 |
п.5.1. Геометрическое приложение определенного интеграла.
|
|
|
|
Тема 5. Геометрический смысл определенного интеграла.
(см. Рис. 1.)
Рис. 1
(см. Рис. 2)
Рис. 2.
(см. Рис. 3.)
Рис. 3.
п.5.1. Геометрическое приложение определенного интеграла.
1) Вычисление площади криволинейной трапеции
1) Пусть функция 
неотрицательна и непрерывна на отрезке 
. Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью 
, слева и справа – прямыми 
и 
(см. рис. 1) вычисляется по формуле
. (1)
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линией 
и осью .
Рис. 6
Решение. Графиком функции 
является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 6). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью (прямой 
). Для этого решаем систему уравнений
Получаем: 
, откуда 
, 
; следовательно, 
, 
.
Площадь фигуры находим по формуле (1):
(кв. ед.).
2) Если функция неположительна и непрерывна на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью , слева и справа – прямыми и , вычисляется по формуле
. (2)
3) В случае если функция непрерывна на отрезке и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 7) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:
Рис. 7
. (3)
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью и графиком функции 
при 
.
Рис. 8
Решение. Сделаем чертеж (рис. 8). Искомая площадь представляет собой сумму площадей 
и 
. Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему 
Получим 
, 
. Следовательно:
;
.
Таким образом, площадь 
заштрихованной фигуры равна
|
|
|
(кв. ед.).
4) Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке функций 
и 
,
а слева и справа – прямыми и (рис. 9).
Рис. 9
Тогда ее площадь вычисляется по формуле
. (4)
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
.
Рис. 10
Решение. Данная фигура изображена на рис. 10. Площадь ее вычислим по формуле (4). Решая систему уравнений 
находим 
, ; следовательно, 
, 
. На отрезке 
имеем: 
. Значит, в формуле (4) в качестве 
возьмем x, а в качестве 
– 
. Получим:
(кв. ед.).
5) Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , 
, 
.
Рис. 11
Решение. Сделаем чертеж (рис. 11). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью , слева и справа – прямыми 
и , сверху – графиками функций и . Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой 
на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий и ). Площадь каждой из этих частей находим по формуле (1):
(кв.ед.); 
(кв. ед.).
Следовательно:
(кв. ед.).
6) В заключение отметим, что если криволинейная трапеция ограничена прямыми 
и 
, осью 
и непрерывной на 
кривой 
(рис. 12),
Рис. 12
то ее площадь находится по формуле 
.
Примеры.
2) Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
При введении понятия определённого интеграла 
предполагалось, что выполняются следующие два условия:
а) пределы интегрирования a и b являются конечными;
б) подынтегральная функция 
ограничена на отрезке .
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным.
Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
|
|
|
Определение. Пусть функция 
определена и непрерывна на промежутке 
, тогда
(8)
называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (несобственным интегралом I рода).
Если 
существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если данный предел не существует или равен 
, то несобственный интеграл называется расходящимся.
!!! Геометрически несобственный интеграл 
от неотрицательной функции 
выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу – осью , слева – отрезком прямой 
и неограниченной справа (рис. 18).
Рис. 18
(!!! Если несобственный интеграл сходится, то эта площадь является конечной; если несобственный интеграл расходится, то эта площадь бесконечна)
Определение. Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования:
. (9)
Этот интеграл сходится, если предел в правой части равенства (9) существует и конечен; в противном случае интеграл называется расходящимся.
Определение. Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется следующим образом:
(10)
где с – любая точка интервала 
. Интеграл 
сходится только в том случае, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства (10).
Пример. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Решение. а) 
, следовательно, данный интеграл расходится;
б) 
. Так как при 
предел 
не существует, то интеграл 
расходится;
в) 
Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно 
;
г) 
= [выделим в знаменателе полный квадрат: 
] = 
[замена: 
] = 
Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно 
.
3) Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Пусть функция непрерывна на конечном промежутке 
, но не ограничена на этом промежутке.
Определение. Несобственным интегралом от функции у=f(x) на промежутке 
называется предел 
, т.е.
. (11)
Если предел, стоящий в правой части равенства (11) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Интеграл (11) иногда называют несобственным интегралом второго рода.
|
|
|
Определение. Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции непрерывной, но не ограниченной на промежутке 
:
. (12)
Определение. Если функция не ограничена при 
, где 
, и непрерывна при 
и 
, то несобственный интеграл от функции у=f(x) на отрезке 
обозначается 
и определяется равенством
. (13)
Несобственный интеграл (13) называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства (13). В противном случае данный интеграл называется расходящимся.
Пример. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
а) 
; б) 
.
Решение: а) данный интеграл является интегралом от неограниченной функции (подынтегральная функция 
не определена в точке , при 
эта функция неограниченно возрастает).
По определению имеем
[замена: 
] = 
, следовательно, данный интеграл сходится.
б) по определению
.
Значит, данный интеграл является расходящимся.
|
|
|
