 |
Математические модели операций.
|
|
|
|
Как уже говорилось выше под математическими моделями операции будем понимать всякие формальные соотношения, устанавливающие количественную связь между управляемыми переменными xÎX (yÎY), неуправляемыми в ходе операции факторами, технологическими параметрами и т.п. элементов, систем и устройств, используемых в операции, неконтролируемыми факторами Z и показателем (показателями) эффективности операции W, характеризующим ее результат. Т.е.
 |
x, y Z W (a, x, y, z)
Для построения математической модели операция упрощается, схематизируется и описывается с помощью того или иного математического аппарата.
В самых простых случаях операция описывается простыми алгебраическими уравнениями. В более сложных, когда требуется рассматривать явление в динамике применяется аппарат дифференциальных уравнений. Такие модели называются детерминированными. В них ход операции определяется как в настоящем, так и в будущем. Такие модели широко используются при планировании перевозок, в теории расписаний, распределении ресурсов и т.д.
В случаях, когда при описании хода операции необходимо учитывать влияние случайных факторов, оценивать результаты операции с учетом вероятности тех или иных событий используют вероятностные модели.
К ним относятся модели массового обслуживания, описывающие операцию как потоки обслуживания случайных требований в исследуемой системе. Кроме того вероятностные модели широко применяются при описании военных операций и т.п.
В наиболее сложных случаях, когда развитие операции и ее исход зависят от большого числа сложно переплетающихся между собой факторов, часть из которых случайна и аналитические методы исследования вообще отказываются служить, широкое применение находит метод имитационного моделирования, суть которого заключается в следующем. Процесс развития операции с учетом всех случайных факторов (подлежащих учету) воспроизводится (моделируется) на ЭВМ. В результате получается одна “реализация” случайного протекания операции со случайным ее исходом. При многократном повторении хода операции, за счет ее случайности получим множество различных реализаций, обработав которые как обычный статистический материал можно найти средние арифметические процесса, получить представление как в среднем влияют на результат операции те или другие характеристики и управляющие переменные. Такие модели часто называют имитационными.
|
|
|
Особо необходимо выделить так называемые игровые модели. Они позволяют описывать и изучать операции, в которых каждая из сторон, участвующих в операции (игре) придерживается своих целей, стараясь, по возможности, получить информацию о поведении противника, которое заранее не известно, извлечь выгоду из его ошибок и т.п. примером такой операции является игра двух сторон (игроков), в которой интересы каждого из игроков прямо противоположны, набор возможных решений сторон известен, информация о поведении противоположной стороны отсутствует (т.к. игра с 0-ой суммой).
Изучением таких операций занимается специальный раздел ИО – теория игр.
При разработке модель должна отвечать ряду общих требований.
Модель должна быть адекватной, т.е. несмотря на некоторые неточности отображения исследуемой операции (системы) способна обеспечить достаточно хорошее совпадение результатов, полученных с помощью модели с результатами, которые были бы получены при тех же исходных данных на реальной системе, что позволяет быть достаточно уверенным в правильности определения результатов операции в других условиях. Это дает возможность использования рекомендаций, выработанных на основе применения математических моделей. Вопрос оценки адекватности модели достаточно сложен, особенно в случаях, когда нельзя сравнить результаты счета модели с работой реальной системы (например, в виду отсутствия таковой).
|
|
|
1. Математическая модель с одной стороны должна учитывать все существенные факторы, влияющие на ход операции, но с другой стороны, быть по возможности простой, не “засоренной” массой мелких деталей (второстепенных), которые лишь усложняют исследования и затрудняют выявление основных закономерностей, делая подчас их применение для анализа операций практически невозможным.
2. Модель должна быть чувствительной к изменениям параметров операции (системы), что позволяет использовать ее для исследования их влияния на найденные решения.
3. Кроме того точность (детальность) модели должна быть соизмерима с точностью информации о значениях параметров a и z, которой мы располагаем. В противном случае мы можем получать недостоверные результаты даже при казалось бы чрезвычайно подробной, детальной модели.
Разновидность задач ИО.
Все задачи ИО можно условно разбить на две категории: прямые и обратные.
Прямые задачи отвечают на вопрос “что будет, если в заданных условиях будет принято какое-то конкретное решение x*ÎX. В частности – при заданном решении x* и заданных детерминированных значениях неуправляемых факторов а чему будет равен выбранный показатель эффективности операции W(a, x*) или ряд показателей при векторном критерии эффективности
W = W(a, x*)”.
(значения не учитываемых факторов y, z в дальнейшем будем опускать, чтобы не загромождать запись).
Для ответа на этот вопрос необходимо построить математическую модель операции, позволяющую выразить один или несколько показателей эффективности W через заданные условия а и элементы решения x.
В общим случае решение таких задач достаточно просто. Однако, в ряде случаев, (например, в задачах массового обслуживания, при анализе операций с большим числом взаимосвязанных факторов их решение весьма сложно и требует разработки специальных методов и приемов.
|
|
|
Обратные задачи отвечают на вопрос – какое необходимо выбрать решение xÎX (оптимальное или рациональное) для того, чтобы обеспечить при этом наилучшее значение показателя эффективности W.
В случае скалярного критерия эффективности W под наилучшим будем понимать максимальное значение показателя. Тогда обратная задача ИО может быть записана следующим образом:
При заданном комплексе условий а найти такое решение
x = x° (xÎX),
которое обращает показатель эффективности операции W в максимум
W° (x°) = мах W(a, x)
 |
W (a, x) xÎX
 |
x1
Случай минимизации показателя W, обуславливаемый его физическим смыслом (например, расходы на создание системы) сводится к задаче максимизации изменением знака показателя на противоположный.
Если число возможных вариантов решения, образующих множество X невелико, то для поиска оптимального решения необходимо, для каждого из возможных значений xÎX, решая прямую задачу определить значение показателя W. Сравнив их между собой, можно указать одно или несколько решений, при которых W достигает максимума. Такой способ называется простым перебором.
В случае, если множество возможных вариантов решения X велико, то поиск среди них оптимального простым перебором бывает весьма затруднителен, а подчас просто невозможен. Поэтому в этих случаях применяют, так называемый, метод направленного перебора, заключающийся в том, что оптимальное, или близкое к нему решение находится в результате ряда специальным образом организованных шагов, в результате которых каждое из последующих решений приближает нас к искомому оптимальному.
С формальной точки зрения задачи поиска оптимального решения (в случае скалярного показателя W) относятся к классу задач математического программирования. Термин программирование от английского programming – составление плана или программы действий, здесь следует понимать в смысле “поиска наилучших планов”, а не в смысле разработки программного обеспечения для ЭВМ.
В случае векторного критерия эффективности при решении обратной задачи под наилучшим (рациональным) обычно понимается решение, обеспечивающее либо максимальное (минимальное) значение некоторого обобщенного (скалярного) показателя U, который представляет собой результат формализованной или неформализованной свертки векторного критерия
|
|
|
мax U = U(W),
либо решения (одно из решений), отвечающее условию, что нельзя найти другое решение, позволяющее улучшить любой из показателей Wi (i = 1,к) не ухудшая при этом значения других показателей Wx (x¹i) (хотя бы одно из них).
Такие решения называются эффективными или паретовскими (xпÎXп).
В первом случае основная проблема заключается в построении обобщенного показателя, отвечающего цели операции и учитывающего противоречивость частных показателей. Например, U = SaiWin£ ai £1 Sai = 1 i = 1,k W =
i i
W1\W2. Эффективность растет, стоимость падает.
Поиск решения при выбранной формализованной функции свертки
U(W)
аналогичен поиску оптимального решения по скалярному критерию эффективности.
Во втором случае выбор (поиск) всех эффективных решений xпÎXп может быть осуществлен либо путем прямого перебора всех возможных решений xÎX (если оно конечно) с процедурой сравнения показателей
 |
W(x).
Если множество X бесконечно или велико, и прямой перебор невозможен, то целесообразно выработать некоторое правило, по которому можно осуществлять целенаправленный поиск только, по крайней мере, части точек xÎXп (например, переходя от непрерывного множества значений x к дискретному с некоторым шагом Dx), исключая при этом из рассмотрения заведомо неперспективные точки.
Например. При двух показателях эффективности W1(x) и W2(x) множеству всех xÎX можно поставить в соответствие множество точек W на плоскости W1 o W2
 |
 |  |  | |||
W2(x)
 | |||
 | |||
W1лев W1зад W1прав W1(x)
Множеству решений xÎXп будут соответствовать точки на кривой W (не обязательно непрерывной) ограничивающей множество W сверху, справа.
 | |||
 | |||
UB
 |
UA max UA
W = a UA + (1- a) UB
UB = a* UA /(1-a)
UA - объект производства предприятия А (средства производства)
UB - объект производства предприятия В (средства потребления)
 |
UB = К* UА
 |
 | |||
 | |||
UА
 |
 |
UB
 |
UА = UА (х)
UВ = UВ (х)
Х- сектор
1) W = a UA + (1- a) UB
2) Парето оптимальные
 |  |  | |||
 |
и из них выбираются
(max UA при UВ ³ UВ зад (1)
|
|
|
max W(a) 0 £ a £ 1 (2))
3) U = U (w1, w2) -
Тогда задачу поиска xÎXп можно свести к задаче нахождения
махW2(x)
xÎX
при условии, что W1 (x)³W1зад.
Варьируя значение W1зад в интервале [W1лев., W1прав.] получим множество точек xÎXп.
Очевидно, что найденные таким образом точки будут представлять не все множество Xп, а лишь его часть. Это определяестся, в частности, тем, с какой частотой задаются значения W1зад на интервале [W1лев., W1прав].
Упорядочивание (ранжирование) альтернатив – экспертн. оценки.
Таким образом задача поиска рационального решения при векторном критерии эффективности в ряде случаев также сводится к необходимости решения задачи (или совокупности задач) математического программирования.
Следует подчеркнуть, что выбор наилучшего решения среди множества xÎXп производится ЛПР. Остановимся несколько подробнее на их постановке и методах решения.
Литература.
1. Вентцель. Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – М.: Наука 1980 – 208с.
2. Дектярев Ю.И. Исследование операций. Учебник по спец. АСУ М. Вш. 1986 320с.
3. Таха Х. Введение в исследование операций в 2-х книгах. М. Мир, 1985, 496с.
4. Гермейер Ю.Б. Введение в историю исследования операций. М. Наука 1971,383с.
5. Разумов И.М., Белова Л.Д., Ипатов М.И., Проскуряков А.В. Сетевые графики в планировании. учебное пособие. М. Вш, 1975, 215с.
6. Голенко Д.И. Статистические методы сетевого планирования и управления. М. Наука, 1968.
|
|
|
