Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Свойства плотности распределения

Л Е К Ц И Я

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для бакалавров направления 080100.62 «Экономика»

Тема № 2. Случайные величины и их законы распределения.

Занятие № 2.7 Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Вид занятия: лекция (10)

Литература: Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб.пособие для вузов.-8-е изд.,стер.-М.:Высш.шк.,2002-479 с. (116-122).

Владимир 2012

ПЛАН

проведения занятия

№ п/п	Учебные вопросы занятия	Время, мин.
I. II	Вводная часть: Объявление темы, темы занятия. Постановка учебных целей занятия. Основная часть.	2-3
	1. Определение и свойства плотности распределения. 2. Взаимосвязь функции и плотности распределения вероятностей. 3. Вероятностный смысл плотности распределения. 4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.
	Заключительная часть	2-3
	Подведение итогов занятия. Выдача задания на самостоятельную работу.

Материал основной части лекции.

1. Определение и свойства плотности распределения.

Определение плотности распределения

Выше непрерывная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией)..

Плотностью распределения вероятностей непрерывной

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Свойства плотности распределения

Свойство 1. Плотность распределения — неотрицательная функция:

Доказательство. Функция распределения — неубывающая функция, следовательно, ее производная

Рис. 1

отрицательная.

Геометрически это свойство означает, что точки, принадлежащие графику плотности распределения, расположены либо над осью Ох, либо на этой оси.

График плотности распределения называют кривой распределения.

Свойство 2.Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - ∞ до + ∞ равен единице:

Доказательство.Несобственный интеграл

том, что случайная величина примет значение, принад-

достоверно, следовательно, вероятность его равна единице.

Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна единице.

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то

Пример. Плотность распределения случайной величины Х задана:

Найти постоянный параметр а.

Решение. Плотность распределения должна удовлетворять ус-

венство

Отсюда

Найдем неопределенный интеграл:

Вычислим несобственный интеграл:

Таким образом, искомый параметр