 |
Эмпирические зависимости. Метод выравнивания.
|
|
|
|
1. Теоретические сведения.
Наиболее «удобной» с точки зрения получения эмпирических зависимостей является линейная зависимость: во-первых, ее вид легко установить из геометрического расположения точек 
, 
, во-вторых, существует много достаточно простых методов для нахождения её параметров. Гораздо сложнее обстоит дело в случае нелинейной зависимости. Экспериментальные данные обычно рассматриваются на некотором промежутке изменения переменной, и довольно часто этот промежуток не так уж велик. Поэтому, если искать вид зависимости исходя из геометрических построений, могут возникнуть затруднения в определении вида кривой: графики многих функциональных зависимостей на некоторых участках почти не отличаются друг от друга. Кроме того, при нахождении параметров эмпирической зависимости часто получается сложные системы. Например, если пользоваться методом наименьших квадратов для нахождения параметров в случае экспоненциальной зависимости 
, то мы приходим к системе трансцендентных уравнений. Указанные выше трудности зачастую удается избежать, применяя метод выравнивания, суть которого состоит в следующем.
Пусть заданы результаты наблюдений
| x | 
| 
| … | 
|
| y | 
| 
| … | 
|
(1)
Причем для переменных 
и 
их соответствующие значения 
, 
, таковы, что точки не располагаются на прямой линии. И пусть геометрическим или каким-либо другим образом определен вид нелинейной зависимости от . Найдем, если можно, взаимно-однозначное преобразование 
, 
, при котором эта нелинейная зависимость переходит в линейную 
.
По формулам 
, 
и исходным данным (1)
найдем соответствующие значения новых переменных X и Y. В результате получим
|
|
|
| 
| 
| … | 
|
| 
| 
| … | 
|
(2)
При этом точки 
, будут располагаться вблизи некоторой прямой. По исходным данным (2), методом наименьших квадратов найдем эмпирическую зависимость . Затем, переходя в этой формуле к исходным переменным и , найдем искомую зависимость от .
Методом выравнивания пользуются не только для определения неизвестных параметров, но и для проверки правильности выбора вида функциональной зависимости. Действительно, если вид зависимости от определен правильно, то точки , будут располагаться вблизи некоторой прямой, если это не так, то значит вид зависимости от определен неправильно.
Ниже указаны преобразования, с помощью которых можно свести к линейной зависимости некоторые классы функций, наиболее часто встречающиеся на практике.
| № п/п | 
| Преобразование | Определяемые параметры | Ограничения |
| 1. | 
|  ; 
|  ; 
|  ; 
|
| 2. | 
| ; 
| ;
|
|
| 3. | 
|  ;
|  ;
| 
|
| 4. | 
|  ;
| ;
|
|
| 5. | 
|  ;
| ;
|
|
На рис. 1 − 5 приведены графики некоторых функциональных зависимостей.
|
|
Рис. 1. Зависимость 
, 
Рис. 2. Зависимость 
, 
 
|
Рис. 3. Зависимость 
Рис. 4. Зависимость 
 
|
Рис. 5. Зависимость 
Параметры 
и 
линейной зависимости обычно ищут методом наименьших квадратов. После чего находят параметры 
и 
и записывают первоначальную зависимость.
2. Примеры решения задач.
Задание 1. При исследовании гомогенных многофазовых реакций получены следующие экспериментальные данные зависимости между константой скорости 
и величиной 
, обратной температуре реакции.
| t | 5,6 | 6,4 | 6,8 | 7,2 | 7,6 | 8,4 | 8,8 | |||
| K | 10,4 | 14,4 | 17,1 | 22,5 | 25,9 | 33,1 | 40,4 | 59,2 | 74,1 |
Найдите эмпирическую зависимость 
.
Решение. На плоскости переменных и построим точки 
и соединим их плавной кривой.
Рис.6.Диаграмма исходных данных.
Сравнивая полученный график с графиками на рис.1-5, мы видим, что для данного случая могут подойти зависимости
|
|
|
или 
рис. 2-3.
Предположим, что зависимость имеет вид
. (3)
Используя преобразование
, (4)
зависимость (3) преобразуется в линейную 
. По формулам (4) найдем значения новых перемененных X и Y и запишем в таблицу 1.
Таблица 1.
| X | 5,0 | 5,6 | 6,0 | 6,4 | 6,8 | 7,2 | 7,6 | 8,0 | 8,4 | 8,8 |
| Y | 0,096 | 0,069 | 0,058 | 0,044 | 0,039 | 0,030 | 0,024 | 0,020 | 0,016 | 0,013 |
Построив на плоскости O XY точки 
, рис.7, мы видим, что они расположены вдоль некоторой кривой, а не прямой линии. Следовательно, вид зависимости выбран неправильно и формула (3) не подходит.
Рис.7. Диаграмма таблицы 1. Рис.8. Диаграмма таблицы 2.
Предположим теперь, что зависимость задается формулой 
. Используя преобразование 
, получим
. (4)
| X | 5,0 | 5,6 | 6,0 | 6,4 | 6,8 | 7,2 | 7,6 | 8,0 | 8,4 | 8,8 |
| Y | 2,3418 | 2,6672 | 2,8391 | 3,1135 | 3,2542 | 3,4995 | 3,6988 | 3,912 | 4,0809 | 4,3054 |
Найдем значения новых переменных X и Y по формулам 
; 
и запишем в таблицу 2.
Таблица 2.
На плоскости O XY построим точки 
, . Как видно из рис.8, они расположены вдоль некоторой прямой линии. Следовательно, вид зависимости выбран правильно. Параметры 
и b найдем методом наименьших квадратов.
Для вычисления коэффициентов системы составим таблицу:
| 
|
|
| 
| 
|
| 10,4 | 2,3418 | 11,709 | |||
| 5,6 | 14,4 | 5,6 | 2,6672 | 31,36 | 14,936 |
| 17,1 | 2,8391 | 17,034 | |||
| 6,4 | 22,5 | 6,4 | 3,1135 | 40,96 | 19,926 |
| 6,8 | 25,9 | 6,8 | 3,2542 | 46,24 | 22,129 |
| 7,2 | 33,1 | 7,2 | 3,4995 | 51,84 | 25,197 |
| 7,6 | 40,4 | 7,6 | 3,6988 | 57,76 | 28,111 |
| 3,912 | 31,296 | ||||
| 8,4 | 59,2 | 8,4 | 4,0809 | 70,56 | 34,28 |
| 8,8 | 74,1 | 8,8 | 4,3054 | 77,44 | 37,888 |
| ∑ | 69,8 | 33,713 | 501,16 | 242,51 |
Запишем нормальную систему уравнений
Решая ее находим 
и 
. Отсюда находим значение параметра 
: 
. Таким образом, исходная зависимость имеет вид 
.
Решение при помощи Excel.
Решим рассматриваемую задачу с помощью Мастера диаграмм. На основе диапазона данных построим точечную диаграмму и, используя средства форматирования, приведем ее к удобному для восприятия виду. На диаграмме выделим ряд значений и выбрав контекстное меню (нажатием правой клавиши мыши), выберем команду Добавить линию тренда. Будет открыто диалоговое окно Линия тренда, содержащее вкладку Тип, где задается вид тренда (уравнения): линейный, логарифмический, полиномиальный (от 2-й до 6-й степени включительно), степенной, экспоненциальный.
Для того чтобы получить аналитическое выражение выбранного уравнения, необходимо на вкладке Параметры активизировать флажок Показывать уравнение на диаграмме. Если поставить флажок Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R^2, то в области построения будет выделено значение показателя 
, по которому можно судить, насколько хорошо выбранное уравнение аппроксимирует эмпирические данные. Чем ближе к единице, тем более адекватным исследуемому явлению или процессу является уравнение.
|
|
|
Выбирая предлагаемые виды зависимости, убеждаемся, что экспоненциальная зависимость 
наиболее хорошо аппроксимирует эмпирические данные (рис.9).
Рис.8. Результат решения при помощи Excel.
Студентам предлагается, при помощи Excel, используя преобразование , найти методом наименьших квадратов оценки параметров линейной зависимости . Решение представлено на рабочем листе 1 (рис.10).
Рис.10. Рабочий лист 1
3. Индивидуальные задания
1. Методом выравнивания установить вид эмпирической зависимости между и и найти параметры этой зависимости.
|
| -5 | -1 | |||||||||
|
| 0,3 | 0,7 | 1,1 | 1,9 | 3,2 | 5,1 | 7,2 | ||||
1.
|
| 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,1 | ||
|
| 0,3 | 0,7 | 1,1 | 1,9 | 3,2 | 5,1 | 7,2 | ||||
2.
|
| |||||||||||
|
| 6,4 | 3,6 | 0,3 | 1,4 | 3,2 | 6,1 | 8,1 | 9,5 | |||
3.
|
| 7,8 | 8,5 | |||||||||
|
| 8,5 | 5,9 | 4,2 | 2,9 | 2,1 | 1,5 | 0,9 | 0,7 | 0,3 | ||
4.
|
| -2 | 1,6 | 1,1 | 0,8 | 0,1 | 0,4 | 1,9 | 2,8 | 3,6 | ||
|
| 7,5 | 5,6 | 4,4 | 2,6 | 1,8 | 0,9 | |||||
5.
|
| 0,2 | 1,3 | |||||||||
|
| 4,5 | 7,6 | 9,1 | ||||||||
6.
|
| 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | ||
|
| 1,5 | 0,3 | 0,6 | 1,1 | 1,5 | 2,2 | 2,6 | 2,9 | 3,1 | ||
|
|
|
7.
|
| 0,2 | 1,1 | 1,8 | 2,6 | 3,4 | 3,6 | 3,8 | 3,9 | 3,9 | ||
|
| 0,3 | 0,6 | 0,7 | -1 | 1,6 | 2,4 | 3,8 | 7,3 | |||
8.
|
| 0,9 | 0,7 | 0,5 | 0,3 | 0,1 | 0,1 | 0,3 | 0,5 | 0,7 | 0,9 | |
|
| 5,1 | 3,4 | 2,5 | 2,3 | 1,7 | 1,5 | 1,1 | 0,7 | |||
9.
|
| 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | |||
|
| 0,7 | 1,5 | 2,6 | 2,7 | 3,2 | 3,4 | 3,7 | 3,9 | |||
10.
|
| 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,7 | 0,9 | |
|
| 5,2 | 4,3 | 3,7 | 2,6 | 2,3 | 1,4 | 0,9 | 0,3 | 0,2 | 0,8 | |
11.
|
| |||||||||||
|
| 7,7 | 5,6 | 3,5 | 2,8 | 1,7 | 1,5 | 1,2 | 0,6 | 0,5 | ||
12.
|
| 0,2 | 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | ||
|
| 2,1 | 2,3 | 3,1 | 3,5 | 4,6 | 5,4 | 6,8 | ||||
13.
|
| 0,7 | 0,9 | 1,1 | 1,3 | 1,5 | 1,7 | 1,9 | 2,1 | 2,2 | ||
|
| 0,2 | 0,3 | 0,8 | 1,5 | 3,2 | 5,4 | |||||
14.
|
| 0,4 | 1,1 | 3,5 | ||||||||
|
| 7,8 | 5,7 | 4,4 | 3,1 | 2,2 | 1,3 | 0,7 | 0,2 | 0,6 | ||
15.
3. Контрольные вопросы.
1. Какая зависимость называется эмпирической?
2. Из каких двух этапов состоит процесс получения эмпирической зависимости?
3. Из каких соображений выбирается вид эмпирической зависимости?
4. В чем состоит сущность метода выравнивания?
5. Позволяет ли метод выравнивания установить вид эмпирической зависимости?
6. Какой вид должна иметь точечная диаграмма, преобразованных исходных данных?
7. Каким методом ищется линейная зависимость по преобразованным исходным данным?
8. Как находятся параметры искомой эмпирической зависимости?
9. Что характеризует показатель в Excel?
10. Что дает анализ точечной диаграммы и графика эмпирической зависимости?
|
|
|
Время независимости.
Г. Модель неоколониальной зависимости.
Методологические возражения и альтернативные эмпирические подходы
Развитие зависимости.
Свойства флюидов и породы, учитываемые в модели трехфазной фильтрации (Black oil). Характерный вид зависимости.
Эмпирические данные
Эмпирические доказательства
Эмпирические доказательства влияния порядка рождения
Эмпирические зависимости. Метод наименьших квадратов.
