Касательная плоскость и нормаль к поверхности
⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4 Рассмотрим всевозможные кривые на поверхности, проходящие через данную точку М, и касательные векторы к ним в этой точке (рис. 7). Каждый из этих векторов представляет собой линейную комбинацию векторов u и v, т. е. лежит в определяемой этими векторами плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью к данной поверхности в точке М. Напишем уравнение касательной плоскости. Поскольку векторы и лежат в касательной плоскости, вектор нормален к ней и уравнение этой плоскости имеет вид: , (3.2) здесь – радиус-вектор точки касания, – радиус-вектор текущей точки касательной плоскости. Пусть поверхность задана уравнением , т. е. в векторной форме . Напишем уравнение касательной плоскости для такой поверхности. Имеем , и, следовательно, . (3.3) Подставив в уравнение касательной плоскости (3.2) вместо вектор ,а вместо нормального вектора его выражение (3.3), получим уравнение касательной плоскости к поверхности в точке : (3.4) где значения производных и берутся в точке касания . Если поверхность задана неявным уравнением , которое определяет как дифференцируемую функцию от x и y, то . Подставив эти выражения в уравнение (3.4), получаем уравнение плоскости, касательной к поверхности : . (3.5) Здесь значения , и берутся в точке касания . Нормаль к поверхности. Пусть F (x, y, z) = 0 – неявное уравнение поверхности. Нормаль к поверхности (перпендикулярная прямая к касательной плоскости в точке касания) имеет вид: . Вычислим направляющие косинусы вектора , нормального к поверхности, заданной уравнением . Так как и , то вектор имеет координаты
а его направляющие косинусы соответственно равны , ,
Измерение на поверхности длин, углов, площадей. Первая квадратичная форма поверхности
Для решения многих физических, технических и геометрических задач нужно уметь вычислять длины дуг, лежащих на поверхности, углы между такими дугами, площади тех или иных частей поверхности. Основная идея всех излагаемых в этом параграфе рассуждений состоит в замене бесконечно малого элемента гладкой поверхности соответствующим элементом касательной плоскости. Поэтому полезно начать с некоторых формул и понятий, относящихся к вычислению длин, углов и площадей на плоскости. Перейдем к изучению поверхности в бесконечно малом, вблизи какой-нибудь её точки M(x, y). Вычислим дифференциал вектора вдоль кривой. Тогда , где . Найдём скалярные квадраты левой и правой частей этого равенства: или
Введём для этих скалярных произведений сокращённые обозначения: или в координатах
. Выражение (3.8), называется первой квадратичной формой на поверхности и играет важную роль в теории поверхностей. Первая квадратичная форма служит прежде всего для измерения бесконечно малых дуг на поверхности. Далее посредством интегрирования, нетрудно перейти к точному вычислению длин на поверхности. Пусть задана часть кривой на поверхности: u=u(t), v=v(t), где . Тогда длина части кривой на поверхности выражается формулой: . Зная первую квадратичную форму на поверхности, можно находить и углы между кривыми. Определение 3.4. Углом между кривыми и называется угол между касательными к этим линиям в их общей точке M. Пусть и – векторы касательных к линиям и в точке M. Тогда или, в координатах, учитывая, что для произвольного вектора , имеем или
Площадь поверхности
Через первую квадратичную форму можно определить площади любых участков поверхности. Пусть f – гладкая поверхность, заданная уравнениями
x=x (u, v), y=y (u, v), z=z (u, v) и D – область на ней, ограниченная конечным числом кусочно-гладких кривых. Тогда площадь поверхности вычисляется по формуле: . Заметим, что если – векторная функция, т.е. , то в любой точке M (u, v) поверхности имеем: . Следовательно, площадь поверхности можно вычислить по формуле:
Задача 3.1. Найти первую квадратичную форму поверхностного вращения , , , где – функции, имеющие непрерывные производные. Решение. Имеем , , , . Тогда , , . Таким образом, первая квадратичная форма имеет вид . ■ Мы видим, что зная первую квадратичную форму, можно решать метрические задачи, т.е. задачи на вычисления. В связи с этим говорят, что первая квадратичная форма задаёт метрику поверхности и её часто называют линейным элементом поверхности. Первая квадратичная форма описывает поверхность в первом приближении, когда малый участок поверхности заменяется на участок касательной плоскости. Все факты, которые могут быть получены путём измерении на поверхности с помощью первой квадратичной формы, относятся к так называемой внутренней геометрии поверхности.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|