Кривая нормального распределения и ее свойства
⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
В результате многочисленных экспериментов было установлено, что при механической обработке деталей вероятность получения линейного размера в пределах некоторого интервала его изменения определяется следующим выражением . (13.13) Функция (13.14) называется плотностью вероятности случайных величин и выражает закон нормального распределения. График этой функции приведен на рис.13.2 и называется кривой нормального распределения. Из формулы (13.14) следует, что плотность вероятности случайных величин для линейных размеров имеет размерность обратную длине, т.к. среднее квадратическое отклонение имеет данную размерность. В этой связи плотность вероятности следует рассматривать, как вероятность появления случайной величины в окрестности некоторой точки на отрезке единичной длины. В окрестностях плотность вероятности высокая, т.е. вероятность появления случайной величины в окрестностях этой точки максимальная. С увеличением разности плотность распределения уменьшается. Геометрически представляет собой площадь фигуры на отрезке под кривой нормального распределения. Для достаточно узкого интервала согласно теореме о среднем ; . (13.15) Кривая нормального распределения имеет следующие свойства: 1. Ось является асимптотой для ее ветвей. 2. При . (13.16) 3. Кривая имеет две точки перегиба и , которые находятся на расстоянии от оси симметрии (рис.13.2). Ординаты их равны . (13.17) 4. Если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения и может принимать любые численные значения в интервале , то . (13.18) Это свойство вытекает из положения, что вероятность появления случайной величины в интервале равна единице.
Положение кривой относительно начала координат, и ее форма определяются двумя параметрами и . С изменением форма кривой остается прежней. Изменяется ее положение относительно начала координат (рис. 13.3). С изменением центр кривой остается на прежнем месте. Изменяется ее форма (рис.13.4). С увеличением кривая растягивается и уменьшается по высоте. Таким образом, является мерой рассеяния случайной величины. Нормирование распределения, функция Лапласа
Введем новую переменную . После замены переменной в (13.13) получаем (13.19) где и - новые пределы интегрирования. Это действие называется нормированием распределения. . После нормирования плотность вероятности выразится следующим образом (13.20) Сущность операции нормирования заключается в сведении всего многообразия кривых распределения к одной, зависящей только от нормированной переменной. Для этой кривой среднее арифметическое равно нулю, а среднее квадратическое отклонение равно единице. Графическая интерпретация процедуры нормирования заключается в совмещении центра группирования с началом новой системы координат . В этом случае кривая нормального распределения становится симметричной относительно оси ординат и называется плотностью вероятности нормированного распределения. Пусть ; . Тогда , (13.21) Интеграл называется функцией Лапласа. Геометрически функция Лапласа выражает площадь фигуры под кривой плотности вероятности нормированного распределения в промежутке от 0 до . Интеграл в нельзя выразить в элементарных функциях и его значение задано в специальных таблицах. Применение функции Лапласа позволяет вычислить теоретические частость и частоту. Из выражений (13.13) и (13.14) полагая получаем . (13.22) Выполним операцию нормирования. В результате замены переменной будем иметь , (13.23) где и - новые пределы интегрирования.
Тогда (13.24)
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|