Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Метод поділу відрізка навпіл

Лабораторна робота №2

Тема: Чисельні методи розв’язання нелінійних рівнянь з однією змінною.

Мета: Вивчити можливості табличних процесорів MS Excel для розв’язання нелінійних рівнянь з однією змінною, використовуючи чисельні методи.

Завдання:

1. Вивчити інтервали ізоляції коренів рівняння.

2. Уточнити один з дійсних коренів рівняння, використовуючи:

· Метод ділення відрізку навпіл;

· Метод хорд;

· Метод дотичних;

· Вбудований інструмент електронних таблиць «Подбор параметра».

3. Порівняти отримані результати та зробити висновки.

Метод поділу відрізка навпіл

Метод поділу відрізка пополам (або метод дихотомії) застосовний для уточнення кореня рівняння f(x) =0 з наперед заданою точністю.

Нехай на проміжку [ а; b ]функція f(x) неперервна і набуває на кінцях проміжку значень різних знаків, тобто f (а) • f (b) < 0. Це означає, що на [ а; b ] рівняння f(x)=0 має принаймні один корінь. Цей корінь можна визначити з наперед заданою точністю методом поділу відрізка пополам.

Суть методу полягає в тому, що відрізок, на якому міститься корінь, поступово звужують, зменшуючи його щоразу вдвоє, поки не досягнуть потрібної точності визначення кореня.

Позначимо лівий кінець відрізка, на яко-

мал.1

му міститься корінь, буквою u₀ (а = u₀), правий – буквою v₀ (b = v₀) і знайдемо середину цього відрізка: с = .Оскільки (за умовою) f(u₀)f(v₀) <0, то f(a)f(с) >0, або f(с)f(в) <0, або f(с) = 0. Якщо f(с)= 0, то корінь х* = с (мал. 1).

Зрозуміло, що у випадку f(a)f(с) >0 корінь міститься на відрізку [ c; v₀ ]. У випадку f(а)f(c) < 0 корінь міститься на відрізку [ u₀; c ].

Якщо довжина відрізка, на якому міститься корінь, не перевищує заданої величини , то це означає, що х* знайдено з точністю до , бо

| с - х *| с - u₀.

Якщо заданої точності ще не досягнуто, то, позначивши с через u₀ у випадку f(a)f(с) >0 або через v₀ у випадку f(а)f(с) <0, знову знаходимо середину відрізку [ u₀; v₀ ] і повторюємо обчислення.

Переконатися в тому, що потрібна точність при обчисленні кореня х* уже досягнута, можна й іншим способом. Якщо на деякому відрізку [ а; b ] функція f(х) диференційована і 0‹ m | f’(x) | (у цьому випадку на [ а; b ] міститься єдиний корінь рівняння f(х) =0) і якщо , (1)

то можна вважати, що х – наближене значення кореня х* з точністю до .

Дійсно, за теоремою про середнє маємо:

| f(x)-f(х*) |=|(x - х*) | (x ‹ ‹ х*, або х* ‹ ‹ х).

Враховуючи, що f (х*)=0, дістанемо:

| x - х* |= , де m .

Умову (1) можна використати для перевірки близькості х до х*, якщо х знайдено будь-яким способом, а не тільки методом ділення відрізку пополам.

Зауважимо, що близькість до нуля f(х) не означає близькості х до х* (мал.2).

Послідовність наближень, знайдених методом поділу проміжку пополам, збігається до кореня х * рівняння f(х) =0, причому щоразу маємо для х* оцінки знизу і зверху: и₀ ≤ х* ≤ v₀.

При обчисленні значень f(х) достатньо мати одну-дві правильні значущі цифри, оскільки нас цікавить лише знак f(х) при даному х.

МЕТОД ХОРД

Метод хорд — один з поширених ітераційних методів. Його ще називають методом лінійного інтерполювання, методом пропорційних частин, або методом хибного положення.

Нехай задано рівняння , де на відрізку має неперервні похідні першого й другого порядків, які зберігають сталі знаки на цьому відрізку, і , тобто корінь рівняння відокремлений на .

Ідея методу хорд в тому, що на досить малому відрізку дуга кривої замінюється хордою і абсциса точки перетину хорди з віссю є наближеним значенням кореня.

а б

в г

рис.1

Нехай для визначеності , , , (рис. 1, а). Візьмемо за початкове наближення шуканого кореня значення . Через точки і проведемо хорду і за перше наближення кореня візьмемо абсцису точки перетину хорди з віссю . Тепер наближене значення кореня можна уточнити, якщо застосувати метод хорд до відрізка . Абсциса точки перетину хорди буде другим наближенням кореня. Продовжуючи цей процес необмежено, дістанемо послідовність наближених значень кореня даного рівняння.

Для виведення формули методу хорд запишемо рівняння прямої, що проходить через точки і :

Поклавши , знайдемо абсцису точки перетину хорди з віссю : .

Значення можна взяти за наступне наближення, тобто

, тобто = 0,1,2,....

У цьому разі і тоді, коли , , , (рис. 1, б) кінець відрізка є нерухомим.

Якщо , , , (рис. 1, в), або , , , (рис. 1, г), аналогічно можна записати формулу:

, тобто = 0,1,2,....

У цьому випадку точка є нерухомим кінцем відрізка .

У загальному випадку нерухомим буде той кінець відрізка ізоляції кореня, в якому знак функції збігається із знаком другої похідної, а за початкове наближення можна взяти точку відрізка , в якій .

Отже, метод хорд можна записати так:

, тобто = 0,1,2,.... (1)

де

З формули (1) видно, що метод хорд є методом ітерацій , в якому

(2)

Зауважимо, що рівняння

на відрізку рівносильне рівнянню .

Достатні умови збіжності методу хорд дає така теорема.

Метод дотичних

Нехай рівняння f(x) = 0 на відрізку [a;b] має ізольований корінь x^*, тобто f(a)f(b) < 0, а функції f(x) і f´(x) неперервні і зберігають знак на [a;b].

Нехай x_k – k-е наближення кореня. Розкладемо f(x) в ряд Тейлора в околі точки x_k

f(x) = f(x_k) + f´(x_k)(x-x_k) + f´´(x_k)(x-x_k)² + …

Замість рівняння f(x) = 0 розглядатимемо рівняння f(x_k) + f´(x_k)(x-x_k) = 0, яке враховує тільки лінійну відносно x - x_k частину ряду Тейлора. Розв’язавши його відносно x, дістанемо .

Взявши знайдене значення x за наступне наближення, матимемо

x_k₊₁ = x_k - , k = 0, 1, 2, …. (1)

Формула (1) визначає метод Ньютона. Він має просту геометричну інтерпретацію. Значення x_k₊₁ є абсцисою точки перетину дотичної

y–f(x_k) = f´(x_k)(x - x_k) до кривої y = f(x) в точці (x_k, f(x_k)) (мал. 1). Тому метод Ньютона називають ще методом дотичних. З малюнка видно, що послідовні наближення збігаються до кореня x^* монотонно.

Мал. 1 ілюструє такі випадки: а) f´´(x) > 0, f´(x) > 0; б) f´´(x) > 0, f´(x) < 0; в) f´´(x) < 0, f´(x) > 0; г) f´´(x) < 0, f´(x) < 0.

За початкове наближення у методі Ньютона слід брати точку x₀ [a;b], в якій f(x₀)f´(x₀) > 0.

Метод Ньютона є методом послідовних наближень x_k₊₁ = φ(x_k), де функція . (2)

Підбір параметра

Підбір параметра входить до складу набору команд, іноді званого інструментами аналізу «що-як». Якщо відомо, який результат повинна мати окрема формула, але невідомі вхідні значення, які ведуть до отримання цього результату, можна скористатися засобом «Підбір параметра», вибравши команду Підбір параметра у меню Сервіс. Виконуючи підбір параметра, Microsoft Excel змінює значення в одній визначеній клітинці, поки формула, яка залежить від цієї клітинки, не поверне потрібний результат.

ХІД РОБОТИ

В ході цієї лабораторної роботи:

1. Я визначила інтервали ізоляції коренів рівняння f(x)=0. Для перевірки нерівностей ввела формулу для MS Excel=ЕСЛИ(В10*В11<0,”!!!;””)

2. Уточнила один із коренів рівняння:

ü метод ділення відрізку. Д ля цього в комірку F23 – ввела формулу для виведення значення кореня для:

MS Excel:=ЕСЛИ((В23-А23)<$B$20;Корінь x=”&ОКРУГЛ(С23;4);””).

За цим в комірку А24 ввела формулу обчислення значення а:

MS Excel:=ЕСЛИ(Е23<=0;A23;C23). Після цього в комірку В24 ввела формулу обчислення b

MS Excel:=ЕСЛИ(Е23<=0;C23;B23). Потім скопіювала формули в діапазон комірок С23:F23 в діапазон C24:F24.

Далі виділила діапазон A24:F24 та протягнула за маркер заполнения до тих пір,поки не знайшла корінь.

ü Метод хорд. В комірку С22-формулу,яка обчислює значення функцій у точці a f(a)=A22+ cos(A22)-0,5. В комірку D22 ввела формулу, яка обчислює зачення функції у точці b f(b)=B22+cos(B22)-0,5. В комірку F22- формулу обчислення чергового наближення до корення x=

=(A22*D22-B22*C22)/(D22-C22). В комірку F22- формулу,яка обчислює значення функції у точці x f(x)=E22+COS(E22)-0,5. За цим у комірку Е18 формулу=ABS(A22+cos(A22)-0,5,у комірку G19 ввела

MS Excel:МИН(E18:Е 19). Таким чином ввела в комірку А23 формулу обчислення b комірку В23-формулу обчислення:

MS Excel:=ЕСЛИ(G22<0;Е 22;B22).

Після цього в комірку Н23 ввела формулу для визначення корення –

MS Excel:= Если(ABS(F22)<=($B$19*$G$19);” Корінь х=”&ОКУГЛ(Е22;4);”)

Потім виділила діапазон А22:F23 та протягнула за маркер заполнения до тих пір,поки не знайшла корінь.

ü Метод дотичних. Знайшла першу похідну f(x)=x+sinx-0,5. Ввела у комірку В24 формулу =ABS(B21+cos(B21)-0,5), у комірку В25

=ABS(B22+cos(B22)-0,5). За цим у комірку G19 ввела MS Excel

=МИН(В24:В25). Потіму комірку А30 ввела формулу для визначення чергового наближення MS Excel:=ЕСЛИ(Н21<0;В22;В21).Для виведення значення корення в комірку Е30 слід ввести формулу для MS Excel:=ЕСЛИ(ABS(B30)<=$B$19*$B$26;Корінь х=”&ОКРУГЛ(D30;4);””). Далі виділила діапазон А30:Е30 та протягнула за маркер заполнения до тих пір,поки не знайшла корінь.

ü Вбудований інструмент електронних таблиць Подбор параметра. Для цього в комірку ввела значення параметру в середині інтервалу ізоляції. В комірку В24 - формулу для обчислення значення функції в цій точці =А4+СOS(A4)-0,5. Після натискання кнопки ok діалогового вікна подбор параметра на екран було введено діалогове вікно результату. Потім я натиснула кнопку ok(так). Значення аргументу яке підібрано було збережено в комірці аргументу.

3. Порівняла отримані результати та зробила висновок що корні вийшли однакові.

ВИСНОВОК:

В ході цієї лабораторної роботи я навчилася розв’язувати чисельними методами нелінійних рівнянь з однією зміною, використовувала чисельні методи. Також я визначила інтервали ізоляції коренів рівняння. Уточнила один здійсних коренів рівняння, використовуючи:

ü метод ділення відрізку навпіл;

ü метод хорд;

ü метод дотичних;

ü вбудований інструмент електронних таблиць Подбор параметра.

Після цього я порівняла отримані результати та зробила висновок, що отриманні корені вийшли однакові.