4.1. Построение матрицы переноса
4. 1. Построение матрицы переноса 1. Формулировка общей задачи при произвольных начальных условиях: - дифференциальное уравнение движения; : , - начальные условия. Решение для момента времени : Решение в матричной форме: . Или в компактной форме . Здесь - матрица переноса, - вектор состояния в конце полупериода; - вектор состояния в начальный момент. 2. Формализованная процедура построения матрицы переноса, основанная на рассмотрения двух частных задач при единичных начальных условиях: Задача 1. Формулировка задачи: ; : , . Решение: - элементы первого столбца матрицы переноса. Задача 2. Формулировка задачи: ; : , . Решение: - элементы второго столбца матрицы переноса. Общая задача. Формулировка общей задачи: ; : , . Решение общей задачи при единичных начальных условиях: . Здесь - матрица переноса.
4. 2. Уравнение Мейснера.
Рассмотрим возможный путь решения уравнения Мейснера для малого значения параметра . Кроме тривиального решения существует и другое решение, которое разыскивается в виде двухкомпонентного вектора . Начальные условия задаются в виде: : ; в конце периода, то есть при : . Связь между векторами и представим в виде линейного дифференциального уравнения (4. 2) где - матрица переноса. 1. Уравнение (4. 2) на интервале можно представить в виде (4. 3) Введем новую константу , тогда уравнение (4. 3) приобретает вид . (4. 4)
Построим матрицу переноса исходя из уравнения . Первый столбец матрицы строится путем интегрирования дифференциального уравнения (4. 4). Запишем начальные условия так: при : , , поэтому и - это первый элемент первого столбца матрицы . Второй элемент первого столбца матрицы - это обобщенная скорость, поэтому при : ; значит - второй элемент первого столбца матрицы . Для нахождения второго столбца матрицы интегрируется уравнение (4. 4) при других начальных условиях: : , . Интеграл запишется в виде , поэтому первый элемент второго столбца матрицы запишется в виде . Второй элемент второго столбца матрицы переноса определяется из условия ; его значение будет равно: . Таким образом, найдена структура матрицы переноса , Следовательно, установлена взаимосвязь . 2. Уравнение (4. 2) на интервале имеет вид . Вводя новую постоянную , преобразуем его к виду . (4. 5) Повторим процедуру построения матрицы переноса , определяющую вектор согласно уравнению . За начальную точку отсчета времени принимаем , тогда начальные условия запишутся в виде: : , . Решая уравнение (4. 5), находим и . Поэтому первый и второй элементы первого столбца матрицы переноса будут равны и соответственно. Аналогично находим элементы второго столбца этой матрицы: и . Таким образом матрица построена
Можно показать, что матрица переноса на интервале определяется согласно формуле . Повторяя описанную выше процедуру определенное число раз, можно построить матрицу переноса для соответствующего момента времени, кратного любому числу периодов
, . Иными словами по заданным начальным условиям можно получить решение через любое число периодов. Изложенный подход часто используется для определения устойчивости колебательного движения: 1. Если решение возрастает с течением времени, то движение неустойчивое; 2. Если решение убывает с течением времени, то движение устойчивое; 3. Если амплитуда обобщенных координат не меняется с течением времени, то такие решения соответствуют границе раздела устойчивой области и неустойчивой. Судить об устойчивости движения можно по норме матрицы , величина которой определяется выражением . Если для оценки устойчивости используется матрица , то возможны следующие случаи движения: 1. - неустойчивое движение; 2. - устойчивое движение; 3. - граница раздела между областями устойчивого и неустойчивого движения. Последний случай соответствует установившемуся периодическому движению, которое описывается уравнением: или , где - единичная матрица. Это уравнение имеет нетривиальное решение если , то есть для определения границы между устойчивым и неустойчивым движениями можно использовать указанное условие.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|