Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Позиционные системы счисления

Кодировка – система, позволяющая осуществлять переход от одной знаковой системы представления информации к другому представлению той же информации также в виде знаков и их последовательностей.

Знак – элемент конечного множества, обладающий информационным содержанием, отличающийся от других знаков данного множества. Запас знаков – конечное множество А знаков.	Примеры: Знаки арифметических операций A = { +, –, /, * } Набор операций сравнения C = { <, £, ³, >, =,», ¹ }
Алфавит – конечное и линейно упорядоченное множество символов. Множество А может включать подмножества, которые могут образовывать запасы знаков меньших алфавитов. D Ì H O Ì H O Ì D	Примеры: Знаки зодиака Z = { ^, _, `, a, b, c, d, e, f, g, h, i } Шестнадцатеричные цифры H = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F } Десятичные цифры D = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Восьмеричные цифры O = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
Слово – конечная последовательность знаков. Множество слов над А – множество конечных последовательностей знаков А* над запасом знаков А.	Пример: A = {а, д, м, о} A* = {мода, дама, дома, мама, адам, а, ад, да, до, ода, дом, мадам }

Бинарное множество В={ 0,1} содержит всего два знака.

Множество слов В*={0,1}* называется множеством двоичных слов. Элементы этого множества называются n-битовыми словами или двоичными словами длины n.

Пример: Множество 3-битных двоичных слов T* = { 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 }

Числовая информация может быть представлена в одной из известных систем счисления.
Наибольшее распространение получили позиционные системы счисления.

Числа в позиционной системе счисления с основанием В записываются при помощи цифр а_i,
входящих в алфавит {a₁, a₂, a₃, …, a_i}, содержащий ровно В элементов.

Представление числа в позиционной системе счисления с основанием В имеет вид:

Разряды нумеруются от 0 до n от младшего к старшему (справа налево). Числовое значение каждой цифры в записи числа в позиционной системе счисления зависит от её положения в записи числа (от номера разряда).	Примеры: 111₆ = 1·6² + 1·6¹ + 1·6⁰ = 36 + 6 + 1 = 43₁₀ 123₆ = 1·6² + 2·6¹ + 3·6⁰ = 36 +12 + 3 = 51₁₀ 213₆ = 2·6² + 1·6¹ + 3·6⁰ = 72 + 6 + 3 = 81₁₀
Числовое значение каждой цифры в записи числа в позиционной системе счисления зависит от основания системы счисления.	Примеры: 123₆ = 1·6² + 2·6¹ + 3·6⁰ = 36 + 12 + 3 = 51₁₀ 123₁₀ = 1·10² + 2·10¹ + 3·10⁰ = 100 + 20 + 3 = 123₁₀ 123₁₆ = 1·16² + 2·16¹ + 3·16⁰ = 256 + 32 + 3 = 291₁₀

Для сравнения чисел, записанных в разных системах счисления, необходимо привести их в одну систему счисления (например, двоичную или десятичную).

Для перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления методом вычитания из исходного числа поочередно вычитаются целые степени двойки, не превосходящие остаток от вычитания. В двоичной записи числа единицы записываются в тех разрядах, номера которых соответствуют вычтенным степеням двойки. В остальных разрядах двоичного числа записываются нули.	Пример: 37₁₀ =?₂ 37 - 32 = 5 (32 = 2⁵) 5 - 4 = 1 (4 = 2²) 1 - 1 = 0 (1 = 2⁰) 37₁₀= 32 + 4 + 1 = 1·2⁵ + 1·2² + 1·2⁰ = = 1·2⁵ + 0·2⁴ + 0·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = = 100101₂
Для перевода числа из десятичной системы счисления в другие системы счисления из исходного числа следует многократно вычитать степени основания новой системы, при этом в записи числа могут появится любые цифры из нового алфавита.	Примеры: 37₄= 32 + 4 + 1 = 2·4² + 1·4¹ + 1·4⁰ = 211₄ 73₃= 27 +27 + 9 + 9 + 1 = 2·27 + 2·9 + 1 = = 2·3³ + 2·3² + 0·3¹ + 1·3⁰ = 2201₃
Для перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную можно воспользоваться таблицей соответствия. Вместо каждого знака исходного числа записывается соответственно три или четыре двоичных знака. Аналогично, группируя двоичные знаки справа налево по три или четыре и дополняя их слева нулями, можно быстро перевести двоичное число в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.	Примеры: 23₈= 010 011₂ 72₈= 111 010₂ 23₁₆= 0010 0011₂ 72₁₆= 0111 0010₂ 10001₂ = 010 001₂ = 21₈ = 0001 0001₂ = 11₁₆ 11101₂ = 011 101₂ = 35₈ = 0001 1101₂ = 1D₁₆ 100110110110₂ = 4666₈ = 9B6₁₆