Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Тема: Побудова та апроксимація функції корисності на одновимірній множині

Тема: Апроксимація інтервальної функції корисності на одновимірній множині за допомогою лінійної функції.

Для виконання лабораторної роботи №1 студент повинний знати:

- мету і зміст даної роботи, порядок її виконання;

- метод найменших квадратів побудови апроксимуючої функції;

- властивості інтервальної функції цінності.

Студент повинний уміти:

Користуватися пакетом Excel:

1) працювати з масивами даних

2) будувати електронні таблиці;

3) працювати з графіками.

Студент повинний підготувати:

Алгоритм знаходження апроксимуючої функції з використанням електронних таблиць Excel, використовуючи лінійні функції.

Завдання.

Річний прибуток підприємства знаходиться в межах від до тис грн. Цінність отримання прибутку для варіантів 1-30: , , , , . Побудувати лінійну функцію цінності та оцінити якість апроксимації за допомогою коефіцієнту детермінації R², вважаючи, що переважання особи, що приймає рішення, вже розставлено відповідно до варіанту (Див. Табл. 1.5-1.6).

Таблиця 1.5

Номер варіанту

x ⁰

x ^0,25

x ^0,5

x ^0,75

x *

Таблиця 1.6

Номер варіанту

x ⁰

x ^0,25

x ^0,5

x ^0,75

x *

Приклад виконання роботи: Річний прибуток підприємства від продажу товару знаходиться в межах від 0 до 96 тис. грн. Значення прибутку відповідно до системи переважань особи, що приймає рішення, та цінність його отримання наведено в Табл.1.7.

Таблиця 1.7
Прибуток, тис. грн.	Цінність
(позначення)	(значення)	(позначення)	(значення)
x ⁰
x ^0,25			0,25
x ^0,5			0,5
x ^0,75			0,75
x *

Побудувати лінійну функцію цінності та оцінити якість апроксимації за допомогою коефіцієнту детермінації R².

Розв’язання: Для роботи використаємо пакет Excel. Опишемо порядок виконання роботи:

По перше вихідні дані запишемо в робочу таблицю в блок (A1:B5).

По друге по введеним у робочу таблицю даним будуємо діаграму. Оскільки необхідно будувати динаміку змін цінності в залежності від прибутку, то будемо будувати діаграму “ Точечная ”. Для цього кліком курсору миші на панелі інструментів викликаємо “ Мастер диаграмм ”. В діалоговому вікні вибираємо тип діаграми “ Точечная ”. Вигляд – лівий верхній. Натискаємо “ Далее ” і вказуємо діапазон даних В1:В5 (за допомогою миші). Перевіряємо положення перемикача Ряды: в столбцах. Вибираємо вкладку Ряд та за допомогою миші вводимо діапазон підписів вісі Х: А1:А5. Вводимо назви діаграми, осей Х та Y. Отримано графік експериментальних даних.

По третє здійснемо апроксимацію отриманої кривої. Курсор миші встановлюємо на одну з точок графіка та натискаємо праву кнопку. У виниклому контекстному меню вибираємо “ Добавить линию тренда ”. З’являється діалогове вікно Линия тренда. Так як крива нагадує лінійну функцію, то вибигаємо тип лінії тренду “ Линейная ”. Відкриваємо вкладку “ Параметры ” та встановлюємо мітки в поля показывать уравнение не диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2). Натискаємо кнопку ОК. Отримали апроксимуючу криву (Див. Рис. 1.3).

Висновок

Рівняння лінійної апроксимуючої кривої для функції цінності має вигляд: , при цьому точність апроксимації дуже висока - , що дозволяє вважати адекватним лінійну залежність.

Лабораторна робота №2

Тема: Апроксимація інтервальної функції цінності на одновимірній множині за допомогою квадратичної функції.

Для виконання лабораторної роботи №2 студент повинний знати:

- мету і зміст даної роботи, порядок її виконання;

- метод найменших квадратів побудови апроксимуючої функції;

- властивості інтервальної функції цінності;

Студент повинний уміти:

Користуватися пакетом Excel:

1) працювати з масивами даних;

2) будувати електронні таблиці;

3) працювати з графіками.

Студент повинний підготувати:

Алгоритм знаходження апроксимуючої функції з використанням електронних таблиць, використовуючи квадратичну функцію.

Завдання.

Річний прибуток підприємства знаходиться в межах від до тис грн. Цінність отримання прибутку для варіантів 1-30: , , , , . Побудувати квадратичну функцію цінності, яка відбиває переважання особи, що приймає рішення та оцінити якість апроксимації за допомогою коефіцієнту детермінації R², вважаючи, що переважання особи, що приймає рішення, вже розставлено відповідно до варіанту (Див. Табл. 1.8-1.9).

Таблиця 1.8

Номер варианту

x ⁰

x ^0,25

x ^0,5

x ^0,75

x *

Таблиця 1.9

Номер варианту

x ⁰

x ^0,25

x ^0,5

x ^0,75

x *

Приклад виконання роботи: Річний прибуток підприємства від продажу товару знаходиться в межах від 10 до 60 тис. грн.. Значення прибутку відповідно до системи переважань особи, що приймає рішення, та цінність його отримання наведено в Табл. 1.10.

Таблиця 1.10
Прибуток, тис. грн.	Цінність
(позначення)	(значення)	(позначення)	(значення)
x ⁰
x ^0,25			0,25
x ^0,5			0,5
x ^0,75			0,75
x *

Побудувати квадратичну функцію цінності та оцінити якість апроксимації за допомогою коефіцієнту детермінації R².

Розв’язання: Для побудови квадратичної функції цінності використаємо пакет Excel. Опишемо порядок виконання роботи:

Спочатку вихідні дані запишемо в робочу таблицю в блок (A1:B5);

Далі по введеним у робочу таблицю будуємо діаграму. Оскільки необхідно будувати динаміку змін цінності в залежності від прибутку, то будемо будувати діаграму “ Точечная ”. Для цього кліком курсору миші на панелі інструментів викликаємо “ Мастер диаграмм ”. В діалоговому вікні вибираємо тип діаграми “ Точечная ”. Вигляд – лівий верхній. Натискаємо “ Далее ” і вказуємо діапазон даних В1:В5 (за допомогою миші). Перевіряємо положення перемикача Ряды: в столбцах. Вибираємо вкладку Ряд та за допомогою миші вводимо діапазон підписів вісі Х: А1:А5. Вводимо назви діаграми, осей Х та Y. Отримано графік експериментальних даних;

На останок здійснемо апроксимацію отриманої кривої. Курсор миші встановлюємо на одну з точок графіка та натискаємо праву кнопку. У виниклому контекстному меню вибираємо “ Добавить линию тренда ”. З’являється діалогове вікно Линия тренда. Так як крива нагадує лінійну функцію, то вибигаємо тип лінії тренду “ Полиномиальная ” з . Відкриваємо вкладку “ Параметры ” та встановлюємо мітки в поля показывать уравнение не диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2). Натискаємо кнопку ОК. Отримали апроксимуючу криву (Див. Рис. 1.4);

Висновок

Рівняння квадратичної апроксимуючої кривої для функції цінності має вигляд: , при цьому точність апроксимації дуже висока - , що підтверджує адекватність квадратичної залежності.

Лабораторна робота №3

Тема: Апроксимація інтервальної функції цінності на одновимірній множині за допомогою логарифмічної функції.

Для виконання лабораторної роботи №3 студент повинний знати:

- мету і зміст даної роботи, порядок її виконання;

- метод найменших квадратів побудови апроксимуючої функції;

- властивості інтервальної функції цінності.

Студент повинний уміти:

Користуватися пакетом Excel:

1) працювати з масивами даних;

2) будувати електронні таблиці;

3) працювати з графіками.

Студент повинний підготувати:

Алгоритм знаходження апроксимуючої функції з використанням електронних таблиць, використовуючи логарифмічну функцію.

Завдання.

Цінності захоплення ринкових долей , , , , на основі вивчення ринку товару однакові для всіх варіантів і складають відповідно , , , , .

Здійснити апроксимацію функції цінності:

а) логарифмічною функцією;

б) квадратичною функцією.

Порівняти за допомогою коефіцієнту детермінації R², який тип апроксимації є кращим. При цьому вважати, що переважання особи, яка приймає рішення, вже розставлено відповідно до номеру варіанту N (Див. Табл. 1.11).

Таблиця 1.11
Доля ринку, %	Цінність
(позначення)	(значення)	(позначення)	(значення)
	N
			0,5
			0,25
			0,75

Зауваження: Отримане для свого варіанту значення прибутку студент повинний округлити до цілого числа.

Приклад виконання роботи: Значення розміру ринкової долі відповідно до системи переважань особи, що приймає рішення, та цінність її захоплення на основі вивчення ринку товару викладені в Табл. 1.12.

Таблиця 1.12
Доля ринку, %	Цінність
(позначення)	(значення)	(позначення)	(значення)

			0,25
			0,5
			0,75

Здійснити апроксимацію функції цінності:

а) логарифмічною функцією;

б) квадратичною функцією.

Порівняти за допомогою коефіцієнту детермінації R², який тип апроксимації є кращим.

Розв’язання: Для роботи використаємо пакет Excel. Опишемо порядок виконання роботи:

По перше вихідні дані запишемо в робочу таблицю в блок (A1:B5);

По друге по введеним у робочу таблицю будуємо діаграму. Оскільки необхідно будувати динаміку змін цінності в залежності від прибутку, то будемо будувати діаграму “ Точечная ”. Для цього кліком курсору миші на панелі інструментів викликаємо “ Мастер диаграмм ”. В діалоговому вікні вибираємо тип діаграми “ Точечная ”. Вигляд – лівий верхній. Натискаємо “ Далее ” і вказуємо діапазон даних В2:В6 (за допомогою миші). Перевіряємо положення перемикача Ряды: в столбцах. Вибираємо вкладку Ряд та за допомогою миші вводимо діапазон підписів вісі Х: А2:А6. Вводимо назви діаграми, осей Х та Y. Отримано графік експериментальних даних.

По третє здійснемо апроксимацію отриманої кривої логарифмічною функцією. Курсор миші встановлюємо на одну з точок графіка та натискаємо праву кнопку. У виниклому контекстному меню вибираємо “ Добавить линию тренда ”. З’являється діалогове вікно Линия тренда. Так як крива нагадує лінійну функцію, то вибигаємо тип лінії тренду “ Логарифмическая ”. Відкриваємо вкладку “ Параметры ” та встановлюємо мітки в поля показывать уравнение не диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2). Натискаємо кнопку ОК. Отримали апроксимуючу криву (Див. Рис. 1.5);

По четверте здійснемо апроксимацію отриманої кривої квадратичною функцією. Для цього повторимо операції п. 3 за вийнятком того, що у вікні Линия тренда на вкладці Тип вибираємо тип лінії – “ Полиномиальная ”. Вказуємл . Отримали інший варіант апроксимації – квадратичною функцією (Див. Рис.1.6).

Висновок

У якості апроксимуючої кривої для функції цінності вибираємо логарифмічну, бо по-перше для квадратичної функції не виконуються умови нормування , (), а по-друге точність апроксимації у логарифмічної кривої вища за точність квадратичної кривої (). Рівняння найкращої апроксимуючої функції для функції корисності має вигляд: .

Лабораторна робота №4

Тема: Побудова та апроксимація функції корисності на одновимірній множині

Для виконання лабораторної роботи №4 студент повинний знати:

- мету і зміст даної роботи, порядок її виконання;

- знаходження вихідних даних за методом половинного поділу поточного проміжку за корисністю;

- виведення системи для отримання параметрів апроксимуючої функції при лінійній, квадратичній та логарифмічній залежностях;

- метод найменших квадратів побудови апроксимуючої функції;

Студент повинний уміти:

1) працювати з масивами даних;

2) будувати електронні таблиці;

3) працювати з графіками в оболонці електронних таблиць Excel.

4) оцінювати схильність/несхильність до ризику, використовуючи коефіцієнт Пратта-Ерроу .

Студент повинний підготувати:

Алгоритм знаходження апроксимуючої функції з використанням електронних таблиць.

Завдання.

Зауваження: Дана лабораторна робота виконується двома студентами, що мають варіанти відповідно , , .

Заданий проміжок [10; N ₁+20] та відповідні значення функції корисності , , , , .

Перший етап. Кожному студентові скласти таблицю значень прибутку та відповідних їм корисностей наслідків, виходячи із власної системи переважань, використовуючи метод половинного поділу поточного проміжку за корисністю.

Другий етап.

1. Апроксимувати функцію корисності за допомогою:

а) лінійної,

б) квадратичної,

в) кубічної,

г) логарифмічної,

або будь-якої іншої функції.

2. Визначити, яка з побудованих функцій найкращим чином апроксимує функцію , використовуючи коефіцієнт детермінації R².

Третій етап.

1. Знайти коефіцієнти Пратта-Ерроу для всіх одержаних на другому етапі апроксимуючих функцій, які не мають точок перегину на [10; N ₁+20].

2. Використовуючи функцію корисності, знайдену у п.2 другого етапу та відповідний коефіцієнт Пратта-Ерроу

а) визначити, чи схильний кожен зі студентів до ризику;

б) у випадку, коли обидва студенти мають схильність або несхильність до ризику, визначити, хто має “більшу”.

Приклад виконання роботи: Тендерна комісія оцінює схильність до ризику двох інвесторів А та В у справі реалізації проекту реорганізації підприємства легкої промисловості. Припускається, що чистий прибуток від інвестицій може бути від 10 до 100 тис грн. Значення функції корисності відповідно , , , , для обох інвесторів.

Розв’язання:

Перший етап. Інвестори відповідно до власної системи переважань розставили пріорітети наступним чином:

, , , , (для інвестора А).

, , , , (для інвестора В).

На проміжках [43,85] та [20,54] інвесторами знайдено точки з : . Так як , , то розбіжність відповідно між , та , для обох інвесторів вважається неістотною. Комісією занесено отримані дані в таблицю (Табл. 1.13).

Таблиця 1.13
Корисність	Прибуток, тис. грн.
Інвестор А	Інвестор В
(позначення)	(значення)	(позначення)	(значення)	(позначення)	(значення)

	0,25
	0,5
	0,75

Другий етап. (Побудова та апроксимація функцій корисності інвесторів А та В.)

Для роботи використаємо пакет Excel. Опишемо порядок виконання роботи:

По перше вихідні дані запишемо в робочу таблицю в блок (A1:С5).

По друге по введеним у робочу таблицю будуємо діаграму. Оскільки необхідно будувати динаміку змін цінності в залежності від прибутку, то будемо будувати діаграму “ Точечная ”. Для цього кліком курсору миші на панелі інструментів викликаємо “ Мастер диаграмм ”. В діалоговому вікні вибираємо тип діаграми “ Точечная ”. Вигляд – лівий верхній. Натискаємо “ Далее ” і вказуємо діапазон значень Y: A1:A5 (за допомогою миші). Перевіряємо положення перемикача Ряды: в столбцах. Вибираємо вкладку Ряд та за допомогою миші вводимо діапазон значень Х: B 1:B5. На цій же вкладці натискаємо кнопку “ Добавить ”. Отримали Ряд 2, для якого повторимо вищевказану процедуру вводу даних, вказавши діапазон значень Х: С1:С5. Вводимо назви діаграми, осей Х та Y. Отримано графіки експериментальних даних.

По третє здійснимо апроксимацію отриманих кривих. Курсор миші встановлюємо на одну з точок одного з графіків та натискаємо праву кнопку. У виниклому контекстному меню вибираємо “ Добавить линию тренда ”. З’являється діалогове вікно Линия тренда. В залежності від вигляду кривої вибираємо відповідний тип лінії тренду. Відкриваємо вкладку “ Параметры ” та встановлюємо мітки в поля показывать уравнение не диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2). Натискаємо кнопку ОК. Аналогічну процедуру повторимо для другої кривої. Отримали найкращі апроксимуючі криві (Див. Рис. 1.7): для інвестора А – квадратичну , для інвестора В – логарифмічну .

Третій етап. Визначимо схильність до ризику інвесторів А та В:

Візуальний аналіз Рис. 1.7 вказує на схильність інвестора В до ризику та несхильність до ризику інвестора А. Те ж саме виявляє й аналітичний підхід з використанням коефіцієнта Пратта-Ерроу:

отже інвестор А не є схильним до ризику.

отже інвестор В виявляє схильність до ризику.

Висновки

Найкраща крива, що апроксимує функцію корисності інвестора А має вигляд

, причому коефіцієнт детермінації є достатньо великим, що підтверджує адекватність квадратичної залежності. Так як , то інвестора А не виявляє схильності до ризику.

Зауважимо, що коефіцієнт при у кривій, що апроксимує функцію корисності інвестора А є порівняно малим, тобто інвестор виявляє дуже малу несхильність, що межує з нейтральним ставленням до ризику.

Аналогічно найкраща крива, що апроксимує функцію корисності інвестора В:

, з коефіцієнтом детермінації та коефіцієнтом Пратта-Ерроу , що вказує на схильність інвестора В до ризику.