 |
Определение модулей сдвига и кручения методом крутильных колебаний
|
|
|
|
Цель работы: с помощью крутильного маятника определить модули кручения и сдвига проволоки.
Приборы и принадлежности: крутильный маятник, секундомер, штангенциркуль, линейка.
Методика и техника эксперимента
Крутильный маятник представляет собой упругий стержень, один конец которого закреплен, а к другому прикреплено массивное тело таким образом, что его центр инерции находится на оси стержня ОО 1.
Если тело повернуть на небольшой угол вокруг оси ОО 1 и предоставить самому себе, то оно начнет совершать крутильные колебания.
Можно показать, что величина периода крутильных колебаний Т зависит от упругих свойств проволоки и момента инерции маятника.
Если на тело действует пара сил, то численное значение вращающего момента по основному закону вращательного движения
,
где: 
- угловое ускорение; J – момент инерции маятника относительно оси ОО 1.
Момент упругих сил, возникающих в образце при кручении, по закону Гука равен
,
где D - модуль кручения. Поэтому
.
Последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение крутильных колебаний. Его можно привести к виду:
.
Как нетрудно увидеть путем прямой подстановки, решение данного уравнения имеет вид:
,
т.е. угол j изменяется по гармоническому закону, тело совершает гармонические колебания с циклической частотой 
и периодом
. (1)
В используемой экспериментальной установке к нижнему концу вертикально висящей проволоки СD прикрепляется горизонтальный стержень AB со средним грузом M и двумя равными перемещаемыми грузами т. Если на концы стержня AB подействовать парой сил, создающей вращающий момент, а затем систему предоставить самой себе, то она будет совершать крутильные колебания в горизонтальной плоскости.
|
|
|
В основе данной работы лежит соотношение (1), в котором J - момент инерции системы относительно осп СD, D - модуль кручения, T - период крутильных колебаний.
Модуль кручения D можно определить, не зная момента инерции всей системы J относительно оси СD, но зная моменты инерции относительно СD небольших по объему массивных грузов т, располагая их на минимальном l 1 и максимальном l 2 расстояниях. Обозначая периоды колебаний маятника для этих двух случаев Т 1 и Т 2, получим из выражения (1):
, 
.
Вычтем из второго равенства первое
и выразим отсюда
. (2)
Принимая грузы m за материальные точки, моменты инерции системы J 1 и J 2 можно найти как
, 
, (3)
где J 0 – момент инерции стержня со средним грузом. Подставляя (3) в (2), получаем:
.
Выражая периоды Т 1 и Т 2 через время t 1 и t 2 n колебаний при расположении грузов m на расстояниях соответственно l 1 и l 2
, 
,
получаем расчётную формулу для модуля кручения материала проволоки маятника
. (4)
Поскольку деформации кручения являются частным случаем сдвиговых деформаций, модуль кручения связан с модулем сдвига соотношением:
, (5)
где: d – диаметр проволоки СD; L – её длина.
Порядок выполнения работы
1. Поместить грузы m на минимальное расстояние от оси проволоки и однократно измерить расстояние от ее оси до центра подвижных грузов l 1.
2. Повернуть крутильный маятник на угол порядка 5°, предоставить его самому себе и по секундомеру отсчитать время п = 20 полных колебаний t 1. Повторить операцию 5-7 раз.
3. Выполнить пункты 1, 2 для максимального расстояния грузов l 2 от оси проволоки.
4. Однократно измерить штангенциркулем диаметр d проволоки маятника.
5. Записать в таблицу длину проволоки L, массу груза m и данные проведённых измерений.
6. Произвести математическую обработку результатов измерений, найти по формулам (4) и (5) модули кручения D и сдвига G, а также их погрешности 
, 
.
|
|
|
Таблица измерений
| n | l 1, мм | t 1, c | l 2, мм | t 2, c | D l, мм | D t, c | d, мм | D d, мм | L, м | m, кг |
Контрольные вопросы
1. Какие деформации называются упругими?.
2. Сформулируйте и запишите закон Гука применительно к деформациям кручения и сдвига.
3. Какой физический смысл модуля кручения и модуля сдвига?
4. Выведите расчетную формулу.
|
|
|
