Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Касательная плоскость и нормаль к поверхности




Рассмотрим всевозможные кривые на поверхности, проходящие через данную точку М, и касательные векторы к ним в этой точке (рис. 7). Каждый из этих векторов представляет собой линейную комбинацию векторов u и v, т. е. лежит в определяемой этими векторами плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью к данной поверхности в точке М. Напишем уравнение касательной плоскости. Поскольку векторы и лежат в касательной плоскости, вектор нормален к ней и уравнение этой плоскости имеет вид:

, (3.2)

здесь – радиус-вектор точки касания, – радиус-вектор текущей точки касательной плоскости.

Пусть поверхность задана уравнением , т. е. в век­торной форме . Напишем уравнение касательной плоскости для такой поверхности. Имеем ,

и, следовательно,

. (3.3)

Подставив в уравнение касательной плоскости (3.2) вместо вектор ,а вместо нормального вектора его выражение (3.3), получим уравнение касательной плоскости к поверхности в точке :

(3.4)

где значения производных и берутся в точке касания .

Если поверхность задана неявным уравнением , которое определяет как дифференцируемую функцию от x и y, то

.

Подставив эти выражения в уравнение (3.4), полу­чаем уравнение плоскости, касательной к поверхности :

. (3.5)

Здесь значения , и берутся в точке касания .

Нормаль к поверхности. Пусть F (x, y, z) = 0 – неявное уравнение поверхности. Нормаль к поверхности (перпендикулярная прямая к касательной плоскости в точке касания) имеет вид:

.

Вычислим направляющие косинусы вектора , нормального к поверхности, заданной уравнением . Так как

и ,

то вектор имеет координаты

(3.6)
, , ,

а его направляющие косинусы соответственно равны

, ,

 

Измерение на поверхности длин, углов, площадей. Первая квадратичная форма поверхности

Для решения многих физических, технических и геометрических задач нужно уметь вычислять длины дуг, лежащих на поверхности, углы между такими дугами, площади тех или иных частей поверх­ности.

Основная идея всех излагаемых в этом параграфе рассуждений состоит в замене бесконечно малого элемента гладкой поверхности соответ­ствующим элементом касательной плоскости. Поэтому полезно начать с некоторых формул и понятий, относящихся к вычислению длин, углов и площадей на плоскости.

Перейдем к изучению поверхности в бесконечно малом, вблизи какой-нибудь её точки M(x, y).

Вычислим дифференциал вектора вдоль кривой. Тогда , где . Найдём скалярные квадраты левой и правой частей этого равенства: или

(3.7)
.

Введём для этих скалярных произведений сокращённые обозначения:

или в координатах

(3.8)
Тогда формула (3.7) перепишется в виде:

.

Выражение (3.8), называется первой квадратичной формой на поверхности и играет важную роль в теории поверхностей.

Первая квадратичная форма служит прежде всего для измерения бесконечно малых дуг на поверхности. Далее посредством интегрирования, нетрудно перейти к точному вычислению длин на поверхности.

Пусть задана часть кривой на поверхности: u=u(t), v=v(t), где .

Тогда длина части кривой на поверхности выражается формулой:

.

Зная первую квадратичную форму на поверхности, можно находить и углы между кривыми.

Определение 3.4. Углом между кривыми и называется угол между касательными к этим линиям в их общей точке M.

Пусть и – векторы касательных к линиям и в точке M. Тогда или, в координатах, учитывая, что для произвольного вектора , имеем

или

(3.9)
.

 

Площадь поверхности

 

Через первую квадратичную форму можно определить площади любых участков поверхности. Пусть f – гладкая поверхность, заданная уравнениями

x=x (u, v), y=y (u, v), z=z (u, v)

и D – область на ней, ограниченная конечным числом кусочно-гладких кривых.

Тогда площадь поверхности вычисляется по формуле:

.

Заметим, что если – векторная функция, т.е. , то в любой точке M (u, v) поверхности имеем:

.

Следовательно, площадь поверхности можно вычислить по формуле:

(3.10)
.

Задача 3.1. Найти первую квадратичную форму поверхностного вращения , , , где – функции, имеющие непрерывные производные.

Решение. Имеем , , , . Тогда

,

,

.

Таким образом, первая квадратичная форма имеет вид

. ■

Мы видим, что зная первую квадратичную форму, можно решать метрические задачи, т.е. задачи на вычисления.

В связи с этим говорят, что первая квадратичная форма задаёт метрику поверхности и её часто называют линейным элементом поверхности. Первая квадратичная форма описывает поверхность в первом приближении, когда малый участок поверхности заменяется на участок касательной плоскости.

Все факты, которые могут быть получены путём измерении на поверхности с помощью первой квадратичной формы, относятся к так называемой внутренней геометрии поверхности.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...