 |
Визуализация вычисления определенных интегралов
|
|
|
|
Визуализация вычисления определенных интегралов
Часто возникает необходимость в геометрическом представлении определенных интегралов в виде алгебраической суммы площадей, ограниченных кривой подынтегральной функции f(x), осью абсцисс х и вертикалями х =а их =b (пределами интегрирования). При этом желательно обеспечение закраски верхней и нижней (отрицательной и положительной) площадей разными цветами, например зеленым для верхней площади и красным для нижней. Как известно, численное значение определенного интеграла есть разность этих площадей.
К сожалению, в Maple 7 нет встроенной функции, явно дающей такое построение. Однако ее несложно создать. На рис. 12.41 представлена процедура a_plot, решающая эту задачу. Параметрами процедуры являются интегрируемая функция/(д:) (заданная как функция пользователя), пределы интегрирования а и b и пределы слева am и справа bm, задающие область построения графика f(x).
Рисунок 12.41 дает прекрасное представление о сущности интегрирования для определенного интеграла. Приведенную на этом рисунке процедуру можно использовать для подготовки Эффектных уроков по интегрированию разных функций.
Рис. 12.41. Графическое представление определенного интеграла
Gif
Визуализация теоремы Пифагора
Визуализация теоремы Пифагора
Еще один пример наглядного геометрического представления математических понятий — визуализация известной теоремы Пифагора (рис. 12.42).
В этом примере используется функция построения многоугольников. Наглядность построений усиливается выбором разной цветовой окраски треугольников и квадрата.
Рис. 12.42. Графическая иллюстрация к теореме Пифагора
Gif
|
|
|
Визуализация дифференциальных параметров кривых
Визуализация дифференциальных параметров кривых
Дифференциальные параметры функции f(x), описывающей некоторую кривую, имеют большое значение для анализа ее особых точек и областей существования. Так, точки с нулевой первой производной задают области, где кривая нарастает (первая производная положительна) или убывает (первая производная отрицательна) с ростом аргументах. Нули второй производной задают точки перегиба кривой.
Следующая графическая процедура служит для визуализации поведения кривой /, = /(.г) на отрезке изменениях от а до b:
В этой процедуре заданы следующие цвета (их можно изменить): Таблица 12.1. Цвета при визуализации в процедуре shape_plot
| Изменение /(х) | Цвет |
| Возрастание | Синий |
| Убывание | Красный |
| Площадь | Цвет |
| Над минимумом | Зеленый |
| Под максимумом | Коралловый |
Например, для функции:
построенный график будет иметь вид, представленный на рис. 12.43 (естественно, в книге цвета — лишь оттенки серого).
Рисунок 12.43 дает наглядное представление о поведении заданной функции. Рекомендуется опробовать данную процедуру на других функциях. Следует отметить, что, поскольку процедура использует функции ntiroimize и maximize, она может давать сбои при исследовании сложных функций, содержащих специальные математические функции или особенности. Иногда можно избежать такой ситуации, исключив особенность. Например, для анализа функции sin(x)/x можно записать ее в виде:
>f:=x->if x=0 then 1 else sin(x)/x
end if;
shape_plot(f(x),-10,10);
Исполнение приведенной выше строки ввода дает график, представленный на рис. 12.44.
Рис. 12.43. Визуализация поведения функции f(х)
Рис. 12.44. Визуализация поведения функции sin(x)/x
Данная процедура дает хорошие результаты при анализе функций, представленных полиномами. Вы можете сами убедиться в этом.
Gif
Gif
Gif
Gif
35. Иллюстрация итерационного решения уравнения f(x) = x
|
|
|
Иллюстрация итерационного решения уравнения f (х) = х
Классическим методом решения нелинейных уравнений является сведение их к виду х =f(x) и применение метода простых итераций xk =s(xk-1) при заданном значениих0. Приведем пример такого решения:
>f:=x ->3*1n(x+l);
f:=x-> 3ln(x+1)
>x||0:= 0.5:
x0:=5
>x0:=.5;
x0:=.5
>for k from 1 to 16 do x||k:= evalf(f(x||(k-l))): od;
xl:= 1.216395324
x2:= 2.387646445
x3:= 3.660406248
x4:= 4.617307866
x5:= 5.177557566
x6:= 5.462768931
x7:= 5.598173559
x8:= 5.660378631
x9:= 5.688529002
xl0:= 5.701181910
x11:= 5.706851745
x12:= 5.709388956
x13:= 5.710523646
x14 — 5.711030964
xl5:= 5.711257755
x16:= 5.711359134
Нетрудно заметить, что значения xk в ходе итераций явно сходятся к некоторому значению. Проведем проверку решения, используя встроенную функцию solve:
Результат выглядит необычно — помимо довольно "очевидного корнях x= 0 значение другого корня получено в виде специальной функции Ламберта. Впрочем, нетрудно найти и его численное значение:
> evalf(%);
0., 5.711441084
Однако как сделать процесс решения достаточно наглядным? Обычно для этого строят графики двух зависимостей — прямой х и кривой f(x) — и наносят на них ступенчатую линию перемещения точки xk. Специальной функции для графиков подобного рода Maple 7 не имеет. Однако можно составить специальную процедуру для их построения.Ее листинг, заимствованный из примера, описанного в пакете обучения системе Maple 7 - PowerTools, представлен ниже:
Параметрами этой процедуры являются: f1 — функция f(x); а и b — пределы изменениях при построении графика; х0 — значение х, с которого начинаются итерации. Исполнив команду:
>rec_p1ot(f(x), 0, 8, х0):
можно наблюдать график, иллюстрирующий итерационный процесс. Он представлен на рис. 12.45.
Рис. 12.45. Иллюстрация процесса итераций
Нетрудно заметить, что для данной функции процесс итераций хотя и не очень быстро, но уверенно сходится к точке пересечения прямой у = х и кривой y=f(x). Вы можете, меняя зависимость f(x), провести исследования сходимости уравнений х = f(x).
Gif
Gif
Gif
|
|
|
