Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Некоторые математические формулы

Содержание

Введение……………………………………………………………….. 4

Требования к оформлению контрольной работы…………………… 5

Задания к контрольной работе.……………………………………… 6

Образцы решения и оформления задач…………………….……….. 17

Литература…………………………………………………………….. 45

Приложение А Некоторые математические формулы…...…………. 46

Приложение Б Схема исследования функции…...………………..... 49

Введение

Одним из важнейших направлений развития современной высшей школы является совершенствование системы специальной подготовки будущих специалистов. В связи с этим в работе со студентами заочного факультета главным средством обучения является систематическая самостоятельная работа во внеаудиторное время. Поэтому обязательным элементом учебного процесса является выполнение письменных контрольных работ.

Контрольная работа в системе заочного обучения является одной из форм активизации самостоятельной работы студентов в межсессионный период, ее подготовка требует от студента самостоятельного изучения научной и учебной литературы. В соответствии с учебным планом студенты заочного факультета специальности «Математика» выполняют контрольную работу по разделам «Предел. Непрерывность. Дифференцируемость» математического анализа.

Цель выполнения контрольной работы по математическому анализу состоит в закреплении и углублении теоретических знаний по изучаемой дисциплине, приобретении практических навыков в решении задач, развитии навыков самостоятельной работы по применению теории к решению задач.

При подготовке контрольной работы студент должен продемонстрировать знание материала, умение правильно и четко излагать свою мысль. При возникновении затруднений у студента в процессе контрольной работы следует обратиться за консультацией к преподавателю на кафедру математического анализа.

Выполнение контрольной работы осуществляется по вариантам.

Требования к оформлению контрольной работы

К оформлению контрольной работы предъявляются следующие требования. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не засчитываются и возвращаются студенту для переработки.

1 Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, оставляя поля для замечаний рецензента.

2 Контрольная работа включает в себя следующие структурные элементы:

− титульный лист;

− основную часть, которая представляется заданием по соответствующему варианту темы контрольной работы;

− приложения (если есть);

− список использованной литературы.

3 На титульном листе указывается наименование дисциплины, номер варианта, факультет, курс и номер группы, фамилия и инициалы студента. Вариант определяется в соответствии с последней цифрой в номере зачетной книжки студента.

4 В работу должны быть включены все задачи выполняемого варианта. Контрольные работы, содержащие не все задания или задания не своего варианта, не засчитываются.

5 Решения задач надо располагать в порядке следования номеров. Перед решением каждой задачи должно быть полностью выписано ее условие. Решения задач должны сопровождаться краткими пояснениями и необходимыми чертежами.

6 Выполненная и оформленная в соответствии с требованиями работа подписывается студентом с указанием даты ее выполнения.

7 Студент должен представить контрольную работу на рецензирование не позже установленного графиком учебного процесса срока.

Рецензирование и защита контрольной работы проводится в соответствии с «Положением о контрольной работе студента заочного факультета и порядке ее рецензирования» от 23 февраля 2005 года.

Все сделанные рецензентом замечания студент обязан учесть и внести в работу необходимые исправления и дополнения.

8 Студенты, не получившие зачета по контрольной работе, к экзамену по соответствующей дисциплине не допускаются.

Образцы решения и оформления задач

Задание 1

Используя метод математической индукции, доказать, что верно следующее утверждение.

Пример 1 .

Решение

1 При равенство верно, так как .

2 Допустим, что равенство верно при , т. е.

3 Докажем, что равенство верно при .

Рассмотрим

Это означает, что при равенство верно. В силу принципа математической индукции, утверждение верно для .

Пример 2 , .

Решение

1 Проверим утверждение при : .

Умножив обе части неравенства на , получим равносильное неравенство

, т. е. .

Так как последнее неравенство верно, то при данное утверждение верно.

2 Допустим, что неравенство верно при , т. е.

(1)

3 Докажем, что неравенство верно при , т. е. докажем, что

Прибавим к обеим частям неравенства (1), получим

Утверждение доказано для , а в силу принципа математической индукции, и для .

Пример 3 кратно 133, .

Решение

1 При утверждение верно, так как делится на 133.

2 Допустим, что утверждение верно при , т. е. что кратно 133.

3 Докажем, что утверждение верно при , т. е. что

кратно 133.

Преобразуем

Первое слагаемое кратно 133 по предположению, второе, очевидно, кратно 133. Следовательно, сумма кратна 133. Утверждение доказано.

Задание 2

Преобразовать десятичную периодическую дробь 3,(15) в обыкновенную дробь.

Решение Заметим, что данную дробь можно представить в виде суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Итак, .

Задание 3

Доказать ограниченность множества А. Найти его точные верхнюю и нижнюю грани, если .

Решение Так как выполняется неравенство ,

то множество А является ограниченным.

Запишем каждый элемент множества А в виде:

Таким образом, .

Очевидно, множество А имеет минимальный элемент . Тогда

Максимального элемента множество А не имеет. Но поскольку множество А ограничено, то оно имеет точную верхнюю грань.

Докажем, что . Действительно, имеем

Значит, число является верхней гранью.

Возьмем теперь и покажем, что число не является верхней гранью множества А, т. е. что такое, что .

Найдем какие-либо решения этого неравенства. Оно равносильно неравенству . Но если , то , . Отсюда

, т. е. .

Итак, при элементы множества А оказываются больше, чем . Значит, число не является верхней гранью множества А. Тем самым доказано, что .

Задание 4

Для каждого определить номер такой, что для каждого выполняется неравенство .

Пример 1 .

Решение Возьмем произвольное число . Рассмотрим модуль разности

Неравенство будет выполняться, если , т. е. при .

Возьмем в качестве искомого число . Тогда будет выполнено .

Итак, доказано, что .

Пример 2 , .

Решение Возьмем произвольное число . Рассмотрим модуль разности .

Неравенство будет выполнено, если , т. е. при . Возьмем в качестве число . Тогда будет выполняться неравенство .

Таким образом, доказано, что .

Задание 5

Пользуясь теоремой о пределе подпоследовательности, доказать расходимость данной последовательности.

Пример 1 .

Указание Известно, что если последовательность имеет предел, то все ее подпоследовательности имеют тот же предел. Следовательно, для доказательства расходимости достаточно найти две подпоследовательности, имеющие различные пределы, или хотя бы одну подпоследовательность, не имеющую конечного предела.

Решение Рассмотрим две подпоследовательности (при четных и нечетных номерах n).

Если n – четное, то .

Если n – нечетное, то .

Так как данная последовательность имеет две подпоследовательности, имеющие различные пределы, то она расходится.

Пример 2 .

Решение Возьмем , тогда . Но тогда . Получили подпоследовательность, которая не является ограниченной. Вследствие теоремы об ограниченности сходящейся последовательности, неограниченная последовательность расходится. Следовательно, и – расходится.

Пример 3 .

Решение Возьмем . Тогда .

Теперь возьмем , тогда

Первая подпоследовательность состоит из единиц, а значит, сходится к 1. Так как при , то вторая подпоследовательность сходится к 0.

Следовательно, данная последовательность расходится.

Задание 6

Пример 1 Пользуясь теоремой о произведении бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность, доказать сходимость следующей последовательности:

Решение Последовательность является бесконечно малой, так как

(действительно, в качестве можно взять число ).

Так как , то последовательность – ограничена.

Так как последовательность представляет собой произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность, то она сходится.

Пример 2 Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующей последовательности.

, где – целые неотрицательные числа, не превосходящие 9.

Решение Так как , то , т. е. данная последовательность возрастает.

Докажем теперь, что она ограничена сверху.

Итак, . Значит, ограничена сверху.

По теореме о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, сходится.

Задание 7

Вычислить пределы последовательностей.

Пример 1 .

Решение Преобразуем выражение под знаком предела по формулам

Тогда

[разделим числитель и знаменатель на ]

Здесь мы воспользовались тем, что , и арифметическими свойствами пределов.

Примечание В дальнейшем при вычислении подобных пределов можно использовать правило: при предел отношения многочленов одинаковых степеней равен отношению коэффициентов при старших степенях n.

Пример 2 .

Решение Умножим и разделим выражение под знаком предела на сопряженное выражение, т. е. на . Получим

[разделим числитель и знаменатель на n ]

Пример 3 .

Решение Умножим и разделим выражение под знаком предела на неполный квадрат соответствующей суммы, т. е. на

Получим

[разделим числитель и знаменатель на ] .

Пример 4 .

Решение Умножим и разделим выражение под знаком предела на

Получим

Здесь мы воспользовались тем, что старшая степень числителя (5) больше старшей степени знаменателя (4,5).

Пример 5 .

Решение Воспользуемся теоремой о промежуточной последовательности и табличными пределами (Приложение А):

, .

Докажем, что данный предел тоже равен 1. Воспользуемся оценками

Так как , то .

Пример 6 .

Решение Докажем, что этот предел равен 3. Действительно, для всех выполняются неравенства

Тогда, извлекая корни степени п из всех частей неравенства, получим

Так как , то .

Пример 7 .

Решение Заметим, что для любого натурального

Тогда имеем

Так как , то .

Задание 8

Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

Пример 1 .

Решение Перейдем к пределу в числителе и знаменателе. Получим .

Пример 2 .

Решение При и числитель, и знаменатель дроби стремятся к нулю. Т. е. имеем неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель на множители. Корнями знаменателя являются и . Поэтому .

Пример 3 .

Решение Имеем неопределенность вида . Чтобы от нее избавиться, разделим числитель и знаменатель дроби на х в старшей степени, т. е. на . Получим

Пример 4 .

Решение Имеем неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель на множители.

Пример 5 .

Решение Имеем неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряженные к числителю и знаменателю, т. е. на . Получим

Пример 6 .

Решение Имеем неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряженные к числителю и знаменателю, т. е. на .

Получим

Пример 7 .

Решение Имеем неопределенность вида . Воспользуемся эквивалентностью функций при (Приложение А м. зуемся эквивалентностью функций при).

Так как при и , то при имеем

, .

Тогда .

Пример 8 .

Решение Имеем неопределенность вида . Перейдем к новой переменной . Так как , то . Получим

При ,

Поэтому последний предел равен .

Задание 9

Найдите односторонние пределы функции

в точке

или докажите, что соответствующий односторонний предел не существует.

Решение Правосторонний предел функции в точке существует. Действительно,

Покажем, что предела слева функции в точке не существует. В соответствии с определением по Гейне предела функции в точке, достаточно указать две последовательности , сходящиеся к нулю слева, такие, что соответствующие значения функции будут иметь различные пределы при .

Возьмем , .

, при .

Возьмем теперь , .

, при

Согласно определению по Гейне предела функции в точке, не существует.

Задание 10

Используя I и II замечательные пределы, вычислить пределы функций.

Пример 1 .

Решение Имеем неопределенность вида . Воспользуемся первым замечательным пределом и теоремой о произведении пределов. Получим

Пример 2 .

Решение

Пример 3 .

Решение

Пример 4 .

Решение Имеем неопределенность вида . Введем новую переменную , тогда и

Пример 5 .

Решение Имеем неопределенность вида [ ]. Воспользуемся вторым замечательным пределом.

Пример 6 .

Решение Имеем неопределенность вида [ ]. Воспользуемся вторым замечательным пределом.

, так как

Примечание Использование известных асимптотических равенств несколько упрощает решение задач. Например,

Пример 7 .

Решение Имеем неопределенность вида [ ]. Воспользуемся вторым замечательным пределом.

, так как

Задание 11

Исследовать данные функции на непрерывность, найти точки разрыва и определить их тип.

Пример 1 .

Решение Так как , то данную функцию можно записать следующим образом:

Данная функция не определена в точках и , значит, эти точки являются точками разрыва. Определим их тип.

Найдем односторонние пределы:

, .

Так как в точке существуют односторонние пределы, но они различны, то – точка разрыва I рода.

Так как , то – точка разрыва II рода.

Исследуем теперь функцию на непрерывность в точке .

, .

Поскольку в точке односторонние пределы существуют и равны, то существует и равен 1,5. А так как предел функции в точке совпадает со значением функции в этой точке, то данная функция непрерывна в точке .

Если , то данная функция непрерывна по определению непрерывной функции (в каждой такой точке предел функции совпадает со значением функции в этой точке).