 |
1.1. Понятие процента и процентной ставки
|
|
|
|
Введение
«Если в школе ученик не научится сам ничего творить,
то в жизни он всегда будет только подражать,
копировать, так мало таких, которые бы,
научившись копировать, умели сделать
самостоятельно приложение этих сведений»
Л. Н. Толстой
Решение задач занимает в математике огромное место, поэтому решению задач уделяется много внимания на уроках математики. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня нашего математического развития.
Решение задач — это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придется работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа. Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач. Итак, что же такое задача? Если приглядеться к любой задаче, то увидим, что она представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче. Поэтому, приступая к решению какой-либо задачи, надо ее внимательно изучить, установить, в чем состоят ее требования (вопросы), каковы условия, исходя из которых надо решать задачу. Все это называется анализом задачи. Также задачей условимся называть и текстовую задачу, и уравнение, и вычислительный пример. Существуют задачи, ход решения которых известен заранее. Такие задачи называются стандартными или шаблонными (решают их по образцу – шаблону, по готовым формулам). При решении таких задач нужно быть внимательным и помнить ход решения. В повседневной жизни, на производстве встречаются задачи, на которые нет готового ответа (или готового способа решения). Многие жизненные задачи нетипичны, неповторимы. Такие задачи часто называют нестандартными. Для успешного решения нестандартных задач необходимо, прежде всего уметь думать, догадываться.
|
|
|
Решение финансовых задач основывается на использовании различных математических моделей: уравнений, неравенств, их систем с привлечением процентов, арифметической и геометрической прогрессий, производной. Прежде чем рассмотреть способы решения экономических задач, целесообразно привести основные определения, понятия, таблицы и формулы.
В данном сборнике разработаны алгоритмы решения задач экономического содержания ЕГЭ на банковские вклады, кредиты и проценты. Задачи выбраны из Открытого банка заданий. Подбор задач разбит на 4 типа: 1 тип – вклады; 2 тип – кредиты; 3 тип – задачи на оптимальный выбор; 4 тип – разные задачи.
Эти задачи имеют прямое отношение к нашей российской экономике. Именно задачи с процентами с недавних пор добавлены во вторую часть единого государственного экзамена по математике под номером 15. Вместе с тем, для решения любой из указанных задач из ЕГЭ по математике, необходимо знать всего лишь две формулы, каждая из которых вполне доступна любому школьному выпускнику. Это формулы суммы арифметической и геометрической прогрессии. Поэтому в данном сборнике представлены алгоритмы решения данных задач, выведены универсальные формулы.
1. 1. Понятие процента и процентной ставки
Процентом называют одну сотую часть числа. С точки зрения экономики, процент – это абсолютная часть дохода, получаемая в результате финансовой операции за определенный период времени принаращении.
При решении экономических задач часто используется определение процентной ставки за определенный период времени – величины, характеризующей относительное изменение денежной суммы F за этот период:
|
|
|
где 
– абсолютная величина изменения суммы F.
Определенная таким образом процентная ставка измеряется в процентах (%). Если относительное изменение денежной суммы не умножать на 100, то ставка будет измеряться в долях единицы (дробях).
Отрезок времени, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления. В качестве такого периода принимают год, полугодие, квартал, месяц или даже день. Чаще всего на практике имеют дело с годовыми ставками.
В зависимости от того, какая из сумм дана и какую нужно найти, выделяют два направления финансовых расчетов: наращение и дисконтирование.
Наращение – определение величины итоговой стоимости по заданной текущей стоимости. Дисконтирование – определение текущей стоимости по ожидаемой итоговой сумме в будущем.
Различают простые и сложные процентные ставки, или проценты.
Для начисления простых процентов применяют постоянную базу начисления. В этом случае начисленные за весь срок проценты I составят:
где P – первоначальная денежная сумма, n – период начисления процентов, i – ставка наращения процентов в виде десятичной дроби.
Наращенная сумма представляет собой сумму первоначальной денежной суммы и наращенных процентов:
Когда за базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения (дисконтирования), используют сложные процентные ставки. В этом случае база начисления последовательно изменяется, то есть проценты начисляются на проценты.
В конце первого года проценты будут равны величине I = Р 
i, а наращенная сумма составит S = Р + Р i = Р (1 + i). К концу второго года она достигнет величины Р (1 + i) + Р (1 + + i) i = Р (1 + i)2 и т. д. В конце n-го года наращенная сумма будет равна:
где P – первоначальная денежная сумма, n – период начисления процентов, i – ставка наращения процентов в виде десятичной дроби.
Проценты за этот срок составят: 
.
|
|
|
