Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Преобразования Фурье

Разработка преобразований Фурье сыграла огромную роль в появлении и развитии ряда новых областей науки и техники. Достаточно отметить, что электротехника переменного тока, электрическая связь и радиосвязь базируются на спектральном представлении сигналов. Ряды Фурье также можно рассматривать как приближение произвольных функций (определенные ограничения в этом известны) тригонометрическими рядами бесконечной длины. При конечной длине рядов получаются наилучшие среднеквадратические приближения. MATLAB содержит функции для выполнения быстрого одномерного и двумерного быстрого дискретного преобразования Фурье. Для одномерного массива*с длиной N прямое и обратное преобразования Фурье реализуются по следующим формулам:

Прямое преобразование Фурье переводит описание сигнала (функции времени) из временной области в частотную, а обратное преобразование Фурье переводит описание сигнала из частотной области во временную. На этом основаны многочисленные методы фильтрации сигналов.

Функции одномерного прямого преобразования Фурье

В описанных ниже функциях реализован особый метод быстрого преобразования Фурье — Fast Fourier Transform (FFT, или БПФ), позволяющий резко уменьшить число арифметических операций в ходе приведенных выше преобразований. Он особенно эффективен, если число обрабатываемых элементов (отсчетов) составляет 2т, где т — целое положительное число. Используется следующая функция:

ñfft(X) — возвращает для вектора X дискретное преобразование Фурье, по возможности используя алгоритм быстрого преобразования Фурье. Если X — матрица, функция fft возвращает преобразование Фурье для каждого столбца матрицы;

ñfft(X.n) — возвращает n-точечное преобразование Фурье. Если длина вектора X меньше n, то недостающие элементы заполняются нулями. Если длина X больше п, то лишние элементы удаляются. Когда X — матрица, длина столбцов корректируется аналогично;

ñfft(X,[ Ldirn) и fft(X,n,dim) — применяют преобразование Фурье к одной из размерностей массива в зависимости от значения параметра dim.

Для иллюстрации применения преобразования Фурье создадим трехчастотный сигнал на фоне сильного шума, создаваемого генератором случайных чисел:

»t=0:0.0005:1:

»x=sin(2*pi*200*t)+0.4*sin(2*pi*150*t)

+0.4*sin(2*pi*250*t):

» y=x+2*randn(size(t));

» plot(y(l:100).'b')

Рис. 6.6. Форма зашумленного сигнала

Этот сигнал имеет среднюю частоту 200 рад/с и два боковых сигнала с частотами 150 и 250 рад/с, что соответствует амплитудно-модулированному сигналу с частотой модуляции 50 рад/с и глубиной модуляции 0.8 (амплитуда боковых частот составляет 0.4 от амплитуды центрального сигнала). На рис. 6.6 показан график этого сигнала (по первым 100 отсчетам из 2000). Нетрудно заметить, что из него никоим образом не видно, что полезный сигнал — амплитудно-модулированное колебание, настолько оно забито шумами. Теперь построим график спектральной плотности полученного сигнала с помощью прямого преобразования Фурье, по существу переводящего временное представление сигнала в частотное. Этот график в области частот до 300 Гц (см. рис. 17.6) строится с помощью следующих команд:

» Y=fft(y,1024):

» Pyy=*Y.*conj(Y)/1024;

» f=2000*(0:150)/1024;

» plot(f.Pyy(l:151)).grid

График спектральной плотности сигнала, построенный в этом примере, представлен на рис. 6.7. Даже беглого взгляда на рисунок достаточно, чтобы убедиться в том, что спектрограмма сигнала имеет явный пик на средней частоте амплитудно-модулированного сигнала и два боковых пика. Все эти три частотные составляющие сигнала явно выделяются на общем шумовом фоне. Таким образом, данный пример наглядно иллюстрирует технику обнаружения слабых сигналов на фоне шумов, лежащую в основе работы радиоприемных устройств.

Рис. 6.7. График спектральной плотности приведенного на рис. 6.6 сигнала

Функции многомерного прямого преобразования Фурье

Для двумерного прямого преобразования Фурье используется функция fft2:

ñfft2(X) — возвращает для массива данных X двумерное дискретное преобразование Фурье;

ñfft2(X,m.n) — усекает массив X или дополняет его нулями, чтобы перед выполнением преобразования Фурье создать матрицу размера тхп. Результат — матрица того же размера.

Для многомерного прямого преобразования Фурье также существует функция:

ñfftn(X) — возвращает результат N-мерного дискретного преобразования для массива X размерности N. Если X — вектор, то выход будет иметь ту же ориентацию;

ñfftn(X.siz) — возвращает результат дискретного преобразования для массива X с ограничением размера, заданным переменной siz.

Функция перегруппировки

Функция Y = fftshift(X) перегруппировывает выходные массивы функций fft и fft2, размещая нулевую частоту в центре спектра, что иногда более удобно. Если X — вектор, то Y — вектор с циклической перестановкой правой и левой половин исходного вектора. Если X — матрица, то Y — матрица, у которой квадранты I и III меняются местами с квадрантами II и IV [ Для одно- и двумерных массивов функция fftshift(X) эквивалентна функции rot90{X.2) ]. Рассмотрим следующий пример. Вначале построим график спектральной плотности мощности (рис. 17.8) при одномерном преобразовании Фурье:

» rand('state'.0);

» WhO.001:0.512;

» x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);

» y=x+2*randn(size(t))+0.3;

» Y=fft(y);

» Pyy=Y.*conj(Y)/512:

» f=1000*(0:255)/512:

Рис. 6.8. График спектральной плотности сигнала после одномерного преобразования Фурье

Здесь мы ограничились 512 отсчетами, с тем чтобы использовать эффективны!: метод быстрого преобразования Фурье, при котором число отсчетов должно быт: 2N, где N - целое число. Теперь воспользуемся функцией fftshift:

» Y=fftshift(Y);

» Pyy=Y.*conj(Y)/512;

» p1ot(Pyy).grid

Полученный при этом график представлен на рис. 6.9.

Рис. 6.9. График спектральной плотности того же сигнала после применения функции fftshift

Надо отметить, что этот график дает значения спектральной плотности составляющих спектра не явно от частоты, а как распределение ее значений для элементов вектора Руу.

Функции обратного преобразования Фурье

Возможно одномерное обратное преобразование Фурье, реализуемое следующими функциями:

ñifft(F) — возвращает результат дискретного обратного преобразования Фурье вектора F. Если F — матрица, то if ft возвращает обратное преобразование Фурье для каждого столбца этой матрицы;

ñifft(F.n) — возвращает результат n-точечного дискретного обратного преобразования Фурье вектора F;

ñifft(F.[ ],dim) иу = ifft(X,n,dim) — возвращают результат обратного дискретного преобразования Фурье массива F по строкам или по столбцам в зависимости от значения скаляра dim.

Для любого X результат последовательного выполнения прямого и обратного преобразований Фурье ifft(fft(x)) равен X с точностью до погрешности округления. Если X — массив действительных чисел, ifft(fft(x)) может иметь малые мнимые части.

Пример:

» V=[l 1110000]:

» fft(V)

ans =

Columns 1 through 4

4.0000 1.0000 - 2.41421 0 1.0000 - 0.41421

Columns 5 through 8

0 1.0000 + 0.41421 0 1.0000 + 2.41421

» 1fft(fft(V))

ans =

l 1 1 1 0 0 0 0

Аналогичные функции есть для двумерного и многомерного случаев:

ñifft2(F) — производит двумерное дискретное обратное преобразование Фурье для матрицы F;

ñifft2(F,m,n) — производит обратное преобразование Фурье размерности тхп для матрицы F;

ñifftn(F) — возвращает результат JV-мерного обратного дискретного преобразования Фурье для N-мерного массива F;

ñifftn(F.siz) — возвращает результат обратного дискретного преобразования Фурье для массива F с ограничением размера, заданным вектором siz. Если любой элемент siz меньше, чем соответствующая размерность F, то массив F будет урезан до размерности siz.

⇐ Предыдущая 123 4 5 Следующая ⇒