Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Метод наименьших квадратов

Математическая обработка результатов экспериментальных данных

Метод наименьших квадратов ~ Регрессионный анализ ~ Экстраполяция

Изучая теорию интерполяции, вы познакомились с интерполяционными формулами, которые в точности воспроизводят значения данной функции в узлах интерполяции. Однако в ряде случаев выполнение этого условия затруднительно или даже нецелесообразно:

1. Если заданные величины х и у являются экспериментальными данными, то могут содержать в себе существенные ошибки, т.к. получены в результате измерений или наблюдений. Поэтому построение аппроксимирующего многочлена, воспроизводящего в точности заданное значение функции, означало бы тщательное копирование допущенных при измерениях ошибок.

2. Если имеются точные значения функции в некоторых точках, но число таких точек n весьма велико, то интерполяционный многочлен будет очень высокой степени (если только разности не будут становиться постоянными).

Поэтому возникает задача построения многочлена некоторой вполне определенной степени, но меньшей чем n - 1, который хотя и не дает точных значений функции в узлах интерполяции, но достаточно близко к ним подходит.

 

Метод наименьших квадратов

 

Метод наименьших квадратов (МНК) состоит в следующем: для данных значений x = х 0, х 1 ,..., хn и y = y 0, y 1 ,..., yn подобрать многочлен заданной степени m<n вида

 

(1)

- непрерывная функция для аппроксимации F(xi)=yi принимающий в заданных точках хi значения как можно более близкие к табличным значениям yi.

В узлах функции F(xi) и φ(xi) будут отличаться на величину

εi= F(xi) - φ(xi)

Отклонения εi могут принимать положительные и отрицательные значения. Чтобы не учитывать знак, возведем каждое отклонение в квадрат и просуммируем.

Метод построения аппроксимирующей функции φ(х) исходя из условий минимума величины Q называется методом наименьших квадратов (МНК).

Наиболее распространенный способ выбора функции φ(х) – в виде линейной комбинации.

m≤n

коэффициенты, определяемые из условия минимизации величины Q.

Математически условие минимума суммы квадратов отклонения Q запишем, приравнивая частные производные от Q по коэффициентам СК, где 0≤к≤m.

 

Из данной системы СЛАУ определяются все коэффициенты ск. Система называется системой нормальных уравнений. Матрица данной системы имеет вид:

И называется матрицей Грамма. Элементы матрицы Грамма являются скалярными произведениями базисных функций

Расширенная матрица системы уравнений получится добавлением справа к матрице Грамма столбца свободных членов

Где скалярные произведения, являющиеся элементами столбца, определяются аналогично

Отметим основные свойства матрицы Грамма, полезные при программной реализации алгоритма МНК:

1) матрица симметрична, т.е. аi,j = aj,i, что позволяет сократить количество вычислений при заполнении матрицы;

2) матрица является положительно определенной;

3) определитель матрицы будет отличен от нуля, если в качестве базиса выбраны линейно независимые функции , при этом система (4.3) имеет единственное решение.

При обработке экспериментальных данных, определенных с погрешностью ε в каждой узловой точке, обычно начинают с аппроксимации функции φ(х), представимой одной-двумя базисными функциями. После определения коэффициента ск вычисляют величину Q по формуле (4.1). Если получится, что , то необходимо расширить базис добавлением новых функций . Расширение базиса необходимо осуществлять до тех пор, пока не выполнится условие .

Выбор конкретных базисных функций зависит от свойств аппроксимируемой функции f(x), таких, как периодичность, экспоненциальный или логарифмический характер, свойства симметрии и т.д.

Степенной базис.

Выберем базисные функции в виде последовательности степеней аргумента х, которые линейно независимы,

.

В этом случае так же, как и при интерполяции, мы будем аппроксимировать экспериментальную зависимость полиномом. Однако степень полинома m выбираем обычно m «n. Аппроксимирующая кривая в МНК не проходит через значения исходной функции в узлах, но проведена из условия наименьшего суммарного квадратичного отклонения. Экспериментальные данные «сглаживаются» с помощью функции φ(х). Если выбрать m=n, то на основании единственности интерполяционного полинома получим функцию φ(х), совпадающую с каноническим интерполяционным полиномом степени n, аппроксимирующая кривая пройдет через все экспериментальные точки и величина Q=0. Последнее условие используется для отладки и тестирования программ, реализующих алгоритм МНК.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...