Б. Ф. Ефимов, П. Г. Патохина использование алгоритмов в обучении математике // начальная школа, 1980. - №7. – с. 66-69

Важнейшее средство управления математи­ческой деятельностью — алгоритмы.

Как известно, в математике многие задачи решаются на основе определенных правил. Так, в I—III классах выполнение четырех арифметических действий, решение уравнений, неравенств, вычисление значения выражений, нахождение длины отрезка, периметра и пло­щади прямоугольника являются своего рода стандартизованными действиями, выполняемы­ми по определенному алгоритму.

Умение применять алгоритмы должно посто­янно совершенствоваться иавтоматизиро­ваться.

Обратимся к возможному методическому ре­шению ряда вопросов, связанных с использо­ванием алгоритмов при обучении математике в I—IIIклассах.

Существенным в методике обучения алго­ритмам являются вопросы обобщения, свертывания и переноса алгоритмов. Управление алгоритмической деятельностью будет осуществляться рационально, если обу­чающему известно, как строится эта деятель­ность.

Исследования психологов показывают, что обучение алгоритмической деятельности вна­чале предполагает развернутый ход рассуж­дений, переходы от одного шага к другому требуют размышления и обдумывания. Каж­дый шаг производится в результате глубо­кого осознавания, лежащего в основе теоре­тического положения, что позволяет понять весь алгоритм.

В процессе дальнейшего обучения структура рассуждения претерпевает следующие изме­нения. Во-первых, происходит объединение от­дельных звеньев в одно целостное действие, переходы от одного звена к другому соверша­ются все свободнее и легче. Во-вторых, обо­сновывающая часть рассуждения становится все менее развернутой, суждения учащихся все более лаконичными, выражающими самую суть того, что регулирует действия. Далее, процесс рассуждения максимально свертыва­ется, действия следуют друг за другом без размышления. При этом автоматизация умст­венных действий не означает сведения мыш­ления к навыку. В процессе решения новых задач, требующих применения знаний в новой обстановке, к измененному материалу, рас­суждение вновь приобретает развернутые формы.

Способность к свертыванию — один из ком­понентов математического мышления. Приобучении алгоритмам вопросу свертывания уделяется самое серьезное внимание. Необхо­димо целенаправленно управлять процессом свертывания переводя учащихся от одной ступени обобщения, способа действия к дру­гой. Система упражнений при этом строится так, чтобы осуществлялось постоянное взаи­модействие устного рассуждения и соответст­вующего письменного выражения последова­тельности действий.

В школьной практике в процессе обучения вычислительным операциям ина этапе авто­матизации навыков используется ограничен­ный круг способов задания алгоритмов (чаще всего алгоритм задается конкретным показом операций), что нередко приводит к формаль­ному усвоению вычислительных приемов.

С первых этапов усвоения алгоритмов не­обходимо учить детей переходить от одной формы задания их к другой. Это будет спо­собствовать осознанному усвоению вычисли­тельных приемов, переносу сформировавших­ся знаний, умений и навыков.

Рассмотрим пример переноса навыка умножения двузначного числа на однозначное вновые условия.

Уже на первых этапах работы над алго­ритмом следует показать различные формы за­дания его (конкретный показ операций — об­разец, последовательность команд — алгорит­мическое предписание, правило). И в каждом случае предоставить учащимся возможность найти результат нескольких примеров, поль­зуясь той или иной формой.

На этапе ознакомления с вычислительным приемом алгоритм задается конкретным по­казом операций. Дети усваивают разверну­тый образец рассуждения (устно) и соответ­ствующей системы действий. На этом же эта­пе можно предложить алгоритм, заданный по­следовательностью команд (в записи на доске или плакате):

1. Замени первый множитель суммой раз­рядных слагаемых.

2. Умножь каждое слагаемое на число.

3. Сложи полученные результаты.

На этапе частичного свертывания можно также использовать названные способы зада­ния алгоритма. Так, конкретный показ опера­ций будет выглядеть следующим образом: 24*2= (20 + 4) *2 = 48.

Частичное свертывание можно мотивиро­вать так: «Вы умеете быстро умножать сум­му на число, умножайте в уме так: 20 на 2, получится 40, 4 па 2, получится 8, 40 да 8, равняется 48, поэтому и в последовательности команд оставим два шага: замени множимое суммой разрядных слагаемых, умножь сумму на число». Шаги могут быть названы детьми и уточнены учителем. Свернутый алгоритм так же следует дать на плакате.

При изучении умножения однозначного чи­сла на двузначное большая часть работы мо­жет быть выполнена детьми самостоятельно.

Так, дети сами могут объяснить вычисли­тельный прием по образцу, по просьбе учите­ля наметить развернутый план решения, за­писать его, сверить с планом, записанным на плакате.

Вместе с учителем полезно выяснить, какие действия можно выполнить быстро, не распи­сывая, свернуть их в образце и в алгоритми­ческом предписании. И снова дети сами могут дать образец свернутой записи системы рас­суждений.

При изучении других концентров сформи­рованные знания, умения и навыки переносят­ся на новую область чисел.¹ Так, изучение умножения многозначного числа на однознач­ное начинается с переноса знания правила ум­ножения на число суммы двух слагаемых на случаи, когда сумма имеет три, четыре и бо­лее слагаемых.

Этот процесс переноса может быть осуще­ствлен следующим образом.

Учащимся предлагается вычислить значение выражения вида (9+7)*8, пользуясь предпи­санием: 1) умножь первое слагаемое на число; 2) умножь второе слагаемое на число; 3) сло­жи полученные результаты.

При помощи этого алгоритма дети вычи­сляют значение нескольких выражений. Затем им предлагается самостоятельно составить раз­вернутый алгоритм для решения примеров ви­да (4+5+6)*3, вычислить с помощью его значение ряда выражений и проверить, воз­можно ли* так же вычислять значения выра­жения, имеющего три, четыре, пять слагаемых. И наконец, как обобщение описанной рабо­ты может быть составлен свернутый алгоритм умножения суммы на число для любого числа слагаемых:

1. Умножь каждое слагаемое на число.

2. Сложи полученные результаты.

От алгоритмического предписания (последо­вательности команд) можно перейти к пра­вилу: «Чтобы умножить сумму на число, мож­но каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить». Далее формируется умение применять это правило при вычислении значения соответствующих вы­ражений.

Позже воспроизводится алгоритм умноже­ния двузначного числа на однозначное, он за­писывается последовательностью команд:

1. Замени первый множитель суммой раз­рядных слагаемых.

2. Умножь эту сумму на число.

Детям предлагается попытаться найти результат таким же путем, умножая, например, 243 на 2. В процессе решения учащиеся вы­ясняют, что знакомый им алгоритм применим к решению примеров новой области чисел. И снова как обобщение работы над алгорит­мом учащимся называется правило умножения любого числа на однозначное число и закреп­ляется в системе упражнений.

На этапе обобщения правила умножения суммы на число включаются задания, тре­бующие поиска рационального алгоритма вы­числения. Так, полезны задания вида:

(6+4)*3

(8+7+5)*4

(16+14)*3

В данных случаях учащиеся должны заме­тить, что сначала удобнее вычислить сумму слагаемых, а затем умножить ее на число. Подобные упражнения предупреждают фор­мальное применение правила, формируют уме­ние выбирать более рациональные способы вычислений.

Аналогично осуществляется работа с дру­гими алгоритмами арифметических действий.

Наряду с переносом усвоенных алгоритмов на новую область чисел широко используются на этапе обобщения работы над алгоритмами упражнения в применении различных алго­ритмов к одной и той же паре чисел. При этом учащиеся сами могут осуществить пере­нос на основе имеющихся знаний, умений и навыков или осуществить его с помощью учи­теля. Например, учащиеся III класса, решая пример 48-15, могут применить различные ал­горитмы. Чаще всего первыми они называют алгоритм, основанный на правиле умножения числа на сумму: 48*(10+5) = 48*10 + 48*5= 480+240=720. Учитель может предложить детям составить алгоритм, заданный последо­вательностью команд: 1) замени второй множи­тель суммой разрядных слагаемых; 2) умножь число на сумму. Далее вместе с учителем они выясняют возможность применения при вы­числениях правила умножения числа на произ­ведение и составляют соответствующее алго­ритмическое предписание.

Аналогично обнаруживается применимость правила умножения суммы на число. Обоб­щая выполненную работу, следует подчер­кнуть разнообразие алгоритмов действий, сравнить их, выявить рациональный. В дан­ном случае учащиеся способны сами воспро­извести и применить различные алгоритмы, так как с каждым из них они знакомы, зна­ют теоретические положения, лежащие в ос­нове вычислительных приемов, владеют уме­нием применять алгоритмы при вычислении значения выражений.

Обучение переносу алгоритмов возможно не только при изучении арифметических дейст­вий, но и при изучении равенств и неравенств. Так, уже с I класса учитель может управлять процессом сравнения чисел с помощью сле­дующего алгоритма:

5...7

1. Назови числа, которые нужно сравнить.

2. Назови число, которое при счете встре­чается раньше.

3. Назови число, которое при счете встре­чается позже.

Если одно число при счете встречается раньше другого, то оно меньше его.

4. Поставь нужный знак.

В I классе, пока еще дети не научились хо­рошо читать, последовательность шагов на­зывает учитель.

Выполняя действия по алгоритму, учащиеся накапливают опыт соответствующей работы, который в будущем они могут активно исполь­зовать при усвоении новых алгоритмов, а так­же при выполнении заданий, направленных на формирование наблюдательности и разви­тие интуиции. Так, вышеуказанный алгоритм позже включается как автоматическая опера­ция при выполнении заданий на сравнение двух выражений (56—30...59—-30, 27+30...25+ +30), а также неравенств при проверке ре­шения уравнения, при сравнении числа и вы­ражения (8...8+9, 96—6...90 и др.). Выполне­ние этих упражнений требует определенных рассуждений, что развивает у детей самостоя­тельность мышления при усвоении теоретиче­ских положений, лежащих в основе выполне­ния заданий.

Алгоритмы сравнения выражений на осно­ве вычисления значений сравниваемых выра­жений могут быть заданы в форме выполне­ния действий по образцу.

Образец

6+4...6+3 7—2...7+1

6+4=10

6+3=9

10>9

6+4>6+3

Далее алгоритм задается последовательно­стью команд, развернуто указывающих спо­соб сравнения. От него переходят к частично свернутому и применимому к большей обла­сти выражений:

1. Прочитай выражения, которые нужно сравнить.

2. Вычисли значение каждого выражения.

3. Сравни значения выражений.

4. Поставь нужный знак.

Позже вторая и третья операции могут быть заменены одной — сравни выражения. Такая последовательность задания алгоритма сравнения выражений позволяет управлять процессом свертывания рассуждения и соот­ветствующей системой действий. Отметим, что сравнение выражений приведенных выше ви­дов в дальнейшем может осуществляться и иначе — на основе интуитивного понимания того факта, что когда к равным числам при­бавляются (из них вычитаются) неравные, то сумма будет больше в том случае, когда при­бавлялось большее число, и т. п.

Алгоритмы сразнения чисел и выражений включаются в новые алгоритмы решения не­равенств и в большинстве случаев выполняют­ся в них как автоматические операции.

Приведем примеры алгоритмов, заданных последовательностью команд: а... 5

1. Прочитай выражение.

2. Подставь вместо а числа, начиная с еди­ницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

3. Запиши, при каких значениях буквы а неравенство верно: а+18<24

1. Прочитай неравенство.

2. Подставь вместо а числа, начиная с еди­ницы: 1, 2, 3 и т. д.

3. Вычисли значение полученных выраже­ний.

4. Сравни их с заданным числом.

5. Запиши те значения буквы а, при кото­рых верно равенство.

Методически свертывание, преобразование, перенос алгоритмов решения неравенств осу­ществляется так же, как и в работе над алго­ритмами арифметических действий.

Работа над равенствами, неравенствами, уравнениями предполагает довольно высокий уровень обобщения знаний, умений и навыков, поэтому большая часть работы выполняется под руководством учителя. Однако следует использовать все возможности для самостоя­тельного составления, преобразования и пере­носа алгоритмов.

Эффективность обучения алгоритмам в зна­чительной степени зависит от соблюдения сле­дующих, выделенных психологами условий.

Первое условие — правильное соотно­шение упражнений по закреплению алгоритма как целостного действия и выделения входя­щих в него частных действий. При формиро­вании алгоритмических способов деятельности необходимо учитывать одно и другое. Сведе­ние упражнений к закреплению отдельных ча­стных действий может привести к затруднению применения алгоритма в целом.

Это условие предупреждает от длительной задержки на стадии развернутого действия. Не следует увлекаться максимально развер­нутыми алгоритмами долгое время. Как толь­ко учащиеся запомнят и осознают каждый шаг действия, необходимо переходить к свертыванию процесса рассуждения и соответствую­щей системе действий.

Однако вредным может оказаться исклю­чительно целостное выполнение сложного дей­ствия, без специального закрепления частных действий.

Многочисленные ошибки учащиеся допуска­ют при вычислении значения выражения. При­чиной является исключительно целостное вы­полнение действия. Чаще всего задания по вы­числению значения выражений предъявляют­ся учащимся с указанием «Вычисли резуль­тат». На стадии первичного ознакомления с алгоритмами вычисления значения выражений отрабатывается каждая операция, составляю­щая его. При этом для каждой операции мо­жет быть предложен свой алгоритм. Напри­мер, «Прочитай выражение» — необходимый шаг любого алгоритма по преобразованию вы­ражений — может быть задан следующим об­разом:

1. Установи, какое действие выполняется последним.

2. Вспомни, как называются компоненты при выполнении этого действия.

3. Прочитай, чем выражены эти компоненты.

4. Прочитай все выражение.

Шаг «Вычисли значение выражения» так­же является самостоятельным алгоритмом, со­стоящим из нескольких:

1. Если в выражении без скобок указаны действия сложения и вычитания (или только умножения и деления), выполни действия в том порядке, как они записаны. Если нет, переходи к следующему шагу.

2. Если в выражении без скобок указаны действия сложения, вычитания, умножения и деления, выполни сначала действия умножения и деления в том порядке, как они записаны.

3. Если в выражении есть скобки, то сна­чала выполни действия в скобках.

4. Назови значение выражения.

В процессе обучения вычислению значения выражений на начальном этапе отрабатывает­ся каждый прием как развернутое действие. При этом предлагается соответствующий ал­горитм в различной форме. Постепенно отра­ботанные алгоритмы включаются в новый ал­горитм как элементарные операции и выпол­няются автоматически. Развернутым становит­ся вновь изучаемый алгоритм. В процессе преобразования одного алгоритма в другой максимально используется самостоятельность детей, им предоставляется возможность самим свернуть алгоритм или преобразовать его в связи с новой областью применения.

В обобщенном виде алгоритм вычисления значения выражения может быть представлен так:

1. Прочитай выражение.

2. Установи порядок действий.

3. Выполни вычисления.

4. Назови значение выражения.

В данном случае предполагается, что уча­щиеся овладели операциями настолько, что способны выполнить многие из них как эле­ментарные. Но следует помнить, что понятие «элементарная операция», выполняемая как целостное действие, относительно. В одном случае операция элементарная, в другом — не элементарная. Все зависит от этапа обуче­ния и наличия у ученика определенных зна­ний, умений и навыков. Так, в приведенном выше примере элементарность второй и тре­тьей операций зависит от вида числового выражения, значение которого нужно опреде­лить и подготовленностью детей.

Если в алгоритме некоторые учащиеся не выполняют какую-нибудь операцию как эле­ментарную, то ее нужно отработать, вычленив из данного алгоритма, вернуть учащихся на стадию развернутого действия. При этом не следует задавать операцию в развернутом ви­де в данном алгоритме, так как излишнее дробление ее затрудняет усвоение алгоритма в целом. Когда же учащиеся усвоят способ действия в рамках этой операции и смогут выполнить ее как целостное действие, можно вернуться к алгоритму в общем виде.

Второе условие — правильное соотно­шение осмысленных и автоматизированных действий в процессе формирования способов алгоритмической деятельности. Но когда соз­нание ученика направляется к достижению новой цели, также требующей приложения сил, первое действие из «главного» переходит в роль подсобного и постепенно перестает от­влекать внимание от новой цели, т. е. автома­тизироваться. Так, при овладении умением чи­тать математические выражения каждый шаг соответствующего алгоритма выполняется осо­знанно, но когда учащиеся овладеют уме­нием читать выражения, то эта операция уже не осознается ими и выполняется автоматизи­рование Сознание же направлено на овла­дение приемами вычисления значений выра­жений. Таким образом, то, что было целью данного действия, должно превратиться в спо­соб выполнения этого действия, которого тре­бует новая цель.

Третье условие — правильное соотно­шение количества упражнений, служащих це­ли закрепления алгоритма.

Психологи утверждают, что на первых эта­пах закрепления алгоритма требуется боль­шое количество упражнений, на последующих количество упражнений должно постепенно уменьшаться. При этом не следует перенасы­щать учащихся выполнением упражнений на этапе первичного закрепления, но и не растя­гивать эти упражнения на длительный пери­од.

Итак, с помощью алгоритмов учащиеся бы­стрее и легче усваивают логическую последо­вательность выполнения действий. Опыт, фор­мирующийся в процессе построения и преоб­разования алгоритмов, они впоследствии ис­пользуют при изучении новых теоретических вопросов и построении новых алгоритмов.

Обучение алгоритмам — важнейшее средст­во развития математического мышления: ус­ваивая алгоритмы, осуществляя перенос ях в новые условия, дети учатся всесторонне ана­лизировать математический материал, синте­зировать и обобл1ать его по существенным признакам; в процессе алгоритмической дея­тельности формируются умения осуществлять переход от развернутых математических рас­суждений к свернутым и обратно, от одного способа действия к другому, с прямого хода мысли на обратный.

Применение алгоритмов в обучении способ­ствует развитию культуры устной и письмен­ной математической речи, характеризующейся точностью, лаконичностью, последовательно­стью. Использование алгоритмов позволяет увеличивать объем самостоятельной работы и возможности индивидуализации обучения.

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: