Теорема 1. (Об обратной матрице)
Стр 1 из 2Следующая ⇒ Введение Обозначения Î - знак принадлежности; – пустое множество; ï,: - “такой, что”; Þ - “следует”; Û - “тогда и только тогда”; N - множество натуральных чисел; Z - множество целых чисел; R - множество действительных чисел; Q - множество рациональных чисел. Кванторы: " - “для любого”; $ - “существует”.
Глава 1. Линейная алгебра §1. Матрицы. Действия над ними. Опр.1. Таблица вида = = наз. матрицей размера m n, m - число строк, n - столбцов, наз. элементами матрицы A . В дальнейшем строки и столбцы будем наз. рядами. Опр.2. При m=n -матрица наз. квадратной порядка n: . ПР. Некоторая компания в перерабатывающей промышленности располагает данными о своих продажах на протяжении года, сгруппированными по видам изготовляемой продукции и районам сбыта.
. Опр.3. Пусть A = , . = , . Опр.4. Нулевой матрицей наз. матрица О , все элементы которой равны 0. Опр.5. Единичной матрицей наз. квадратная матрица Е , где . ПР. Опр.6. Суммой матриц A и B размера наз. матрица : , . Опр.7. Произведением матрицы Aна число наз. матрица : , . ПР. Опр.8. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число наз. линейными операциями. Свойства линейных операций (аналогичны свойствам операций над числами): 1) A+B=B+A; 2) 3) ; 4) 5) Опр.9. Операция над матрицей A, при которой ее строки становятся столбцами с теми же номерами, наз. транспонированием. Обозначение . ПР. Опр.10. Пусть , . Опр.11. Произведением матриц A и B наз. матрица , элементы которой вычисляются по формуле , . ПР. , . . Замечание 1. Умножать матрицу А на матрицу В можно тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Замечание 2. В общем случае . Если же , то матрицы наз. перестановочными. Свойства умножения матриц. (Предполагаем, что матрицы А, В, С имеют размеры, позволяющие производить указанные действия.) 1) , где ; 2) 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Определители. Опр.1. Квадратной матрицей порядка n наз. матрица А размера . Опр.2. Определителем квадратной матрицы первого порядка наз. число = . Опр.3. Определителем квадратной матрицы называется Воспользуемся методом математической индукции. Пусть определен определитель (n-1)-го порядка. Опр.4. Минором элемента квадратной матрицы наз. определитель матрицы, полученной из данной вычеркиванием i -й строки и j -го столбца. ПР. Опр.5. Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы наз. число . ПР. . Опр.6. Определителем квадратной матрицы порядка n наз. число, которое ставится ей в соответствие по формуле: . Такое вычисление определителя наз. разложением по первой строке. ПР. = = разложим по 1-й строке= = . ПР. = разложим по 1-й строке = ПР. = – 286, . Свойства определителей. Пусть . 1) Сумма произведений элементов любого ряда определителя на их алгебраические дополнения не зависит от номера ряда и равна этому определителю: . 2) . 3) При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак. ПР. 4) Если матрица А имеет два пропорциональных параллельных ряда, то =0. ПР. . 5) Общий множитель элементов ряда можно выносить за знак определителя. ПР. 6) Определитель, имеющий нулевой ряд, равен нулю. 7) Величина определителя не изменится, если к элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы другого параллельного ему ряда, умноженные на число k (док. сам.). ПР. . 8) Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого параллельного ему ряда равна нулю (док. сам.)
9) Пусть и – определители, различающиеся элементами только одного ряда. Тогда их сумма равна определителю, у которого указанный ряд состоит из сумм соответствующих элементов определителей и . 10) . Замечание 2. Из свойств следует, что определитель удобно вычислять, преобразовав предварительно его так, чтобы в каком-либо ряду получились нули (если все нули, то определитель =0). ПР. =0; Опр.7. Квадратная матрица наз. вырожденной, если ее определитель равен нулю, в противном случае – невырожденной. §3 Обратная матрица. Пусть . Опр.1. О братной к матрице А наз. такая матрица , что . Теорема 1. (Об обратной матрице) Если матрица - невырожденная, то она имеет обратную, которую можно найти по следующей формуле: , где - алгебраические дополнения элементов исходной матрицы А . Док-во. Пусть . Покажем, что . Пусть , тогда = = = . Аналогично проверяется, что . Ч.т.д. Следствие. Для невырожденной матрицы обратная матрица имеет вид . ПР.1. , . Проверка! ПР.2. , .Проверка! Замечание. Если , то не существует. Ранг матрицы. Рассмотрим матрицу . Пусть и . Опр.1. Выделимв матрице Аk строк и k столбцов. Определитель порядка k, порожденный элементами, стоящими на пересечении выделенных строк и столбцов, наз. минором k-го порядка матрицы и обозначается . ПР. . , Опр.2. Наибольший порядок ненулевого минора матрицы А наз рангом этой матрицы. Обозначение: Очевидно, что . Замечания: 1) . Во всех остальных случаях ; 2) ; 3) ; 4) добавление или вычеркивание нулевого ряда не меняет ранга матрицы. Опр.3. Базисным минором называется минор, не равный нулю, порядок которого совпадает с рангом матрицы. Опр.4. Элементарными преобразованиями матрицы называют: 1) умножение некоторого ряда на число, отличное от нуля; 2) перестановка двух параллельных рядов. 3) прибавление к одному ряду любого другого, параллельного ему, умноженного на какое-либо число.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|