Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Определение срока ссуды и величины процентной ставки




Формулы для определения срока ссуды и величины процентной ставки при начислении по простым и сложным процентам следуют из соотношений (2.3), (2.5), (2.6), (2.7). В качестве примеров рассмотрим методы определения срока ссуды и величины простой и сложной процентных ставок наращения.

Срок ссуды и величин простой процентной ставки наращения находят, решая (2.3) относительно n и i.

(2.12)

Срок ссуды и величин сложной процентной ставки наращения определяют из формулы (2.5).

(2.13)

Пример 2.10. За какой срок сумма, равная 25000 руб., достигнет 40000 руб. при начислении по сложной процентной ставке 18% годовых?

Решение.

лет.

Пример 2.13. Финансовый инструмент куплен за 25000 руб., его выкупная цена через 1,8 года составит 35000 руб. Определить доходность операции в виде годовой ставки сложных процентов.

Решение.

или 20,55%.

Эквивалентность процентных ставок

Нами были рассмотрены следующие виды процентных ставок:

- простая процентная ставка наращения,

- сложная процентная ставка наращения,

- номинальная процентная ставка наращения,

- сила роста.

Эквивалентными процентными ставками называются любые две из перечисленных выше, которые при замене одной на другую приводят к одинаковым финансовым результатам, то есть отношения сторон не изменяются в рамках одной финансовой операции.

Определим соотношения эквивалентности между простой процентной ставкой наращения и сложной процентной ставкой наращения. При этом полагаем, что начальные и наращенные суммы при применении рассматриваемых ставок одинаковы. Поэтому для решения поставленной задачи приравняем множители наращения друг к другу.

В результате получим

,

где i – простая процентная ставка наращения, а – сложная процентная ставка наращения, n – срок операции в годах. Решив это уравнение относительно a и i, получим

; (2.14)

Пример 2.11. Простая процентная ставка депозита равна 20% годовых, срок депозита 0,5 года. Определить доходность финансовой операции в виде сложной годовой процентной ставки.

Решение. или 21%.

Найдем соотношения эквивалентности между номинальной процентной ставкой наращения j и сложной процентной ставкой наращения a. В этом случае сложная процентная ставка наращения называется эффективной ставкой процентов. Эффективная ставка процентов – это годовая ставка сложных процентов при начислении раз в году, которая дает тот же результат, что и m – разовое начисление процентов по ставке j / m. Поэтому множители наращения эффективной и номинальной ставок должны быть равны друг другу, то есть

,

Решив это уравнение относительно a и j, получим

(2.15)

Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку a не изменит финансовых обязательств участников сторон, то есть обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Пример 2.12. Номинальная ставка процента при начислении один раз в квартал равна 16% годовых. Определить эффективную ставку.

Решение. = или 16,99%.

Учет инфляции

Без учета инфляции конечные результаты расчетов денежных потоков являются весьма условными. Рассмотрим некоторые понятия, связанные с инфляционными процессами.

Реальная стоимость C суммы S, обесцененной во времени за счет инфляции, рассчитывается по формуле:

(2.16)

где – индекс цен.

Индекс цен может быть рассчитан, например, по формуле Пааше:

где p 1 j , p 0 j – цена j -го товара в исследуемом и базисном периодах соответственно, q 1 j – количество проданных товаров j в исследуемом периоде, T – общее количество исследуемых товаров.

Темпом инфляции называется относительный прирост цен за период

(2.17)

Индекс цен за несколько периодов n, следующих друг за другом, вычисляется по формуле

(2.18)

где t – номер периода, – индекс цен в периоде t, – темп инфляции в периоде t.

Если ожидаемый темп инфляции величина постоянная в течении n периодов, то формула (2.22) приобретает вид

(2.19)

Средние за период индекс цен и темп инфляции находятся по формулам

где n – количество периодов (лет).

Для простых процентов обесцененная инфляцией сумма определяется выражением:

(2.20)

Из (2.20) следует, что увеличение наращенной суммы имеет место при выполнении соотношения:

.

Ставка , при которой наращение равно потерям из-за инфляции, определяется из равенства . Сопоставив это с (2.24), находим

(2.21)

Пример 2.13. Месячный темп инфляции составляет: а) , б) . Для случаев а) и б) найти индекс цен и темп инфляции за 12 и 3 месяца соответственно, а также определить обесцененную наращенную сумму, если на сумму 10000 руб. в течении указанных сроков начислялась простая процентная ставка 50% годовых (К=360). Определить ставку, при которой наращение равно потерям из-за инфляции.

Решение. При решении примера используются формулы (2.17)-(2.21).

а) ; H =(1,601–1)100%;

или 60,1%;

б) %;

или 37,04%

В варианте а) произошла эрозия капитала, а для его увеличения процентная ставка должна превышать 60,1%. В варианте б) капитал вырос в 10294,54/10000=1,029454 раз или приблизительно на 2,94%.


Для сложных процентов обесцененная инфляцией сумма определяется выражением

(2.22)

Зависимость обесцененной инфляцией суммы от времени представлена на рис. 2.1.

Рис. 2.1

Для компенсации обесценивания денег ставку увеличивают на величину инфляционной премии. Итоговую ставку называют брутто-ставкой. Выразим величину брутто-ставки r через доходность операции . Тогда ставку в формуле (2.20) и ставку в формуле для сложных процентов надо считать эквивалентными, то есть их связь определяется уравнением

,

где - индекс цен за лет. Отсюда находим

(2.23)


Для сложных процентов брутто-ставка и доходность определяются соотношением

(2.24)

Из (2.24) следует, что

; (2.25)

При постоянном темпе инфляции при подстановке (2.19) в (2.24) находим:

.

Отсюда получим связь между брутто-ставкой и доходностью:

(2.26)

При и имеем Таким образом, как следует из формулы (2.26), определить брутто-ставку путем сложения доходности операции и темпа инфляции можно только при небольших значениях этих величин.

Пример 2.14. Найти реальную процентную ставку (доходность) при брутто-ставках 60 % и 30% годовых и месячных темпах инфляции .

Решение. Найдем индекс цен за три месяца по формуле (2.18)

.

По формуле (2.23) при n =3/12=0,25 определяем для двух случаев:

или 13,63%,

или –13,23%.

Во втором случае произошла эрозия капитала на 13,95%.

Пример 2.15. Найти сложную процентную брутто-ставку при доходности 15% годовых и годовых темпах инфляции за три года для двух случаев

а) ,

б) .

Решение. а) Находим средний темп инфляции за три года

По формуле (2.25) определяем номинальную процентную ставку:

или 102,63%.

б) По формуле (2.26) определяем номинальную процентную ставку для постоянного темпа инфляции

или 107%.

2.7. Конверсия валюты

Конверсия (обмен) валюты и временное наращение денег может привести как к прибыли, так и к потерям. Это зависит от величины процентной ставки, от курсов обмена валюты в начале и в конце операции, от инфляции. Рассмотрим, прежде всего, конверсию валюты за счет ее покупки и продажи. Анализ доходности при покупки и продаже валюты можно провести на основе соотношения

,

где P – сумма в рублях в начале операции, C – реальная стоимость суммы в рублях в конце операции, K 0 и K 1 – курс обмена в начале и в конце операции соответственно, имеющий, например, размерность руб./долл., Ip – индекс цен за время операции n. Рублевая сумма P обменена на валюту (деление на K 0), затем через период n лет обменена на рубли (умножение на K 1). Для определения реальной стоимости полученной суммы она делится на индекс цен за время операции n, равный Ip . Введем обозначение, Ik = K 1/ K 0. Тогда полученную формулу можно записать в виде

(2.27)

Для определения доходности a в виде сложной процентной ставки рассматриваемой финансовой операции используется принцип финансовой эквивалентности обязательств. Эквивалентными называются равные друг другу платежи при приведении их к одному моменту времени.

В соответствии с принципом финансовой эквивалентности обязательств выражение (2.27) можно записать в виде:

,

Отсюда находим формулу для доходности операции

(2.28)

Доходность операции будет равна нулю при выполнении условия . При доходность будет больше нуля, а при – меньше нуля. Поскольку цена покупки валюты и цена ее продажи различаются в один и тот же момент времени, то при расчете доходности за надо принимать цену покупки, а за – цену продажи.

Исследование и анализ зависимостей и от времени проведено в [8]. Ход этих зависимостей существенным образом зависит от начальной базы. Для построения зависимости курса доллара и темпа инфляции от времени были использованы статистические данные по темпу инфляции и курсу доллара, начиная с 1990 г. по настоящее время. Построенные зависимости курса доллара и темпа инфляции от времени приведены рис. 2.2.

Из этого рисунка следует, что курс доллара и индекс цен увеличиваются во времени. В самом начале реформ курс доллара резко подскочил вверх, а индекс цен изменялся медленнее. Затем ситуация изменилась на противоположную, то есть индекс цен до ноября
1995 г. растет быстрее. Начиная с ноября 1995 г. и до августа 1998 г. значения курса доллара и индекса цен сравнялись относительно базового и эти значения сравнительно медленно растут с одинаковой скоростью, начиная с августа 1998 г. паритет цен вновь был нарушен.

Рис. 2.2

С сентября 1998 г. до января 2000 г. индексы цен и курса доллара изменялись практически с постоянной скоростью. Их разность составляла 3 дБ, то есть индекс курса доллара превышал примерно в два раза индекс цен (без учета инфляции доллара в США). Летом и осенью 2000 г. инфляция росла, а курс доллара практически не изменялся, то есть происходило выравнивание цен.

Если рассматриваемая финансовая операция проводилась в период зима-осень 2000 г., то индекс Ik рос быстрее чем индекс Ip и в соответствии с (2.32) эта финансовая операция была убыточной.

Пример 2.16. Доллары были приобретены по курсу
24 руб./долл. и через 1,2 года проданы по 26,4 руб./долл.
(27,6 руб./долл.). Темп инфляции за этот промежуток времени составил 12%. Определить доходность финансовой операции.

Решение. Для приведенных значений отношение курса продажи к курсу покупки составит

;


Индекс цен за 1,2 года равен Ip =1+ H =1+0,12=1,12 Доходности для рассматриваемых случаев

или -1,49% годовых,

или 2,22% годовых.

В первом случае произошла эрозия капитала, во втором случае капитал возрос.

При наращении процентов с конверсией возможны варианты:

1) руб. --- СКВ --- наращение --- СКВ --- руб.,

2) СКВ --- руб. --- наращение --- руб. --- СКВ.

Причем наращение может вестись как по простой, так и по сложной процентной ставке наращения. Рассмотрим первый вариант при наращении по сложной процентной ставке. Обозначения используемых здесь величин те же, что и прежде. Если r – сложная годовая ставка наращения СКВ, то уравнение эквивалентности для рассматриваемых условий примет вид:

Отсюда находим доходность финансовой операции по первой схеме конверсии валюты с наращением процентов

(2.29)

Пример 2.17. Для условий предыдущего примера положить сложную ставку наращения СКВ равной 14% годовых.

Решение. или 12,3% годовых,

или 16,54% годовых.

Теперь в обоих случаях произошло наращение капитала.

Для второго варианта конверсии валюты с наращением наращенная сумма с учетом инфляции СКВ определяется выражением

Индекс "СКВ" показывает, что величина измеряется в денежных единицах выбранной валюты, – индекс цен выбранной валюты за рассматриваемый период, r – рублевая годовая сложная ставка наращения. Из этого выражения находится формула для доходности финансовой операции

(2.30)

Пример 2.18. Доллары были проданы по курсу 24 руб./долл., а полученная сумма помещена на депозит по сложной процентной ставке 10% (40%) годовых. Через 1,2 года наращенная сумма была истрачена на покупку долларов по курсу 26,4 руб./долл. Темп инфляции доллара за этот промежуток времени составил 4%. Определить доходность финансовой операции.

Решение.

или
-1,666% годовых,

или 25,15% годовых.

 

Контрольные вопросы

1. Как изменяется стоимость денег во времени?

2. Что такое проценты, процентная ставка и наращенная сумма?

3. Какова разница между простой и сложной процентными ставками?

4. Напишите формулы для наращенных сумм при наращении по простой и сложной ставкам наращения.

5. Опишите три метода расчета срока ссуды при начислении по простым процентам.

6. Что такое дисконтирование по простым и сложным процентам?

7. В чем разница между дисконтированием и дисконтом?

8.Выведете формулы для срока ссуды и величины процентной ставки при начислении по простым и сложным процентам.

9.Дайте определение номинальной процентной ставки.

10.Напишите формулу для наращенной суммы при начислении по номинальной процентной ставки.

11.Опишите переход от дискретной ставки наращения к непрерывной (силе роста) и напишите формулу для расчета наращенной суммы при непрерывном начислении процентов.

12.Какие процентные ставки называются эквивалентными?

13.Опишите эквивалентность между простой и сложной ставками наращения.

14.Опишите смысловое значение индекса цен и темпа инфляции.

15.Напишите формулу, связывающую индекс цен и темп инфляции.

16.Напишите формулу для вычисления индекса цен за несколько периодов. 17.Напишите формулу для вычисления среднего значения индекса цен за несколько периодов.

18. Как определяется обесцененная инфляцией сумма при начислении по простым и сложным процентам?

19. Что такое эрозия капитала?

20. Опишите связь брутто-ставки с доходностью для простых и сложных процентов.

21.От чего зависит доходность финансовой операции, связанная с покупкой валюты?

22.Покажите ход зависимости изменения индекса цен и курса доллара от времени в России с 1991 г. по настоящее время.

23.Поясните смысл параметров, входящих в формулу для расчета доходности, при покупке валюты с последующим наращением по сложной процентной ставке.

 

 

Тема 3. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ

Типы потоков платежей

Потоки платежей – это платежи последовательные во времени, например, выплаты по купонам облигаций, пенсии и т.д.

Рассмотрим основные определения характеристик потоков платежей, используемых ниже.

Регулярным потоком платежей (финансовой рентой, аннуитетом) называются платежи, у которых все выплаты направлены в одну сторону (например, поступления), а интервалы (периоды) между платежами одинаковы.

Нерегулярным потоком платежей называются платежи, у которых часть выплат являются положительными величинами (поступления), а другая часть – отрицательными величинами (выплаты сторонним организациям). Интервалы между платежами в этом случае могут быть не равны друг другу.

Наращенная сумма потока платежей – это сумма всех выплат с начисленными на них к концу срока сложными процентами.

Современная стоимость потока платежей – это сумма всех выплат, дисконтированных на начало срока этого потока по сложной процентной ставке.

Рассмотрим общий случай потока платежей. Пусть Rk – ряд платежей, имеющих знак "плюс" или "минус", tk – время выплаты под номером k = 1, 2,..., K, K – количество выплат, tK – общий срок выплат, i – сложная процентная ставка наращения, начисляемая один раз в году, выплаты производятся в конце периода (рис. 3.1).


R 1 R 2 R 3 Rk RK

0 t 1 t 2 t 3 tk tK t

Рис.3.1.

В соответствии с определением наращенная сумма такого потока платежей рассчитывается по формуле

(3.1)


Современная стоимость потока платежей определяется соотношением

(3.2)

Современную стоимость, определяемую соотношением (3.2), можно получить также дисконтированием наращенной суммы (3.1). Действительно

Иначе это выражение можно записать в виде

(3.3)

Пример 3.1. Имеется следующий график платежей во времени:

– 1 января 1999 г. – 20 тыс. руб.,

– 1 июля 1999 г. – 30 тыс. руб.,

– 1 января 2000 г. – 10 тыс. руб.,

– 1 января 2001 г. – 40 тыс. руб.

Определить сумму задолженности на 1 января 2001 г. и ее современную стоимость на момент выплаты первой суммы при ставке наращения 15% годовых.

Решение. График платежей представлен на схеме рис. 3.2.


20 30 10 40

01.01.1999 01.07.1999 01.01.2000 01.01.2001 t

Рис. 3.2.

Наращенная сумма вычисляется по формуле (3.1)

114947,13 руб.

Современная стоимость потока платежей определяется соотношением (3.2).

руб.

Этот же результат можно получить используя формулу (3.3), то есть

руб.

По моменту выплат в пределах между началом и концом периода ренты делятся на:

– постнумерандо (обыкновенные), когда выплаты производятся в конце периода,

– пренумерандо, когда выплаты производятся в начале периода,

– ренты с платежами в середине периода.

Постоянные ренты

Постояннойназывается рента, выплаты которой не изменяются во времени.

Мы будем рассматривать, в основном, ренты постнумерандо. Связь рент постнумерандо с остальными типами будет установлена позже.

Рассмотрим различные виды финансовых рент.

Годовая рента постнумерандо предусматривает выплаты и начисления процентов один раз в конце года.

Определим наращенную сумму годовой ренты. Пусть в течении n лет в банк в конце каждого года вносится по R рублей, на которые начисляются сложные проценты по ставке i % годовых. Таким образом, на первый взнос проценты начисляются n -1 год, на второй – n -2 года и т.д. Наращенная сумма к концу срока будет равна

Если посмотреть на это выражение справа налево, то можно увидеть, что оно является суммой геометрической прогрессии со знаменателем прогрессии . Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле , где R – первый член прогрессии, n – количество членов прогрессии. Таким образом, наращенная сумма годовой ренты к концу срока вычисляется по формуле

(3.4)

Часто эту формулу записывают в виде

, (3.5)


где (3.6) – коэффициент наращения ренты, табулированная функция.

Для определения современной стоимости годовой ренты необходимо каждый платеж продисконтировать на начало срока ренты и сложить все дисконтированные платежи. Дисконтированное значение первого платежа равно , второго – ,..., последнего – , где . Современная стоимость, равная сумме всех платежей, определяется соотношением

Выражение в скобках является суммой геометрической прогрессии с знаменателем прогрессии n и с количеством членов прогрессии равным n. Таким образом, современная стоимость годовой ренты вычисляется по формуле

Часто эту формулу записывают в виде

, (3.7)

где

– (3.8)

- коэффициент приведения ренты, табулированная функция.

Пример 3.2. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10000 руб. в течении семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определить коэффициенты наращения и приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его современную стоимость.

Решение. Коэффициент наращения ренты находится по формуле (3.6).

Наращенная сумма

руб.

Коэффициент приведения ренты находится по формуле (3.8).

Современная стоимость определяется соотношением (3.7)

руб.

Если выплаты производятся p раз в году, то такая рента называется p -срочной или рентой с неоднократными выплатами в году. Самым общим типом являетсярента с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году.Возможная схема выплат и начислений такой ренты представлена на рис. 3.3.

1 2 p


1 2 m

0 1 n

Рис. 3.3.

В любом году производится p выплат по руб., где R – годовая выплата. Количество начислений процентов в году по номинальной ставке j равно m. Срок ренты n лет. Количество начислений на первую выплату любого года к концу этого года равно , на вторую – ,..., на предпоследнюю – , на последнюю – 0. Наращенная сумма на все выплаты года к концу этого года определяется соотношением

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен , количество членов – p, поэтому сумма

Количество начислений до конца ренты на наращенную сумму 1-го года равно , на наращенную сумму 2-го года – ,..., на наращенную сумму предпоследнего года – , на наращенную сумму последнего года – 0. Тогда наращенная сумма всей ренты

 

 

Перепишем это выражение в виде

(3.9)

где

– (3.10)

– коэффициент наращения ренты, табулированная функция.

Определим современную стоимость ренты. Так как количество приведений на первую выплату любого года к началу этого года равно , на вторую – ,..., на предпоследнюю – , на последнюю – m, то дисконтированная величина первой выплаты каждого года на начало этого года равна , второй – ,..., предпоследней – , последней – . Современная стоимость выплат за каждый отдельный год в начале этого года составит

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен , а количество членов – p. Поэтому

Количество приведений на современную стоимость 1-го года равно 0, на современную стоимость 2-го года – , на современную стоимость третьего года – 2 ,..., на современную стоимость последнего года – . Тогда современная стоимость всей ренты

Перепишем это выражение в виде

(3.11)

где (3.12) – коэффициент приведения ренты, табулированная функция.

Пример 3.3. В фонд ежегодно поступают средства по 10000 руб. в течении семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем выплаты производятся в конце квартала, а проценты начисляются ежемесячно. Определить коэффициенты наращения и приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его современную стоимость.

Решение. Коэффициент наращения ренты находится по формуле (3.10).

=

Наращенная сумма руб.

Коэффициент приведения ренты находится по формуле (3.12).

Современная стоимость фонда

руб.

Из соотношений (3.9) и (3.10), а также из (3.11) и (3.12) следуют формулы для частного случая, когда количество начислений процентов в году равно количеству выплат в году. Подставив в эти соотношения m=p, найдем

(3.13)

(3.14)

Пример 3.4. В фонд ежегодно поступают средства по 10000 руб. в течении семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем проценты начисляются и выплаты производятся в конце каждого месяца. Определить величину фонда на конец срока.

Решение. Наращенная сумма определяется по формуле (3.13).

руб.

Пример 3.5. В фонд ежегодно поступают средства по 10000 руб. в течении семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем выплаты производятся и проценты начисляются в конце каждого квартала. Определить современную стоимость фонда.

Решение. Современная стоимость фонда находится по формуле (3.14).

руб.

Для годовой ренты с начислением процентов по номинальной процентной ставке проценты начисляются m раз в году каждый раз по ставке j / m, где j – номинальная ставка, а выплаты производятся один раз в году. Формулы для наращенной суммы, современной стоимости и коэффициентов наращения и приведения находятся из соотношений (3.9), (3.10), (3.11), (3.12) при p =1.

(3.15)

- (3.16)

(3.17)

- (3.18)

Пример 3.6. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10000 руб. в течении семи лет, на которые начисляются проценты по номинальной ставке 15% годовых, причем проценты начисляются поквартально. Определить коэффициенты наращения и приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его современную стоимость.

Решение. Коэффициент наращения ренты находится по формуле (3.16).

Наращенная сумма

руб.


Коэффициент приведения ренты определим по формуле (3.18).

Современная стоимость ренты

руб.

Для p -срочной ренты формулы для наращенной суммы, современной стоимости и коэффициентов наращения и приведения также находятся из соотношений (3.9), (3.10), (3.11), (3.12) при m =1.

, (3.19)

(3.20)

(3.21)

(3.22)

Пример 3.7. В фонд ежегодно поступают средства по 10000 руб. в течении семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем выплаты производятся в конце квартала. Определить коэффициенты наращения и приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его современную стоимость.

Решение. Коэффициент наращения ренты находится по формуле (3.20).

Наращенная сумма руб.

Коэффициент наращения ренты находится по формуле (3.22).


Современная стоимость фонда

руб.

При расчете характеристик рент с выплатами в начале и в середине периодов используются характеристики аналогичных рент постнумерандо.

При выплатах в начале периода (рента пренумерандо) наращенная сумма годовой ренты определяется выражением

=

=

(3.23)

Здесь S 1 и S – наращенная сумма годовой ренты пренумерандо и постнумерандо соответственно. Таким образом, наращенная сумма годовой ренты пренумерандо в (1+ i) раз больше наращенной суммы годовой ренты постнумерандо. Это связано с тем, что число периодов начисления процентов для ренты пренумерандо больше на единицу. Можно показать, что аналогичная зависимость существует между современными стоимостями рент пренумерандо и постнумерандо, то есть

(3.24)

Здесь A 1 и A – современная стоимость годовой ренты пренумерандо и постнумерандо соответственно.

Пример 3.8. В фонд ежегодно в начале года поступают средства по 10000 руб. в течении семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определить величину фонда на конец срока и его современную стоимость.

Решение. Величина фонда на конец срока определяется по формуле

руб.

Современная стоимость фонда

руб.

На рис. 3.4 представлена схема выплат ренты пренумерандо с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году.

1 2 p

1 2 m


0 1 n t

Рис. 3.4.

В любом году производится p выплат по R / p руб., где R – годовая выплата. Причем выплаты осуществляются в начале периода (см. рис. 3.4). Количество начислений процентов в году по номинальной ставке j равно m. Срок ренты

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...