 |
Интегрирование простейших рациональных дробей
|
|
|
|
Лекция 10
Неопределённый интеграл, его свойства
Первообразная функция и неопределённый интеграл
Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x) на данном промежутке, если на этом промежутке
.
Например, функция F(x)=x3 является первообразной функции f(x)=3x2 на всей числовой оси, так как (x3)/=3x2 при любом x. Отметим, что вместе с функцией F(x)=x3 первообразной для f(x)=3x2 является любая функция вида Ф(х)=х3+С, где С – произвольное постоянное число.
Лемма о первообразных
Если F1(x) и F2(x) – две первообразные для функции f(x) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.
Из этой теоремы следует, что если известна какая-нибудь первообразная F(x) данной функции f(x), то всё множество первообразных для f(x) можно записать в виде F(x)+C.
Выражение F(x)+C, где F(x) – первообразная функции f(x) и С – произвольная постоянная, называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом 
, причём f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением,
х – переменной интегрирования; 
– знак неопределённого интеграла.
Таким образом, по определению
если .
Возникает вопрос: для всякой ли функции f(x) существует первообразная, а значит, и неопределённый интеграл?
Свойства неопределённого интеграла
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого
или 
где С – произвольное число
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
|
|
|
где k – некоторое число.
5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций
Интегралы от основных элементарных функций
(Таблица интегралов)
1) 
2) 
.
3) 
, в общем случае 
4) 
, в частности 
5) 
9) 
6) 
10) 
7) 
11) 
8) 
12) 
Методы интегрирования
Метод непосредственного интегрирования связан с приведением подынтегрального выражения к табличной форме путём преобразований и применения свойств неопределённого интеграла.
Пример 1. Найти интеграл 
Решение:
.
Пример 2. Найти интеграл 
Решение:
Замена переменной интегрирования
Если 
, где 
- функция, имеющая непрерывную производную, тогда 
; подставляя в интеграл, получим
Пример 3. Найти интеграл 
Решение:
Воспользуемся подстановкой x=t2. Тогда 
, получим
Интегрирование по частям
Пусть u=u(x) и v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула
.
Пример 4. Найти интеграл 
Решение:
Пусть u=x 
du=dx,
; Используя формулу интегрирования по частям, получим
Лекция 11
Интегрирование простейших рациональных дробей
Многочленом степени n называется выражение вида 
, где 
– действительные числа 
. Например, 5–7x – многочлен первой степени 
,
=2x3 – 3x2 +8x – 1 – многочлен третьей степени.
Рациональной дробью называется отношение двух многочленов. Например, 
– рациональные дроби. Всякая рациональная дробь имеет вид:
где 
– многочлены степени m и n соответственно.
, если 
Простейшими рациональными дробями являются следующие четыре типа дробей:
I) 
; II) 
III) 
; IV) 
Очевидно, что интегралы от простейших дробей первого и второго типов находятся легко:
,
где k – целое, 
.
От дробей третьего и четвёртого типов вычисляют заменой 
, или по следующим формулам:
Разложение многочленов на множители
Для любых многочленов 
имеет место теорема Безу:
|
|
|
, где z0 - простой корень
, где z0 - корень кратности k.
Если z - корень комплексный: 
, где i= 
и 
, то 
, где 
– сопряженный корень.
Любой многочлен можно разложить на линейные и квадратичные множители
– действительные корни; 
- комплексные корни
Правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей, если знаменатель дроби 
представлен в виде сомножителей 
:
Пример 5. Разложить на сумму простейших дробей следующие дроби:
а) 
;
б) 
.
Решение:
а) 
б) 
Пример 6. Вычислить интеграл:
Решение:
Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби
приравнивая числители дробей, получаем:
Определим коэффициенты А и В, придавая любые значения переменной x:
Получаем А=1 и В=1. Исходный интеграл найдём как сумму интегралов от полученных дробей.
Лекция 12
|
|
|
