Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Дискретное преобразование Фурье.

Анализ входного сигнала.

1.Представление сигнала в графическом и аналитическом видах.

На отрезке (0, T) рассмотрим прямоугольный сигнал, на котором .

Амплитудный спектр заданного сигнала.

Рис.1 Амплитудный спектр сигнала.

Практические расчеты.

Параметры приборов, использованных для получения выходных сигналов: Averaging Power Spectral Density: Length of buffer=128; Number of points for fft=512;

Plot after how many points=64; Sample time=0.01;

Схема.

Сигнал, полученный с использованием осциллографа.

Амплитудный спектр сигнала, полученный с использованием

Averaging Power Spectral Density

Вывод: спектр, полученный через Simulink и теоретический спектр, построенный с использованием функции plot, различаются.

Фазовый спектр заданного сигнала.

Рис.2 Фазовый спектр сигнала.

Спектр дискретного сигнала.

Дискретный сигнал является последовательностью чисел, поэтому для анализа его спектра обычными (аналоговыми) средствами необходимо сопоставить этой последовательности некоторую функцию.

Традиционным способом такого сопоставления является представление отсчетов в виде дельта-функций с соответствующими множителями и задержками. Для последовательности отсчетов {x(k)} получится следующий сигнал:

Преобразование Фурье линейно, спектр дельта-функции равен единице, а задержка сигнала во времени приводит к умножению спектра на комплексную экспоненту. Все это позволяет сразу же записать спектр дискретного сигнала:

(1.1)

Теперь рассмотрим несколько иную задачу. Пусть значения x(k) являются отсчетами аналогового сигнала s(t), взятыми с периодом T:

x(k)=s(kT).

Выясним, как в этом случае спектр дискретного сигнала связан со спектром аналогового сигнала .

Итак, мы рассматриваем дискретизированный сигнал в виде последовательности дельта-функций, «взвешенной» значениями отсчетов s(kT) аналогового сигнала s(t).

(1.2)

Так как функция равна нулю всюду, кроме момента t=kT, можно заменить в выражении (1.2) константы s(kT) на исходный непрерывный сигнал s(t):

(1.3)

Сумма, входящая в выражение (1.3), является периодическим сигналом, а потому может быть представлена в виде ряда Фурье. Коэффициенты этого ряда равны:

(1.4)

В формуле (1.4) было учтено, что в интервал интегрирования (-T/2,T/2) попадает только одна дельта-функция, соответствующая k=0.

Таким образом, периодическая последовательность дельта-функций может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье:

(1.5)

где

Умножение сигнала на соответствует сдвигу спектральной функции на поэтому спектр дискретизированного сигнала можно записать следующим образом:

(1.6)

Таким образом спектр дискретизированного сигнала представляет собой бесконечный ряд сдвинутых копий спектра исходного непрерывного сигнала s(t). Расстояние по частоте между соседними копиями спектра равно частоте дискретизации

Следует также отметить, что из-за наличия в формуле (1.6) множителя 1/T спектр дискретизированного сигнала имеет размерность, совпадающую с размерностью сигнала.

Спектр дискретизированного сигнала.

Вывод: Таким образом спектр дискретизированного сигнала представляет собой бесконечный ряд сдвинутых копий спектра исходного непрерывного сигнала s(t).

Дискретное преобразование Фурье.

Пусть последовательность отсчетов {x(k)} является периодической с периодом N:

x(k+N)=x(k) для любого k.

Такая последовательность полностью описывается конечным набором чисел, в качестве которого можно взять произвольный фрагмент длиной N, например {x(k), k=0, 1, …, N-1}. Поставленный в соответствии этой последовательности сигнал из смещенных по времени дельта-функций:

(1.1)

Также, разумеется, будет периодическим с минимальным периодом NT.

Так как сигнал (1.1) является дискретным, его спектр должен быть периодическим с периодом . Так как этот сигнал является также и периодическим, его спектр должен быть дискретным с расстоянием между гармониками, равным .

Итак, периодический дискретный сигнал имеет периодический дискретный спектр, который также описывается конечным набором из N чисел (один период спектра содержит N гармоник).

Рассмотрим процедуру вычисления спектра периодического дискретного сигнала. Так как сигнал периодический, будем раскладывать его в ряд Фурье. Коэффициенты этого ряда равны

(1.2)

В выражении (1.2) реальный масштаб времени фигурирует только в множителе 1/T перед оператором суммирования. При рассмотрении дискретных последовательностей обычно оперируют номерами отсчетов и спектральных гармоник без привязки к действительному масштабу времени и частоты. Поэтому множитель 1/T (1.2) удаляют, то есть считают частоту дискретизации равной единице. Удаляют обычно и множитель 1/N. Получившееся выражение называется дискретным преобразованием Фурье.

С помощью программы, написанной на языке MatLab строим график модуля ДПФ.

x1=[10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; zeros(8,1)];

y1=fft(x1);

x2=[x1; zeros(18,1)];

y2=fft(x2);

subplot(2, 2, 1),stem(0:18, x1)

xlim([0 37])

subplot(2, 2, 2),stem((0:18)/19,abs(y1))

subplot(2, 2, 3),stem(0:36,x2)

xlim([0 37])

subplot(2, 2, 4)

stem((0:36)/38, abs(y2))

Рис.3 Повышение спектрального разрешения ДПФ при дополнении сигнала нулями: сверху - исходный сигнал и модуль его ДПФ, снизу - сигнал, дополненный 18 нулями, и модуль его ДПФ.

Анализ фильтра.

Графическое и аналитическое представление фильтра.

Расчет и преобразование аналоговых фильтров-прототипов.

Одной из часто возникающих задач является создание фильтров, пропускающих сигналы в определенной полосе частот и задерживающих остальные частоты.

Фильтры высокой частоты (ФВЧ, highpass filter), пропускающие частоты в диапазоне от wн до бесконечности.

Идеальная форма АЧХ не может быть физически реализована. Поэтому в теории аналоговых фильтров разработан ряд методов аппроксимации прямоугольных АЧХ. Расчет аналогового фильтра начинается с расчета так называемого фильтра-прототипа, представляющего ФНЧ.

Через программу SPTool рассчитываем аналоговый фильтр-прототип с помощью фильтра Чебышева первого рода.

Функция передачи фильтра-прототипа Чебышева не имеет нулей, а ее полюсы равномерно расположены на S-плоскости в левой половине эллипса.

Формула АЧХ фильтра Чебышева: