напряжением. Так, например, деформации , обусловлены касательными напряжениями, соответственно , .

Соответствующие касательные напряжения и угловые деформации для линейно-упругого изотропного тела связаны зависимостями

 

, (5.20)

 

где G — модуль сдвига.

Между E и G для изотропных материалов существует связь

.

Объемная деформация. Пусть параллелепипед со сторонами (рис. 5.7 а) после нагружения изменил свои размеры (рис. 5.7 б).

 

 

Рис. 5.7. К определению объемной деформации

 

Объем параллелепипеда до деформации был , а после деформирования составил:

.

Последнее выражение представим в виде:

 

.

Относительное изменение объема при пренебрежении произведениями величин , и т. д., как величинами второго порядка малости равно:

. (5.21)

 

С учетом (5.19) выражение (5.21) примет форму:

 

. (5.22)

 

Для случая гидростатического сжатия: (p ¾ равномерное давление) соотношение (5.22) предстанет в виде

. (5.23)

 

Величина — называется модулем объемной деформации.

При (предельное значение) изменения объема не происходит, это так называемые несжимаемые материалы.

Из опытов следует, что для всех известных материалов ; для конструкционных материалов .

5.4. Потенциальная энергия упругой деформации

В общем случае нагружения тела по граням его элемента (параллелепипеда) с размерами ребер , , , вырезанного вокруг произвольной точки тела, будут действовать нормальные , , и касательные напряжения , , . Потенциальная энергия, накопленная в этом элементе при деформации тела, будет равна сумме работ внешних для выделенного элемента нормальных , , и касательных сил , , соответственно на удлинениях ребер параллелепипеда , , и перемещениях граней параллелепипеда , , .

Рассмотрим вначале элементарный объем в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 5.8 а). Сила совершает элементарную работу при увеличении напряжения от нулевого уровня до значения на перемещении , пропорционально заштрихованной площади на рис. 5.8 б.

. (5.24)

При отсутствии потерь энергии при нагружении в силу закона сохранения энергии совершаемая работа перейдет в потенциальную энергию, накапливаемую в процессе деформирования тела

. (5.25)

 

Рис. 5.8. К определению потенциальной энергии деформации

 

Удельная потенциальная энергия, накопленная в единице объема элемента, будет

. (5.26)

В частном случае чистого сдвига в плоскости , изображенной на рис. 5.9 а, сила совершает работу на перемещении .

Соответствующая этому случаю нагружения удельная потенциальная энергия деформации равна (рис. 5.9 б)

. (5.27)

В общем случае напряженно-деформированного состояния будем иметь

. (5.28)

Выражая деформации в (5.28) через напряжения с помощью обобщенного закона Гука (5.19), окончательно имеем

 

Рис. 5.9. К определению потенциальной энергии при сдвиге

 

(5.29)

или в главных напряжениях

. (5.30)

Ранее было показано, что объемное напряженное состояние всегда можно представить как сумму напряженных состояний, одно из которых характеризует объемную деформацию элемента тела, а второе - изменение его формы. Удельную потенциальную энергию также можно представить в виде суммы

, (5.31)

где , — части удельной потенциальной энергии , пошедшие на изменение, соответственно, объема и формы выделенного элемента в окрестности исследуемой точки.

Найдем сначала удельную потенциальную энергию изменения объема элемента . При этом изменение объема элемента будет происходить при всестороннем его растяжении под действием на гранях напряжения . Поэтому для определения надо в (5.29) подставить вместо , , и положить , тогда

(5.32)

или

. (5.33)

Удельную потенциальную энергию формоизменения проще найти как разность .

 

(5.34)

Заменяя в (5.34) на и проводя преобразования, получаем

(5.35)

или

. (5.36)

В случае всестороннего равномерного сжатия энергия формоизменения элемента , то есть происходит изменение только объема элемента при неизменной его форме.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...