Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Приложение производных к исследованию функций

Производная, её геометрический и физический смысл

Дифференцирование функции – вычисление производной.

Дифференцируемая функция функция, у которой есть производная.

Определение производной. – непрерывная функция. – приращением аргумента. Разность – приращение функции. Производная равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю: (6.1)  
Геометрический смысл производной: значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона (угловому коэффициенту) касательной к графику функции в точке .  
Уравнение касательной к графику функции в точке : (6.2) Уравнение нормали к графику функции в точке : (6.3) Нормаль касательной в точке Угол между кривыми и в точке пересечения : .
в точке касательная к графику функции в точке . в точке касательная параллельна оси Ох. В т. функция достигает максимума: непрерывна в точке , но в точке нет касательной в точке при и при (функция возрастает) при (функция убывает)  
Физический смысл производной: – путь, – скорость, – ускорение.  

Вычисление производной. Дифференциал

I. Правила дифференцирования. – дифференцируемые функции

1. Константа: ;

2. ;

3. Сумма (разность): ;

4. Произведение:

5. Константа умножить на функцию: ;

6. Частное: ;

7. Константа разделить на функцию: .

II. Таблица производных
Степенные функции 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; Показательные функции 5. ; 6. ; Логарифмические функции 7. ; 8. ; Тригонометрические функции 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; Гиперболические функции 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; Обратные тригонометрические функции 17. ; 18. ; 19. ; 20. ;
Производные высших порядков
Вторая производная – это производная от первой производной: . n -ая производная – это производная от (n -1)-ой производной: .
Производные параметрически заданной функции ,
Дифференциал
1. Геометрический смысл дифференциала:Дифференциал равен приращению касательной к графику функции. – дифференцируемые функции 2. ; 3. , если x – независимая переменная; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. .
9. Формула приближённых вычислений: (6.4)
Погрешности вычисления Найти , если . Тогда , – абсолютная погрешность x. Тогда . – абсолютная погрешность функции – относительная погрешность y.
6.3 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя
Теорема Ролля. Функция 1. непрерывна на[ a; b ]; 2. дифференцируема в интервале (a; b); 3. . Тогда существует по крайней мере одна точка (), такая, что . Геометрический смысл: касательная к графику функции в точке параллельна оси Ox.  
Теорема Лагранжа. Функция 1. непрерывна на[ a; b ]; 2. дифференцируема в интервале (a; b). Тогда существует по крайней мере одна точка (), такая, что . Геометрический смысл: касательная к графику функции в точке параллельна секущей АВ.  
Теорема Коши. Функции и 1. непрерывны на[ a; b ]; 2. дифференцируемы в интервале (a; b); 3. при . Тогда существует по крайней мере одна точка (), такая, что .  
Раскрытие неопределённостей в пределах  
Правило Лопиталя. Функции и 1. удовлетворяют условиям теоремы Коши в некоторой окрестности точки ; 2. и существует . Тогда .  
Раскрытие других видов неопределенностей  
 
 
 
Формула Тейлора. Функция определена в точке и её окрестности и имеет в ней производные до порядка (n +1) включительно. Тогда , (6.5) где – остаточный член в форме Лагранжа. Формула Маклорена: . (6.6)  
             

Приложение производных к исследованию функций

Определение. Функция имеет локальный максимум (минимум) в точке , если она определена в точке и некоторой ее окрестности , и значение функции в точке больше (меньше), чем ее значение во всех соседних точках:

.

Минимум и максимум функции называются точками экстремума.

Определение. Функция называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на множестве , если её график находится ниже (выше) любой касательной. Функция выпукла вверх Функция выпукла вниз
Исследование по первой производной Функция убывает. Функция возрастает . . При переходе через точку минимума меняет знак с «–» на «+» . При переходе через точку максимума меняет знак с «+» на «–» .  
Исследование по второй производной . функция выпукла вверх, – выпукла вниз  
– точка перегиба Если вторая производная существует, то в точке максимума , в точке минимума . В точке перегиба .  
План исследования функции и построение её графика  
1. Область определения. 2. Чётность: нечётность: иначе – функция общего вида. 3. Асимптоты: 1) вертикальные асимптоты вида в точках разрыва 2-го рода; 2) наклонная асимптота ; 3) горизонтальная асимптота . 4. Точки пересечения с осями: с . 5. Интервалы монотонности и точки экстремума (по знаку первой производной ). 6. Интервалы выпуклости вверх (вниз) и точки перегиба (по знаку второй производной ). 7. Построение графика.  
Наибольшее M и наименьшее m значения непрерывной функции, заданной на отрезке [ a; b ]  
Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции, заданной на отрезке , находятся либо в концах отрезка, либо внутри отрезка в точках экстремума.  
         

Примеры решения задач

Пример 1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .

Решение. Уравнения касательной и нормали – формулы (6.2) и (6.3).

. .

Уравнение касательной: или .

Уравнение нормали: или .

Пример 2. Найти вторую производную функции и вычислить её в точке .

,

.

Пример 3. Исследовать функцию и построить её график.

Решение. Проведём полное исследование функции.

1. Область определения .

2. . В этом случае говорят, что функция общего вида.

3. Асимптоты. Исследуем точку разрыва на наличие в ней вертикальной асимптоты. Для этого найдём пределы функции слева и справа. Если хотя бы один предел будет равен бесконечности, то в точке будет проходить вертикальная асимптота.

Предел слева: , Предел справа: . Прямая – вертикальная асимптота.

Наклонная асимптота :

, .

Таким образом, прямая является наклонной асимптотой графика исследуемой функции.

4. Точки пересечения с осями.

С осью , т.е. точки .

С осью , т.е. точка .

5. Интервалы монотонности. Найдём производную и точки, в которых она равна нули или не существует.

,

, .

6. Интервалы выпуклости вверх (вниз).

.

таких точек нет; .

Найденные точки разбивают всю числовую ось на четыре интервала. Определим знаки первой и второй производной и поведение функции в каждом интервале.

 

 

x      
y’   + +  
y’’ + + +
y –2 min –6 max

В точке функция достигает минимума, в точке – максимума:

, .

7.Для построения графика отмечаем точки пересечения с осями координат, точки экстремума и пунктирными линиями наносим асимптоты. Начинаем построение от вертикальной асимптоты. При слева предел функции равен , а при график функции приближается к наклонной асимптоте . Справа от вертикальной асимптоты , а при график функции приближается к наклонной асимптоте.  

Пример 4. Дана функция . Найти: 1) экстремум функции;

2) наибольшее M и наименьшее m значения функции на отрезке [-1, 4].

Решение.1) . Находим точки, в которых производная равна нулю:

На числовой оси отмечаем точки и . Находим знаки производной в полученных интервалах и указываем соответствующее поведение функции:

В точке функция достигает максимума, в точке – минимума:

. .

2) Вначале нужно найти точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Это и . Но точка , поэтому дальше её не рассматриваем. Затем необходимо вычислить значение функции в концах отрезка и в точке , т.к. она принадлежит отрезку . После этого из полученных значений нужно выбрать самое большое M и самое маленькое m значения.

Таким образом, , .

Пример 5. Найти производные функций.

1) .

2) производная суммы (разности) степенных функций:

.

3) производная произведения: .

4) производная частного:

Пример 6. Выяснить, в какой точкекривой касательная параллельна прямой . Найти уравнение касательной в этой точке.

Решение. Угловой коэффициент прямой равен угловому коэффициенту касательной, так как они параллельны: . Тогда , . В точке касательная к кривой параллельна прямой , её уравнение имеет вид или

Пример 7. Найти точку на кривой , в которой касательная составляет угол с положительным направлением оси . Написать уравнение этой касательной.

Решение. Угловой коэффициент касательной равен производной рассматриваемой функции, поэтому , , . Тогда в точке рассматриваемой кривой касательная составляет угол с положительным направлением оси . Её уравнение , или .

Пример 8. Тело движется по прямой по закону . Определить скорость и ускорение движения тела в момент времени .

Решение. Скорость тела равна производной пути по времени, ускорение – производная скорости: , .

Пример 9. Вычислить приращение длины стороны куба, если известно, что его объём увеличился от 64 до 64,3 м3.

Решение. Если – объём куба, то его сторона . По условию задачи , . Тогда приращение стороны куба м.

Пример 10. Найти асимптоты и построить график функции .

1) область определения D=(-¥;0) È (0;+ ¥). Вертикальная асимптота в точке разрыва х=0:

,

следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.

2) Наклонная асимптота:

Т.о., прямая у = х + 2 – наклонная асимптота.

Построим график функции:

Пример 11. Найти асимптоты и построить график функции .

1) Область определения D=(-¥;-3) È (-3;3) È (3;+ ¥). Вертикальные асимптоты в точках разрыва.

Прямые х = 3 и х = -3 – вертикальные асимптоты кривой.

Степень числителя меньше степени знаменателя, поэтому наклонной асимптоты нет. Найдем горизонтальную:

y = 0 – горизонтальная асимптота.

 

Пример 12. Найти асимптоты и построить график функции .

1) D=(-¥; –2) È (–2;+ ¥).

Прямая х = –2 – вертикальная асимптота кривой.

Найдем наклонные асимптоты.

Прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

Пример 13. Исследовать функцию и построить ее график.

1) Область определения D= (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). х = 1, х = –1 – точки разрыва.

2) Асимптоты. В точках разрыва вертикальные асимптоты.

Прямые х = 1, х = –1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Наклонная асимптота.

y = x – наклонная асимптота.

3) Четность – нечетность. – нечётная функция. Значит, график симметричен относительно начала координат.

4) Точки пересечения с осями. С осью Ox: y=0, . С осью Oy та же точка.

5) Интервалы монотонности и точки экстремума. Найдем производную функции

,

6) Интервалы выпуклости вверх – вниз, точки перегиба. Найдем вторую производную функции

.

Заполним таблицу:

x    
y’ +       +
y’’  
y Ç max Ç Ç Точка перегиба È È min È

 

 

Пример 14. Исследовать функцию и построить ее график.

1). D= (–¥; +¥).

2). Þ Функция общего вида.

3). Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;

с осью Ох: y = 0; x = 1.

4). Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;

у = –х – наклонная асимптота.

5). Возрастание и убывание функции, точки экстремума.

. .

6) Выпуклость вверх-вниз, точки перегиба.

. .

x   (0;1)   (1;+¥)
y’  
y’’ +   +
y È Точка перегиба Ç Точка перегиба È
 

 

Пример 15. Исследовать функцию и построить ее график.

1. D= (–¥; 0) È (0;+¥)..

2. Þ функция общего вида.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x =

с осью Оу: x = 0; y – не существует.

4. х = 0 точка разрыва, Þ прямая х = 0 вертикальная асимптота.

Наклонная асимптота в виде: y = kx + b. ,

Наклонная асимптота у = х.

5. Интервалы возрастания-убывания, точки экстремума функции.

, .

6. Для определения характера выпуклости функции находим вторую производную.

x   (0;2)   (2;+¥)
y’ +   +
y’’ + + + +
y È È min È
 

 

Пример 16. Провести исследование функции и построить её график.

1. Область определения функции .

2. Чётность – нечётность:

и , значит, функция общего вида.

3. Точки пересечения графика с осями координат:

С осью .

Корни многочлена являются делителями его свободного члена. Число 22 делится нацело на . Подставим эти числа поочерёдно в многочлен:

не является корнем.

не является корнем.

является корнем. Поэтому многочлен делится нацело на и его можно разложить на множители вида:

,

Получаем точки пересечения с осью : , .

С осью , т.е. точка .

4. Точки экстремума и интервалы монотонности.

Найдём производную и точки, в которых производная равна нулю:

На числовой оси отмечаем точки и . Найдём знаки производной в полученных интервалах и укажем соответствующее поведение функции:

В интервалах

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...