Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Раздел 2. Функциональные последовательности и функциональные ряды

План лекций по математическому анализу для студентов 2 курса

Факультета математики и информационных технологий

2010/2011

Семестр

 

Название и разделов и тем Всего Виды учебных занятий
Аудиторные занятия Самостоятельная работа
лекции практические занятия, семинар
         

 

Раздел 1. Числовые ряды        
1. Несобственные интегралы        
2. Числовые ряды        
Раздел 2. Функциональные последовательности и ряды        
3. Функциональные последовательности и ряды        
4. Ряды Фурье        
Итого          
             

 

Раздел 1. Числовые ряды

Тема 1. Несобственные интегралы.

 

Несобственные интегралы по бесконечному промежутку и от неограниченных функций, вычисление интегралов.Замена переменной, интегрирование по частям.

Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимость

 

Тема 2. Числовые ряды.

 

Понятие числового ряда. Частичные суммы числового ряда. Сходящиеся числовые ряды. Геометрическая прогрессия. Гармонический ряд. Необходимое условие сходимости числового ряда. Критерий Коши сходимости числовых рядов.

Знакоположительные ряды. Необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного ряда. Признаки сходимости знакоположительных рядов (признак сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши-Маклорена, признак Раабе, признак Гаусса).

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Признаки Абеля, Дирихле.

Арифметические операции над сходящимися рядами. Бесконечные произведения и их сходимость. Двойные и повторные ряды. Суммирование числовых рядов.

Раздел 2. Функциональные последовательности и функциональные ряды

 

Тема 3. Функциональные последовательности и ряды.

 

Функциональные последовательности. Поточечная и равномерная сходимость функциональных последовательностей. Критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей. Теоремы о непрерывности предельной функции, почленное интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей.

Функциональные ряды. Равномерная сходимость функциональных рядов. Достаточные условия равномерной сходимости функциональных рядов (признак Вейерштрасса, признаки Абеля и Дирихле).

Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Теорема Абеля о степенных рядах. Разложение функций в степенной ряд.

Ряд Тейлора. Достаточное условие разложения функции в степенной ряд. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора.

Применение рядов в приближенных вычислениях.

Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами.

 

Тема 4. Ряды и интегралы Фурье.

 

Ортонормированные системы функций. Ряды Фурье по ортонормированным системам. Неравенство Бесселя. Замкнутость и полнота ортонормированных систем. Равенство Парсеваля. Тригонометрическая система и её замкнутость.

Тригонометрический ряд Фурье. Условия равномерной сходимости и сходимости в точке. Условия почленного дифференцирования и интегрирования.

Преобразование Фурье. Свойства преобразования Фурье. Понятие об обратном преобразовании Фурье. Интеграл Фурье.

 

 

План практических занятий по математическому анализу для студентов 2 курса факультета математики и информационных технологий

2011/2012

3 семестр

 

1. Повторение темы «Интегрирование».

2. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку и их вычисление.

3. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку. Замена переменной,

интегрирование по частям.

4. Признак сравнения несобственных интегралов по бесконечному промежутку.

5. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Замена переменной,

интегрирование по частям.

6. Признак сравнения несобственных интегралов от неограниченных функций.

7. Несобственные интегралы. Признаки сходимости несобственных интегралов.

 

Индивидуальная домашняя контрольная работа №1 (типовой расчет)

по теме «Несобственные интегралы».

 

8. Числовой ряд и его сумма. Исследование сходимости числовых рядов по

определению.

9. Критерий сходимости знакоположительных числовых рядов. Необходимое условие

сходимости. Критерий Коши сходимости рядов.

10. Признаки сходимости знакоположительных рядов. Признак Даламбера.

Радикальный признак Коши.

11. Признак сравнения сходимости знакоположительных рядов.

12. Признак Раабе, признак Гаусса сходимости знакоположительных рядов.

Интегральный признак Коши-Маклорена сходимости знакоположительных рядов.

13. Оценка остатка знакоположительного ряда. Другие признаки сходимости

знакоположительных рядов (признак сравнения Коши, логарифмический

признак).

14. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося

ряда. Признаки Абеля и Дирихле.

15. Решение задач по теме «Числовые ряды».

Индивидуальная домашняя контрольная работа №2 (типовой расчет)

по теме«Числовые ряды».

16. Контрольная работа № 1 по теме «Числовые ряды».

 

17. Функциональные последовательности. Сходимость функциональных

последовательностей.

18. Равномерная сходимость функциональных последовательностей.

19. Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость функциональных

рядов.

20. Степенные ряды.

21. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

22. Ряд Тейлора. Разложение функций в ряд Тейлора.

23. Разложение функций в ряд Тейлора.

24. Суммирование степенных рядов. Вычисление сумм числовых рядов.

Индивидуальная домашняя контрольная работа №3 (типовой расчет)

по теме«Функциональные последовательности и ряды».

25. Контрольная работа N 2 по теме «Функциональные последовательности и ряды».

26. Ряды Фурье.

27. Ряды Фурье.

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Зорич В.А. Математический анализ.Учебник.Ч.II - М.: Наука,1984.- 640с.

2. Камынин Л.И. Курс математического анализа.Т.II. Учебник.- М.: Изд-во МГУ,1995.- 624с.

3. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ.

Продолжение курса. Под ред. А.Н.Тихонова.- М.: Изд-во МГУ, 1987.-

358 с.

4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (в двух томах). - М.: Высшая школа,1981.- т. I -;т.II – 584 с.

5. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу: Учебник для университетов и педвузов. М.: Высшая школа, 1999. -695 с.

6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.-М.:Наука,1987.

7. Виноградова И.А.,Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. В 2 кн. Кн. 2. Ряды, несобственные интегралы, кратные и поверхностные интегралы. М.: Высшая школа, 2000.- 712с.

8. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты): Учеб.пособие для втузов.- М.: Высш.школа, 1983.- 175 с.

9. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: Учеб.пособие. В 3 ч. Ч.3/ Под ред. А.П. Рябушко.- Мн.: Выш. Шк., 1991.- 228с.

 

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа.- М.: Наука,1967, т.1-2.

2. Никольский С.М. Курс математического анализа.- М.: Наука,1973, т.1-2.

3. Будак О.М.,Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1967.-608 с.

4. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды. М.: Наука,1986.

5. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика.- 2-е изд..- М.: Физико-математическая литература, 2001.- 368с. (Решебник)

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика

в упражнениях и задачах. В 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986.

7. Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление

в примерах и задачах. Функции одной переменной.- М.: Наука,1973.

 

Вопросы к экзамену по математическому анализу для студентов 2 курса механико-математического факультета

Ульяновского государственного университета

2011-2012

3 семестр

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...