Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Краткий теоретический материал к задаче 3




Образец решения задач и их оформления

 

Краткий теоретический материал к задаче 1

СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

Пусть – произвольная область пространства. Будем говорить, что в области задано скалярное поле, если в этой области задана скалярная функция , .

Функция , определяющая скалярное поле, называется функцией поля в пространстве.

 

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ

Пусть – заданное скалярное поле в области , – заданная точка, а

– заданный единичный вектор.

Производная скалярного поля в точке по направлению единичного вектора , обозначаемая , вычисляется по формуле

(1) .

Пусть – произвольный ненулевой вектор. Если не является единичным вектором, то для вычисления производной скалярного поля в точке по направлению вектора , необходимо найти единичный вектор , сонаправленный с вектором :

,

а затем, полагая,

,

используют формулу (1).

 

ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ

Пусть – заданное скалярное поле в области . Градиентом скалярного поля , обозначаемым символом , называется вектор, проекциями которого являются частные производные функции по соответствующим переменным:

,

Градиент скалярного поля в точке вычисляется по формуле

.

 

Задача 1

Даны скалярное поле и точки и . Вычислить:

1) производную функции в точке по направлению вектора ;

2) градиент функции в точке .

Задача 1 Образец
.

Решение

1) Производная от функции в точке по направлению вектора находится по формуле

,

где , , – направляющие косинусы вектора , то есть проекции единичного вектора на координатные оси. Имеем

,

,

, , .

Найдем частные производные функции :

,

,

и вычислим их значения в точке

,

,

.

Таким образом,

.

2) Градиент функции в точке вычисляется по формуле

.

Используя вычисленные ранее значения частных производных, имеем

.

Ответ: 1) ,

2) .

 

Краткий теоретический материал к задаче 2

ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

Пусть – произвольная область пространства. Будем говорить, что в области задано векторное поле, если в этой области задана векторная функция

(1) ,

где

(2)

– заданные функции.

Векторная функция , определяющая векторное поле, называется функцией поля в пространстве.

 

ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Потоком векторного поля через поверхность в направлении единичного нормального вектора называется поверхностный интеграл

(3) ,

где – скалярное произведение векторов и , а – дифференциал площади поверхности .

 

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОТОКА ЧЕРЕЗ ЧАСТИ ПОВЕРХНОСТИ

Рассмотрим задачу вычисления потока векторного поля через заданную поверхность в направлении единичного нормального вектора .

Если поверхность в пространстве задана уравнением

(4) ,

то единичный нормальный вектор в точке определяется равенством

(5)

.

Знак или берется в зависимости от выбранной стороны двусторонней поверхности .

Если поверхность является плоскостью, заданной уравнением

(6) ,

то единичный нормальный вектор во всех точках имеет одно и то же значение, и равное

(7) .

Рассмотрим задачу вычисления потока векторного поля через заданную поверхность в направлении единичного нормального вектора .

Если поверхность однозначно проектируется на плоскость в область , то дифференциал площади поверхности равен

(9)

и вычисление потока сводится к вычислению двойного интеграла по области :

(10) ,

где получается из уравнения поверхности (4).

 

Задача 2

Даны векторное поле и плоскость , которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду с вершиной в начале координат. Пусть – основание пирамиды. Вычислить поток векторного поля через поверхность в направлении внешней нормали .

 

Задача 2 Образец

 

Решение

 

Рассматриваемая пирамида и ее проекция на плоскость изображены на рисунке.

 

 

Поток векторного поля через поверхность в направлении внешней нормали найдем с помощью поверхностного интеграла

.

Нормальным вектором плоскости является вектор . Так как единичный нормальный вектор поверхности образует с осью острый угол, то . Поэтому, направляющими косинусами нормального вектора являются

.

Отсюда

,

.

Из уравнения плоскости и области находим:

,

.

Далее, имеем,

и, следовательно,

.

Ответ:

 

 

Краткий теоретический материал к задаче 3

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...