Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Системы с ограниченным временем ожидания.

Пусть система имеет n каналов обслуживания. Входящий поток требований – простейшие с интенсивностью λ. Время обслуживания распределено по exp закону с параметром μ. Если в момент поступления требования все каналы заняты, то оно встает в очередь. Однако время пребывания требования вочереди – ограниченно. При этом максимальное время ожидания может быть детерминированным, так и случайным. По окончанию этого времени, если требование не поступило на обслуживания, то оно покидает систему не обcлуживаясь.

(1) Макс. Время ожидания T = const

В этом случае вероятность перехода системы из одного состояния в другое зависит не только от того, сколько требований находится в системе на обслуживании и в очереди (т.е. от состояния системы), но и от того как давно требование, стоящее в очереди, находится в системе. От этого зависит – будет ли требование оставаться в системе или покидает ее, т.к. время ожидания превысит допустимое т.е.????? последействие и последовательность состояний системы (процесс изменения состояний) – немарковская.

Поэтому для описания процесса функционирования такой СМО нельзя использовать уравнения размножения и гибели.

Для аналитического исследования СМО используется приближенное описание процессов их функционирования с помощью системы дифференциальных уравнений, за счет определённых допущений при увеличения мерности задачи при учете состояния каждого из каналов и т.д. |Бом.К.Лекц II|.

Кроме того для исследования подобных немарковских СМО (как впрочем и любых других, в том числе и марковских) широко используется имитационное моделирование. При этом оценки параметров исследуемой СМО ищутся на основе статистической обработки результатов моделирований, полученных по множеству прогонов (реализаций). Для этого используются как точечные, так и интервальные оценки позволяющие оценить точность полученных результатов.

Максимальная длительность ожидания ограниченна случайной величиной.

Ограничимся случаем, когда максимальная длительность ожидания требования в очереди T имеет exp. распределение.

(функция распределения)

(функция плотности)

Здесь – параметр з-иа распределения. Среднее значение будет

Такие процессы функционирования СМО можно представить следующим образом. (с.м. рис.)

На вход системы поступает поток требований (простейший) с интенсивностью . Если не все каналы заняты (k < n), то пришедшие требования сразу же начинают обслуживаться. Обслуженные требования покидают систему с интенсивностью .

Если все каналы системы заняты, (k > n), то обслуженные требования покидают систему с интенсивностью .

Кроме того, возникает еще один поток требований – покидающих систему не дождавшись обслуживания не дождавшись обслуживания. Интенсивность этого потока равна .

Т.к. показательное распределение макс. времени ожидания также обладает свойством «отсутствия памяти», т.е. распределение оставшегося времени ожидания не зависит от того, сколько времени требование уже прождало в очереди, то последовательность состояний системы оказывается «без последействия» и является «Марковской». Это позволяет описать ее с помощью уравнений «размножения и гибели». В частности для неограниченной очереди (m = ∞) они имеют вид:

Значения финальных вероятностей соответственно равны:

Из

Зная значения финальных вероятностей можно найти и составить характеристик функционирования СМО в стационарном режиме (m _кан; m_оч; m _стат).

Замкнутая СМО

Наряду с задачами, когда интенсивность входного потока требований в систему λ неизменна, на практике, на практике часто встречаются задания, когда число источников требований ограничено, и интенсивность входного потока зависит от того, сколько источников уже послало требования в систему на обслуживание. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

n рабочих обслуживают R станков. Каждый станок может отказать в случайный момент времени. Время безотказной работы каждого станка подчинено exp. закону распределения

где t – момент наступления отказа

λ – параметр, который можно рассматривать как интенсивность потока отказов одного станка, если после отказа он мгновенно переводится в рабочее состояние. Однако при определении в стационарном режиме характеристик функционирования СМО необходимо иметь в виду, что не все требования, поступившие в систему, будут обслужены.

Поток этих требований с интенсивностью λ_сист=λP_сист=λ(1-Р_n₊_m) разобьётся на два потока:

обнаруживания с интенсивностью λ_обс= m_канµ

покинувших систему из-за ограничения на время ожидания в очереди с интенсивностью

λ_пок = m_очν

λ_сист=λ_обс+ λ_пок

Тогда для любого требования на входе в систему из входного потока вероятности обслуживания или необнаруживания будут пропорциональны интенсивностям соответствующих потоков, т. е.

Средние временные характеристики на основании формул Литтла будут

1. Время нахождения в канале обслуживания

2. Среднее время нахождения в очереди

3. Среднее время нахождения в системе

Если хотя бы один из рабочих свободен, то станок начинает обслуживаться. Время обслуживания распределено также экспоненциально с параметром µ. Если все рабочие заняты, то станок становится в очередь на обслуживание (ремонт), длина которой может быть не больше m = R-n.

Схематически данную систему, как СМО можно представить в следующем виде:

Заявки (R-k) каналы(n)

Очередь(k-n)

m … 2 1

Входной поток выходной

поток

(R-k)µnµ

Обозначим K – число заявок на обслуживание (число отказавших станков). Тогда интенсивность входного потока заявок зависит от числа отказавших станков и будет равна (R-k)λ. С учётом этого уравнения размножения и гибели, которыми можно описать СМО примут вид: при R > n

Т. к. общее число состояний системы конечно(0 ≤ k ≤ R), то при t в системе существует режим статистического равновесия. Приравняв правые части уравнений модно найти финальный вероятности замкнутой системы

Зная значения финальных вероятностей можно найти все характеристик работы СМО в стационарном режиме.

Все рассматриваемые выше СМО мы анализировали в предположении, что все потоки событий, происходящих в системе – простейшие. Это позволяло описывать их достаточно просто с помощи уравнения Колмогорова и, в частности, уравнений размножения и гибели. Кроме того – получать достаточно простые выражения для финальных вероятностей состояний системы и её основные характеристик в режиме статистического равновесия.

В случаях, если эти допущения нарушаются, СМО нельзя рассмотреть как марновские и их аналитический анализ вызывает существенные трудности. Аналитические выражения для основных характеристик СМО удается получить только в отдельных случаях. Соответствующие выражения можно найти в литературе по ТМО.

В общем случае любые СМО можно исследовать с помощью имитационного моделирования (ниже и в л.р.).

Оптимизация параметров СМО.

При организации СМО важно выбрать ее параметры так, чтобы наилучшим образом решать стоящие перед ней задачи. При этом качество их решений определяется, как правило, с помощью векторного критерия эффективности, компонентами которого являются частные показатели эффективности СМО.

Решение задачи выбора рациональных параметров СМО как векторной – затруднительно. Поэтому на практике достаточно часто используют сведение частных показателей эффективности в один – обобщенный с помощью различных процедур свертки и далее задачу рассматривают как монокритериальную.

В качестве такого интегрального (обобщенного) показателя в широком классе задач можно использовать величину прибыли, получаемой от функционирования СМО, которая определяется, с одной стороны, доходами от обслуживания заявок (например, клиентов в парикмахерской), с другой стороны расходами на содержание системы (аренда помещений, зарплата работников и т.д.), штрафами за XXX XXX.

Оптимизируемыми параметрами при этом могут быть: число каналов обслуживания n, максимальная длина очереди m, интенсивность обслуживания и др. характеристики СМО, которые варьируются в рамках заданных для них ограничений.

Однако стоимостной критерий не является универсальным. В ряде задач большее значение играет факт выполнение СМО поставленной перед ней задачей. Например, если в качестве СМО рассматривается система ПВО. Тогда в качестве показателя эффективности такой системы можно рассматривать м.о. числа обслуженных (пораженных) самолетов противника, вероятность проникновения самолета через систему ПВО (вероятность, что заявка не будет обслужена) и др.

(Примеры СМО смотри л.р. по курсу ИО М.-1992)

Самостоятельно на РГР

X(t) – число требований, поступивших в систему к моменту t.

Y(t) – число требований, покинувших систему к моменту t.

Z= X(t) - Y(t) – число требований, находящихся в системе в момент t.

– общее время, затраченное всеми требованиями на нахождение в системе за время T.