Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
Теорема 11.1. (Пуассона) Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А наступает с вероятностью р. Тогда, если число испытаний неограниченно возрастает, а p →0, причём n∙p=a – величина постоянная, то P n (k)
P n (k)= Отсюда P n (k)= По условию a=n∙p P n (k)= = = Переходя к пределу при n →∞
Замечание 11.2. Теоремой Пуассона удобно пользоваться, когда p →0, причём a=n∙p Формула Бернулли удобна, когда значение n не очень велико. В противном случае используют приближенные формулы из теорем Муавра-Лапласа. Теорема 11.3. (локальная теорема Муавра-Лапласа) Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянна и отлична от 0 и 1, т.е.0< p <1, то вероятность того, что событие A появится ровно k раз в n независимых испытаниях P n (k) Имеются специальные таблицы значений функции Теорема 11.4. (интегральная теорема Муавра-Лапласа) Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянна и отлична от отлична от 0 и 1, т.е. 0< p <1, то вероятность того, что событие А появится от k1 до k2 раз в n независимых испытаниях, определятся выражением: P n (k1,k2) Функция Лапласа – нечётная, т.е. Пример 11.5. Пусть вероятность события А в каждом отдельном испытании p =0,8. Найти вероятность того, что событие А появится 75 раз в 100 независимых испытаниях.
Тогда вероятность P100(75) Пример 11.6. Вероятность Р(А) появления события А в одном испытании равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А появится более 69 раз в 100 независимых испытаниях.
По интегральной теореме Муавра-Лапласа Случайные величины Определение 12.1. Случайной величиной Хназывается функция Х(ω), отображающая пространство элементарных исходов Ω во множество действительных чисел Пример 12.2. Дважды подбрасывается монета. Рассмотрим случайную величину Х – число выпадений герба, определённую на пространстве элементарных исходов Ω={(г,г),(г,p),(p,г),(p,p)}. Множество возможных значений случайной величины Х-{0,1,2}. Составим таблицу
Одной из важнейших характеристик случайной величины является её функция распределения. Определение 12.3. Функцией распределения случайной величины Хназывается функция F(x)=F X (x) действительной переменной х, определяющая вероятность того, что случайная величина X примет в результате эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа х F(x)=P{ X< x }=P{ X Замечание 12.4. Если рассматривать случайную величину Х как случайную точку на оси O x, то функция распределения F(x) с Свойства функции распределения Свойство 12.5. Функция распределения F(x) – неубывающая функция, т.е.для
Т.к. P{ Свойство 12.6. Для Замечание 12.7. Если функция распределения F(x) – непрерывная, то свойство 12.6 выполняется и при замене знаков Свойство 12.8.
Свойство 12.9. Функция распределения F(x) непрерывна слева (
P(Ω)=1= F(x)+ P{ X
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|