 |
Кристаллографические системы координат
|
|
|
|
ИЕРАРХИЯ СИММЕТРИЧНОСТИ
Рассмотрим такой иллюстративный пример: наш глаз самой природой устроен так, чтобы быстро и безошибочно, без учебников и правил, замечать главные различия в форме предметов. Всякий с первого взгляда отличит друг от друга кубик, карандаш, гайку, линейку, спичечный коробок. Проанализируем как мы делаем эти различия.
У кубика длина, ширина и высота одинаковы, иначе говоря, облик кубика изометрический.
Карандаш имеет облик удлиненный, столбчатый, а гайка – таблитчатый. И у карандаша и у гайки два размера - длина и ширина - примерно одинаковы; третий размер – высота, значительно отличается от первых двух.
Облик коробка, как и линейки, правильно назвать уплощенным: все три измерении – длина, ширина, высота - различны.
Все названные предметы отличаются по симметрии.
Предмет, у которого высота, длина и ширина различны, не может иметь осей симметрии порядка выше 2-го. Это относится к коробку и линейке.
Облик шестигранного карандаша, как и гайки, определяется наличием единственной оси L6.
Что касается кубика, то в нем есть несколько осей высшего (L3, L4, L6) порядка.
Категории симметрии
До сих пор мы ограничивались качественной оценкой симметрии. Последние примеры подсказывают, как можно различать предметы по степени симметричности. Видимо, кубик, как "симметричный со всех сторон", надо считать наиболее симметричным; симметрию гайки и карандаша следует признать средней; а линейки и коробка - самой низкой. Из приведенного примера видно, что различия симметрии сводятся к числу осей высшего порядка - L3, L4, L6. Учитывая их важную роль, мы будем называть эти оси главными. Отсюда возникает следующая иерархия симметричности идеальных кристаллов:
|
|
|
1. Высшая категория: главных осей несколько, как в кубе. Сюда попадут галит и магнетит (рис. 3, а, б). Кристаллы высшей категории изометричны и обязательно имеют по четыре оси L3.
2. Средняя категория: главная ось только одна, как у карандаша и гайки. Сюда относятся кристаллы с единственной осью высшего порядка, например, кварц (рис. 3, в). Для них характерны столбчатые и таблитчатые облики.
3. Низшая категория: главных осей нет совсем, как у коробка и линейки. Сюда попадут кристаллы уплощенного и асимметричного обликов, например, гемиморфит, аксинит (рис. 3, г, д).
За основу классификации кристаллов принята их симметрия. Это обусловлено тем, что симметрия тесно связана с главным в кристаллах - правильностью их внутреннего строения. Облик кристалла является производным, второстепенным по отношению к симметрии.
Кристаллографические сингонии
До сих при характеристике облика кристалла мы принимали во внимание только соотношение длины, ширины и высоты. Введем еще один признак – наличие или отсутствие перекосов. При этом возникает новое понятие – габитус кристалла.
Габитус (англ., франц. habit от лат. habitus — "внешность, вид, облик, наряд") — в кристаллографии — вариации формы одной и той же структуры, например: ромба, куба, призмы, додекаэдра. Габитус определяет разновидности симметрии кристаллических образований.
Габитусные углы – углы между гранями кристалла.
Еще раз вернемся к знакомым нам кристаллам, учитывая понятие габитус.
Кристалл аксинита (рис. 3, д) перекошен со всех сторон, а кристалл гипса (рис. 5, а) - только в "профиль". Кристаллы гемиморфита и арагонита (рис. 3, г и 5, б) совсем не имеют перекосов: габитусные углы попарно симметричны, и нетрудно заметить, что это связано с наличием достаточного числа осей 2-го порядка и плоскостей симметрии. По прочим признакам все названные кристаллы относятся к низшей категории.
|
|
|
В средней категории все кристаллы без перекосов (рис. 5), но габитусные углы зависят от порядка главной оси: 3-го, как у диоптаза, 4-го, как у апофиллита, или 6-го, как у берилла.
В высшей категории габитусные углы симметричны со всех сторон (рис 3, а,б).
По подобию габитусных углов все кристаллы подразделяются на семь кристаллических систем, или кристаллографических сингонии (от греческого слова «сингония», означающего "сходноугольность").
В высшей категории окажется одна сингония, называемая кубической. Поскольку она единственная, ее признаки совпадут с признаками высшей категории кристаллов.
Средняя категория в зависимости от порядка главной оси разделится на три сингонии: гексагональную ("шестиугольную"), тригональную ("треугольную") и тетрагональную ("квадратную").
Низшая категория (главные оси отсутствуют) делится на ромбическую сингонию, в которой кристаллы не имеют "перекосов", моноклинную - с перекосом только в одной проекции (в профиль) и триклинную, где кристаллы перекошены, асимметричны со всех сторон.
Кристаллографические системы координат
В кристаллографии, как и в любой точной науке, широко используются строгие математические методы и приемы. Один из этих методов - введение кристаллографической системы координат (рис. 6).
За начало координат принимается геометрический центр идеализированного кристалла, а оси направляются вдоль важнейших ребер или по главным осям симметрии. Такая система координат отличается от широко известной прямоугольной системы тем, что углы между осями - не обязательно прямые, а зависят от габитусных углов каждого конкретного кристалла.
В кристаллографической системе координат кристалл всегда располагается так чтобы главная ось проходила вертикально. Если главной оси нет, кристалл поворачивается так, чтобы вертикальной оказалась группа наиболее выраженных параллельных ребер. Тогда одна из координатных осей также займет вертикальное положение. Этой координатной оси присвоено обозначение III.
Две другие оси задаются следующим образом: одна направляется к наблюдателю и называется осью I. Другая ось направляется вправо, и называется осью II. (На всех предыдущих рисунках нашего курса (рис. 1 – 5) кристаллы изображены именно в такой "кристаллографической установке").
|
|
|
Координатная система характеризуется:
- отрезками осей а, b, с от центра до пересечения с гранями;
- углами α, β, γ между осями
Получается "осевой крест" - что-то вроде скелета кристалла, выражающего общий характер симметрии.
При классификации кристаллов осевой крест избавляет исследователя от необходимости входить в подробности формы каждого экземпляра со всеми его гранями, ребрами и вершинами.
В зависимости от величины отрезков, отсекаемых гранями кристалла по осям и углов между осями возможны следующие 6 типов осевых крестов:
-тип 1 - все отрезки равны, все углы прямые: а=b=с, α=β=γ=90° (рис. 6, а). Кристаллы с такими осевыми крестами могут быть только в кубической сингонии;
-тип 2 - углы прямые, но равны только два отрезка: а=b≠с, α=β=γ= 90° (рис. 6, б) - тетрагональная сингония;
-тип 3 - все отрезки различны: а≠b≠с, углы прямые: α=β=γ= 90° - ромбическая сингония (рис. 6, в);
-тип 4 - все отрезки различны: а≠b≠с, один из углов непрямой: α=γ=90°, β>90° (рис. 6, г). "Перекос" в одном направлении говорит о принадлежности к моноклинной сингонии;
Рис. 6. Осевые кресты в кубической (a), тетрагональной (б), ромбической (в), моноклинной (г), триклинной (д), тригональной и гексагональной (е) сингониях
-тип 5 - все отрезки различны: а≠b≠с, все углы непрямые: α>90°, β>90°, γ>90° - триклинная сингония (рис. 6, д);
-тип 6. Для кристаллов с единственной главной осью L3 или L6 удобнее четырехосная система координат (рис. 6, е), в которой три равные оси лежат в горизонтальной плоскости под углами 120° друг к другу, а четвертая перпендикулярна им и совпадает с главной осью кристалла. Такая система координат применяется для кристаллов тригональной и гексагональной сингонии*.
*В некоторых литературных источниках (чаще всего устаревших) гексагональная и тригональные сингонии объединяются в одну с выделением тригональной и гексагональной подсингоний.
|
|
|
