 |
Стандартное отклонение. Дисперсия. Ковариация. Корреляция. Предобработка данных. Автошкалирование
|
|
|
|
Стандартное отклонение
Формула: 
. Ещё называется среднеквадратическим отклонением, хотя в теории разница всё же существует.
Вычисление для того же вектора Х и вычисленного среднего значения mean_value:
std_value = 0;
for i = 1: col
std_value = std_value + (X(i) - mean_value)^2;
end
std_value = (std_value / (col-1) )^(0. 5)
Результат:
ans =
3. 0277
Встроенная Matlab-функция std(), которая делает то же самое:
std_value = std(X) % Вычисление стандартного отклонения
Результат:
ans =
5. 5000
Дисперсия
Формула: 
Отличается от среднеквадратического отклонения только отсутствием корня, т. е. ср. кв. отклонение = корень квадратный из дисперсии.
disp_value = 0;
for i = 1: col
disp_value = disp_value + (X(i) - mean_value)^2;
end
disp_value = disp_value / (col-1)
По этому коду есть одно замечание: для того, чтобы получить суммирование в цикле, необходимо на каждой итерации результат суммировать с этой же переменной суммы. Однако, ежели её не объявить заранее, то при первой итерации произойдёт суммирование с необъявленной переменной (вернее не произойдёт, компилятор выдаст ошибку). Поэтому во всех случаях, когда производится суммирование в цикле переменную необходимо объявлять до цикла.
Ковариация
Ковариация используется при анализе двух случайных величин (например x(k) и y(k)). Смысл величины в том, что она показывает " взаимную вариацию" двух различных случайных величин, где вариация - характеристика, почти совпадающая со стандартным отклонением, но без возведения в квадрат.
где E - математическое ожидание (в программе вычисляем как среднее значение).
Добавим второй вектор Y, от 2 до 20 в интервалом 2, чтобы длина вектора X и Y была одинаковой:
Y = [2: 2: 20]; % второй вектор
meanX = mean(X); % среднее значение Х
|
|
|
meanY = mean(Y); % среднее значение Y
Теперь ковариация между X и Y вычисляется как:
covar_xy = 0; % объявление заранее, нужно
for k=1: 10 % цикл по числу элементов в векторах
covar_xy=covar_xy+(X(k)-meanX)*(Y(k)-meanY);
end
covar_xy = covar_xy / 10; % делим на число элементов
По формуле видно, что ковариация между X и Y равна ковариации между Y и Х. Также ковариация между X и X будет равна дисперсии переменной Х, то же самое справедливо и для Y.
Стандартная Matlab-функция, вычисляющая ковариацию: cov(X, Y).
cov(X, Y);
возвратит матрицу 2 на 2, где первый столбец - элемент (1, 1) соответствует ковариации между Х и Х, элемент (1, 2) - ковариации между Х и У и т. д.
Результат возращаемый функцией cov() и полученный вручную может немного отличаться (Matlab почему-то при расчёте среднего значения делит на n-1, а не на n ).
Корреляция
Предобработка данных
Особенностью статистических методов является принадлежность исходных данным некоторому распределению. С точки зрения программирования это значит, что перед исследованием статистическими методами матрицы данных эту матрицу необходимо подготовить - центрировать и шкалировать данные.
Автошкалирование
Центрирование и шкалирование данных называют автошкалированием.
Центрирование - вычитание из всех элементов среднего значения, т. е. приведение к виду, когда среднее значение равно нулю. Для вектора достаточно просто вычесть среднее значение, оно вычтется из каждого элемента:
X_centered = X - mean_value;
Шкалирование - приведение стандартного отклонения к единице. Заключается в делении каждого элемента на среднеквадратичное отклонение вектора:
X_scaled = X_centered / std_value;
Для многовекторных данных, таких как данные газоаналитического датчика автошкалирование проводится отдельно для каждого сегмента (вектора).
X = Xc - repmat(mean(Xc), x_c, центрирование для двумерного массива);
|
|
|
