Типовой расчет № 1 «Пространства и операторы»
И.В.Блинова, И.Ю. Попов, Е.С.Трифанова ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ По функциональному анализу
Санкт-Петербург Блинова И.В., Попов И.Ю., Трифанова Е.С. Типовые расчеты по функциональному анализу. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2011. – 24 с.
Методическое пособие содержит два типовых расчета по функциональному анализу. Предназначено для студентов третьего курса ЕНФ и ИТиП, обучающихся по направлению 01.04.00 (Прикладная математика и информатика).
Рекомендовано к печати Советом естественнонаучного факультета СПбГУ ИТМО 01.03.2011 (протокол № 2)
В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория « Национальный исследовательский университет ». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена Программа развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики» на 2009–2018 годы.
Ó Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2011
Ó Блинова И.В., Попов И.Ю., ТрифановаЕ.С., 2011 Типовой расчет № 1 «Пространства и операторы» I. Проверить, образует ли
Решение. Для того чтобы определить, является ли данное пространство метрическим, нужно проверить, удовлетворяет ли заданная функция расстояния 1) 2) 3) Для данной функции
Введем обозначения
Полученное неравенство следует из неравенства Коши-Буняковского:
Имеем
что равносильно неравенству (2). Следовательно, все три аксиомы выполнены, и данное пространство является метрическим. II. Проверить, можно ли ввести норму в пространстве Решение. Для того чтобы определить, может ли заданная функция 1) 2) 3) Для данной функции
Условие 3) также выполнено:
Следовательно, функция III. В пространстве Решение. Обозначим и найдем коэффициенты разложения
Умножим это равенство скалярно сначала на
Вычислим скалярные произведения, зная, что
Для решения системы (4) воспользуемся формулами Крамера. Определители системы
Тогда
И окончательно,
IV. Показать, что оператор Решение. Докажем ограниченность оператора при Норма оператора
V. Найти точечный спектр и собственные функции оператора A: Решение. Запишем уравнение для определения собственных значений и собственных функций:
то есть
Его решения будут разными в зависимости от знака выражения
1)
Удовлетворим граничным условиям: Отсюда следует, что 2) 3)
Подставляя краевые условия, получим
Соответствующие собственные функции (принадлежащие
VI. Проверить, является ли оператор двукратного дифференцирования
Решение. Оператор
Возьмем
то есть
Так как
Полученное верное равенство равносильно симметричности оператора Пусть
Это условие аналогично условию (7), но
Поскольку
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|