Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Кристаллические системы

Помимо трансляционной симметрии кристаллическая решетка может обладать и другими элементами симметрии. Так, всякая примитивная пространственная решетка имеет центр симметрии. Центром симметрии, как легко видеть, является каждая вершина и центр примитивного параллелепипеда решетки, а также середины его ребер и центры граней. Базис однозначно определяет примитивную решетку. Обратное несправедливо — для одной и той же решетки базис может быть выбран бесконечным множеством способов. Поэтому симметрия базисного параллелепипеда, вообще говоря, не совпадает с симметрией, построенной на нем решетки.

Тела конечных размеров, например молекулы, могут обладать поворотными и зеркально-поворотными осями симметрии любого порядка. Неограниченные кристаллические решетки, как примитивные, так и сложные, благодаря наличию у них трансляционной симметрии, ведут себя иначе. Поворотные и зеркально-поворотные оси симметрии кристаллической решетки могут быть только осями 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков. Другие оси в кристаллической решетке невозможны.

Сложная пространственная решетка состоит из примитивных решеток (решеток Браве). По симметрии примитивных решеток все кристаллы разделяются на семь кристаллических систем. Под симметрией здесь понимается точечная симметрия, включающая в себя все элементы симметрии, за исключением трансляционных, т.е. центр, плоскости и поворотные оси симметрии различных порядков. В сущности, разделение кристаллов на кристаллические системы производится по числу поворотных осей симметрии различных порядков, которыми обладает решетка Браве.

Напомним, что симметрия пространственной решетки не всегда совпадает с симметрией основного параллелепипеда, на котором построена решетка. Однако Браве заметил, что из всякой примитивной решетки, за исключением гексагональной, можно выделить параллелепипед, содержащий все те элементы симметрии (за исключением, конечно, трансляционных), что и решетка в целом. Наименьший из таких параллелепипедов называется параллелепипедом Браве. Если он вырождается в куб, то мы будем называть его кубом Браве. Браве доказал, что могут существовать шесть типов решеток, для которых параллелепипед Браве — примитивный. Если к ним присоединить гексагональную решетку, то получится всего 7 типов решеток, охватывающих всевозможные комбинации элементов симметрии решеток Браве. Центрирование граней и объемов параллелепипедов Браве не изменяет симметрию решетки. Однако оно приводит к появлению еще 7 новых типов решеток Браве. Таким образом, существует всего 14 типов решеток Браве, распределяющихся по 7 кристаллическим системам. Опишем эти системы и соответствующие им решетки Браве:

Кубическая система. Решетки этой системы наиболее симметричны. Параллелепипедом Браве является куб (рис. 3). Существуют три типа решеток Браве кубической системы: простая (обозначается через Р), объемноцентрированная (обозначается через I) и гранецентрированная (обозначается через F ). Как указывалось выше, параллелепипед Браве простой кубической решетки является также основным параллелепипедом. Для остальных двух решеток основные параллелепипеды косоугольные, а потому эти параллелепипеды характеризуются более низкой симметрией, чем сами решетки. Длина ребра куба Браве для всех трех кубических решеток является единственным пространственным параметром решетки. Эту длину называют постоянной решетки и обычно обозначают через а. Кристаллические решетки кубической системы имеют 13 поворотных осей симметрии: 6 осей второго порядка, 4 оси третьего порядка и 3 оси четвертого порядка. Оси симметрии второго порядка соединяют центры противоположных ребер куба Браве, третьего — противоположные вершины его, а четвертого — центры противоположных граней.

Тетрагональная (или квадратная) система. Параллелепипед Браве имеет форму прямой квадратной призмы (рис. 4). Наряду с примитивной решеткой (Р) существует еще объемноцентрированная решетка (I). Центрирование оснований не дает решеток нового типа. Оно приводит к разделению исходной решетки на две примитивные решетки того же типа, что и исходная решетка. Это видно из (рис. 5). Не дает ничего нового и центрирование всех граней исходной решетки. Оно превращает последнюю в объемноцентрированные решетки той же системы. Таким образом, существуют только две решетки Браве тетрагональной системы: простая и объемноцентрированная. Они имеют 4 поворотных оси симметрии второго и одну ось симметрии четвертого порядков. Последняя соединяет центры квадратных оснований, а первые — центры боковых граней и середины ребер параллелепипеда Браве. Тетрагональная решетка определяется двумя параметрами: длиной стороны а квадратного основания параллелепипеда Браве и его высотой с.

Гексагональная система (ее решетка обозначается через Н см. рис. 6). Для кристаллов этой системы понятие параллелепипеда Браве теряет смысл. Основной параллелепипед имеет форму прямой призмы, основанием которой служит ромб с острым углом 60° (рис. 7). Однако такой параллелепипед не передает симметрию пространственной решетки в целом. Для достижения этого три таких параллелепипеда соединяют вместе, чтобы они образовывали правильную шестигранную призму. Последняя полностью характеризует симметрию решетки. Узлы пространственной решетки располагаются в вершинах таких шестигранных призм и в центрах их оснований. Гексагональная решетка определяется двумя параметрами: длиной стороны основания а и высотой с призмы. Решетка имеет ось симметрии шестого порядка и 6 поворотных осей симметрии второго порядка, перпендикулярных к этой оси.

Ромбоэдрическая система (решетка обозначается символом R см. рис. 8).Параллелепипед Браве имеет форму ромбоэдра. Последний можно получить путем равномерного растяжения или сжатия куба в направлении его пространственной диагонали. Все грани ромбоэдра представляют собой одинаковые ромбы. Единственная решетка Браве такой системы является простой. Она характеризуется двумя параметрами: длиной а ребер параллелепипеда Браве и углом α между ними (при α = 90° ромбоэдр переходит в куб). Четыре пространственные диагонали куба являются поворотными осями симметрии третьего порядка. При растяжении или сжатии вдоль одной из этих диагоналей она продолжает оставаться осью симметрии третьего порядка. Другие три диагонали переходят в оси симметрии второго порядка. Оставшиеся семь осей симметрии куба утрачивают свойство симметрии. Таким образом, ромбоэдрическая решетка имеет четыре поворотных оси симметрии: одну третьего и три второго порядков.

Ромбическая или ортогональная система. (Рис. 2) Параллелепипед Браве — прямоугольный с тремя различными длинами ребер а, b, с, являющимися параметрами решетки. Существуют четыре типа решеток Браве рассматриваемой системы: простая (Р), объемноцентрированная (I), гранецентрированная ( F ) и базоцентрированная (С), т.е. решетка с центрированными основаниями. Осей симметрии три. Они параллельны ребрам параллелепипеда Браве и являются осями второго порядка.

Моноклинная система. (Рис. 9) Параллелепипедом Браве является прямой параллелепипед. Основание его есть произвольный параллелограмм. Моноклинная решетка характеризуется четырьмя параметрами — длинами а, b, с ребер параллелепипеда Браве и углом γ между ребрами а и b (остальные углы — прямые). Она имеет единственную ось симметрии второго порядка, которая соединяет центры оснований параллелепипеда Браве.

Триклинная система. Решетки этой системы только простые (Р). (Рис. 10) Параллелепипед Браве может быть произвольной формы. Поэтому решетки триклинной системы характеризуются наименьшей степенью симметрии. Они имеют только центр симметрии и не имеют осей симметрии. Параметрами решетки являются длины ребер параллелепипеда Браве а, b, с и углы между ними α, β, γ.

ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ И ТЕПЛОЕМКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Узлы кристаллической решетки определяют положения частиц (для металлов - ионов) с минимальной потенциальной энергией взаимодействуя. Т.е. на некотором расстоянии сила отталкивания равна силе притяжения .

Тепловое движение в твердых телах сводится к колебаниям частиц около положения равновесия. Колебания частиц происходят ангармонично. При повышении температуры кристалла увеличивается энергия теплового движения, т.е. растет амплитуда колебания частиц. Если бы колебания происходили строго гармонично, то увеличение амплитуды не привело бы к изменению среднего расстояния между частицами, вследствие ангармоничности колебаний частиц расстояния между ними меняются. При сближении частиц силы притяжения и силы отталкивания несимметричны. На рис.1 - результирующая сила взаимодействия. Из рисунка видно, что силы отталкивания при изменении расстояния между частицами растут много быстрее, чем силы притяжения. Это приводит к тому, что при увеличении температуры рост сил отталкивания между частицами тела преобладает над силами притяжения, и тела расширяются.

Рис.11.

Изменения линейных размеров твердых тел при нагревании определяются по формуле

(1)

где - начальная длина тела, - изменение температуры, - коэффициент линейного расширения, - абсолютное изменение длины.

Если выражение (1) записать в виде:

то можно определить физический смысл коэффициента линейного расширения (где - относительное удлинение). Коэффициент линейного расширения равен относительному удлинению тела при нагревании на один кельвин. Значение α зависит от материала для металлов, и имеет порядок 10^-5 – 10^-6 (табл.1).

Теплоемкость твердого тела называется физическая величина, численно равная изменению внутренней энергии единицы массы (или одного киломоля) твердого тела при нагревании на один градус :

Запас внутренней энергии твердого тела представляет собой запас энергии колебаний частиц, из которых оно построено. Таким образом, теплоемкость является мерой изменения энергии колебаний частиц с температурой. Каждая частица может колебаться в узле в трех взаимно перпендикулярных направлениях, т.е. имеет три колебательные степени свободы. На каждую степень свободы одной частицы в среднем приходится энергия , где k - постоянная Больцмана. Следовательно, на каждую колеблющуюся частицу приходится энергия, равная .

Внутренняя энергия (моля) твердого тела

т.к. ,

где - универсальная постоянная, - число атомов в моле (числе Авогадро).

Отсюда .

Это выражение представляет собой закон Дюлонга и Пти: молярная теплоемкость C всех химически простых кристаллических твердых тел приблизительно равна 3R

Закон выполняется довольно хорошо для многих веществ при комнатной температуре. Отклонения от этого закона для низких и высоких температур объясняется тем, что не учтено: квантование энергии колебательного движения и то обстоятельство, что в кристалле вследствие взаимодействия между частицами возникают гармонические упругие волны, имеющие различные частоты. (В квантовой теории этим волнам сопоставляют квазичастицы -фононы: фононы были введены вследствие того, что в твердом теле возникающие упругие волны являются акустическими и по аналогии с квантованием энергии электромагнитных волн квант энергии акустических волн был назван фононом).

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Для определения коэффициента линейного расширения твердого тела достаточно измерить начальную длину тела , знать и . Изменение очень мало, потому должно быть измерено с большей точностью. Измерение производится индикатором часового типа. Индикаторы часового типа предназначены для сравнительных и абсолютных измерений линейных размеров. Индикатор часового типа состоит из корпуса, измерительного стержня, передаточного механизма, двух шкал со стрелками (большой и малой) и ободка, имеющего возможность вместе со шкалой поворачиваться относительно корпуса.

ПРАВИЛА ПОЛЬЗОВАНИЯ ИНДИКАТОРОМ

1. Необходимо установить индикатор на нуль, для чего нужно сообщить натяг измерительному стержню и совместить нулевой штрих основной шкалы циферблата со стрелкой, переворачивая ободок.

2. Измеряемое изделие должно быть чисто протерто мягкой льняной тканью, т. к. малейшее присутствие воды, масла, наждака и т.д. приводят к неправильному измерению.

3. Нельзя подвергать индикатор встряхиванию и ударам.

4. Нельзя производить резких толчков по измерительному стержню в направлениях его хода, особенна в конце хода стержня.

5. Запрещается вскрывать крышку или ободок лицам, не имеющим отношения к ремонту индикатора.

6. Нельзя допускать попадания на индикатор эмульсии и масла.

ХОД РАБОТЫ

1. Измерить длину испытуемого стержня линейкой, после чего поместить в пробирку с водой, имеющей комнатную температуру. Записать комнатную температуру

2. Поместить пробирку с испытуемым стержнем в прибор так, что бы углубление в торце стержня находилось вверху.

3. Измерительный стержень индикатора часового типа привести в соприкосновение с углублением в торце испытуемого стержня с небольшим натягом и установить индикатор на нуль.

4. Включить нагревательный элемент прибора в сеть переменного тока напряжением 220 В.

5. По формуле (1) определить термический коэффициент линейного расширения испытуемого стержня и сравнить полученный результат с табличным.

_,

где температура кипения воды 100 ^оС, комнатная температура.

Измерить термический коэффициент линейного расширения двух различных стержней, предварительно охлаждая рабочий объем прибора до комнатной температуры. Рассчитать ошибку измерения, ответ записать в виде:

Вопросы к зачету по лабораторной работе №3.

1. Твердое тело.

2. Кристаллы.

3. Пространственные решетки кристаллов.

4. Поликристаллы.

5. Металлы, их строение и свойства.

6. Классическая теория теплоемкости кристаллов.

7. Тепловое расширение твердых тел.

8. Отличительные черты кристаллического состояния.

9. Дефекты в кристаллах.

ЛИТЕРАТУРА

1. А.К. Кикоин, И.К. Кикоин «Молекулярная физика», М. Наука",1976г. 476с.

2. В.В. Телеснин «Молекулярная физика» М-1973 г.

3. Матвеев А.Н. «Молекулярная физика» М.: В.Ш., 1983. – 400 с.

4. Д.В. Сивухин «Общий курс физики» Т.2.-М:. ФИЗМАТЛИТ 2004 -656 с.

5. Гершензон Е.М., Малов Н.Н., Мансуров А.М. “Молекулярная физика” М:. Академия 2000г.

6. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. - М.: Наука, 1999г.

7. Яворский Б.М., Детлаф А.А., Лебедев А.К. Справочник по физике. – М.: 2006г.

Таблица 1.

Коэффициент линейного расширения твёрдых тел (для температур около 20⁰С)

Вещество	α 10^-6 К^-1		Вещество	α 10^-6 К^-1
Алмаз Алюминий Бронза Винипласт Висмут Вольфрам Гранит Дерево (вдоль волокон) Дерево (поперёк волокон) Дюралюминий Железо кованое Железо литое Золото Инвар (36,1% Ni) Иридий Кварц (плавленый) Кирпичная кладка Константан Латунь	0,91 22,9 17,5 13,4 4,3 8,3 2 – 6 50 – 60 22,6 11,9 10,2 14,5 0,9 6,5 0,5 5,5 18,9		Лёд (от -10⁰ до 0⁰С) Магний Медь Нейзильбер Никель Олово Платина Платино-иридневый сплав Свинец Сталь углеродистая Саль нержавеющая Стекло обычное Стекло пирекс Углерод (графит) Фарфор Цемент и бетон Цинк Чугун Эбонит	50,7 25,1 16,7 18,4 13,4 21,4 8,9 8,7 28,3 11,1 – 12,6 9,6 – 16 8,5 7,9 10 – 12

⇐ Предыдущая 1 23