Теорема 2. (Основная теорема высшей алгебры.)
⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Для любого многочлена с комплексными коэффициентами степени большей или равной единицы (т.е. отличного от постоянной) найдётся по крайней мере один комплексный корень, т.е. если C для , , то существует такое комплексное число C, что . Следствие. Любой многочлен с комплексными коэффициентами степени большей или равной единицы может быть записан следующим образом: , где - старший коэффициент, - степень этого многочлена, C для .
Теорема 3. Для любой квадратной матрицы с комплексными элементами найдётся по крайней мере один собственный вектор. Доказательство. Пусть (C). Тогда - многочлен с комплексными коэффициентами, степень которого равна натуральному числу . По основной теореме высшей алгебре у этого многочлена существует по крайней мере один корень , который по теореме 1 является собственным числом матрицы . Из определения 1 следует, что найдётся такой ненулевой комплексный столбец высоты , для которого выполняется равенство , т.е. - собственный вектор матрицы , соответствующим собственному числу .
Теорема 4. Все собственные числа вещественной симметричной матрицы являются вещественными числами, т.е. если (C), то , где R, . Доказательство. Как следует из определения 1§4, степень характеристического многочлена равна порядку матрицы , т.е. . Из следствия к основной теореме высшей алгебры получаем: , где C для . Покажем, что R для . Напомним, что любое комплексное число, в частности , может быть записано в алгебраической форме: , где R, а -мнимая единица. Тогда число является комплексно сопряжённым с . Если , то и R. Фиксируем такое, что . Из теоремы 1 следует, что - собственное число матрицы , т.к. является корнем её характеристического многочлена. Следовательно, по определению 1 существует собственный вектор C матрицы , соответствующий собственному числу , т.е. , причём . Пусть . Теперь подсчитаем двумя способами число :
1) , где R, , т.к. . 2) . Здесь , т.к. - вещественная симметричная матрица. Итак, . Следовательно, , откуда получаем, , т.к. . Таким образом, R, и теорема доказана. Замечание. Поясним обозначения, использованные в доказательстве теоремы. Если , то - это матрица того же строения с элементами . Здесь черта обозначает операцию комплексного сопряжения. Кроме того, в доказательстве использовано утверждение, которое легко доказать самостоятельно, а именно: если и две матрицы с комплексными элементами, для которых определено произведение , то .
Следствие. Для любого собственного числа вещественной симметричной матрицы существует вещественный собственный вектор, соответствующий этому собственному числу. Доказательство. Действительно, в этом случае собственный вектор является решением системы линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами.
Определение 3. Два вещественных столбца и одинаковой высоты будем называть ортогональными, если сумма произведений их соответствующих элементов равна нулю. Обозначение: , т.е. . Два вещественные строки и одинаковой длины будем называть ортогональными, если сумма произведений их соответствующих элементов равна нулю. Обозначение: , т.е. .
Пример 2. Столбцы и ортогональны, т.к. . Строки и ортогональны, т.к. .
Теорема 5. Собственные векторы вещественной симметричной матрицы, соответствующие различным собственным числам, ортогональны. Доказательство. Пусть - вещественная симметричная матрица, - её собственные числа, причём . Столбцы и - собственные векторы матрицы , соответствующие собственным числам и . Следовательно, и , причём . Мы хотим доказать, что .
Подсчитаем двумя способами число : 1) 2) Итак, , причём . Следовательно, и . Пример 3. В примере 1 было показано, что любой собственный вектор матрицы , соответствующий собственному числу , имеет вид , где . Любой собственный вектор той же матрицы, соответствующий собственному числу , имеет вид , где числа и не равны нулю одновременно. Подсчитаем число . Следовательно, результат вычисления согласуется с теоремой 5, и .
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|