 |
Пояснения к лабораторной работе 1.
|
|
|
|
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1.
СРАВНЕНИЕ ДВУХ СЕРИЙ ИЗМЕРЕНИЙ.
Заданы результаты двух серий измерений (две случайные выборки).
I. Обработка результатов экспериментов.
1. Записать выборку объема n=n1+n2 в виде группированного статистического ряда. Для этого интервал, содержащий все элементы выборки, разбить на k непересекающихся интервалов. Вычислить частоты, частости. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
2. Построить гистограмму и полигон частот группированной выборки.
3. Найти моду и медиану объединённой выборки по группированному статистическому ряду, сравнить их с модой и медианой негруппированного статистического ряда этой выборки.
II. ТОЧЕЧHЫE OЦEHKИ ПAPAMETPOB.
Найти по каждой серии оценку математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения.
III. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ.
Построить доверительные интервалы для полученных оценок при заданной доверительной вероятности (надежности) Р = 0.95.
IV. ПРОBEPKA CTATИCTИЧECKИX ГИПОТЕЗ.
Проверить:
1. Гипотезу о равенстве дисперсий (критерий Фишера);
2. Гипотезу о равенстве математических ожиданий (критерий Стьюдента);
3. Гипотезу о нормальном распределении объединенных данных двух выборок (c2-критерий Пирсона).
При проверке гипотез с помощью критериев Фишера и Стьюдента рассчитать сводные значения оценок математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения, а также оценку среднеквадратического отклонения по объединенной выборке объема n=n1+n2. Для проверки гипотезы с помощью критерия Пирсона рассчитать границы интервалов равной вероятности Р = 
, где L задано в условии курсовой работы (самую левую границу взять -¥, самую правую ¥).
|
|
|
По всем гипотезам сделать выводы.
Условие варианта содержит:
· число измерений n;
· результаты измерений первой и второй серий;
· L - число интервалов равной вероятности для проверки гипотезы Пирсона.
При выполнении работы принять следующие обозначения:
– оценка математического ожидания по 1 и 2 сериям;
– оценка дисперсий по 1 и 2 сериям;
S1, S2 – оценка среднеквадратического отклонения по 1 и 2 сериям;
– сводные оценки математического ожидания и стандартного отклонения;
Sоб – оценка стандартного отклонения по объединенным данным;
F* – вычисленное значение критерия Фишера;
T* – вычисленное значение критерия Стьюдента;
* – вычисленное значение критерия Пирсона.
В конце задания необходимо сделать выводы по гипотезам и привести окончательные числовые результаты в виде таблицы:
| S1 | F* |
| S2 | T* |
| 
|  *
|
Пояснения к ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 1.
I. Обработка результатов эксперимента.
Одной из основных задач математической статистики является сбор и группировка статистических сведений, полученных в результате наблюдений или эксперимента. Совокупность данных называется выборкой, их количество – объемом выборки, разность между большим и меньшим элементами – размахом выборки. При достаточно большом объеме выборки неудобно представлять наблюдения перечислением. В этом случае используется понятие статистического ряда или группированного статистического ряда. В данной работе необходимо рассмотреть выборку объема n = n1 + n2, где n1 – число данных по первой серии измерений, n2 – по второй серии и записать ее в виде группированного статистического ряда. Для этого интервал, соответствующий размаху выборки и содержащий все ее элементы, разбить на k непересекающихся интервалов (k находится по формуле 
с округлением до ближайшего целого значения). Вычислить частоты zi – количество данных по двум сериям, попавших в i - тый интервал и относительные частоты (частости) 
. Относительная частота является точечной оценкой вероятности попадания в i -тый интервал. Если элемент совпадает с верхней границей интервала, то его нужно отнести к последующему интервалу, если он совпадает с нижней границей, то он учитывается в данном интервале. После вычислений необходимо проверить условия 
, где n – объем выборки. Затем вычисляются накопленные частоты 
- количество элементов, попавших в интервалы с 1-го по i – тый и относительные накопленные частоты 
, где j – указывает номер интервала, 
- частота элементов в j – том интервале. Относительные частоты характеризуют эмпирическую плотность распределения, а накопленные относительные частоты – эмпирическую функцию распределения. Затем все результаты сводятся в таблицу, называемую таблицей частот группированной выборки:
|
|
|
| Номер интервала | Границы интервала | Середина интервала | Частота zi | Накопленная частота | Относитель-ная частота | Накопленная относитель-ная частота |
По результатам второго и последнего столбца таблицы строят график эмпирической функции распределения, а по результатам второго и четвертого – полигон частот. Для построения гистограммы дополнительно вычисляют плотности частот 
, где l – длина интервала, 
– частота элементов в i – том интервале. Таким образом, гистограмма состоит из прямоугольников с основаниями равными l и высотой .
II. Точечные оценки параметров.
Точечной оценкой неизвестного параметра называют приближенное значение этого параметра, полученное по данным выборки, вычисленное с помощью определенных формул и описанное одним числом.
Пусть в результате эксперимента проведены две серии измерений и в каждой серии получены n значений: x1, x2, …, xn. Для каждой серии измерений необходимо рассчитать статистическое среднее 
, статистическую дисперсию 
и эмпирический стандарт S по следующим формулам:
,
где n – число измерений в каждой серии, равное n1 или n2.
При вычислении статистической дисперсии 
деление на n–1 обусловлено выполнением требования несмещенности оценки.
|
|
|
Таким образом, на первом этапе выполнения работы должны быть получены 6 точечных оценок: для первой серии - 
= S1; для второй серии - 
= S2.
При выборке малого объема точечная оценка может серьезно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. Поэтому при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.
III. Интервальные оценки параметров.
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – границами интервала. Интервальная оценка связана с понятием доверительного интервала. Для построения доверительного интервала необходимо знать вероятность попадания в этот интервал. Она называется надежностью, в данной работе задается Р=0.95. Число a=1–Р=0.05 называется уровнем значимости.
Необходимо построить доверительные интервалы по каждой серии измерений для математического ожидания и среднеквадратического отклонения, предполагая, что результаты измерений независимы и имеют нормальное распределение с одинаковыми параметрами m и s.
Для математического ожидания доверительный интервал имеет вид:
,
где 
- квантиль распределения Стьюдента с k = n–1 степенями свободы.
В зависимости от числа степеней свободы k и параметра 
= 1–0.025 = 0.975 квантиль считывается из таблиц, приведенных в Приложении. Параметры 
выбираются из соответствующей серии измерений.
При построении доверительного интервала для среднеквадратического отклонения используют известный результат для дисперсии. Выполнив соответствующие преобразования, получают интервал:
,
где 
- квантиль 
-распределения (или Пирсона), считывается из таблиц Приложения в зависимости от числа степеней свободы k = n–1 и параметра р; S, n выбираются из соответствующей серии измерений.
В работе рассчитываются границы доверительных интервалов для оценок m1, s1 первой серии измерений и для m2, s2 второй серии.
Замечание: вычисляемое математическое ожидание может рассматриваться как приближение истинного значения измеряемой величины, а стандартное отклонение характеризует абсолютную погрешность измерений. Доверительные интервалы показывают степень близости полученных оценок к истинным значениям соответствующих величин.
|
|
|
IV. Проверка гипотез.
Во многих случаях результаты наблюдений используются для проверки предположений относительно различных свойств и параметров распределения генеральной совокупности. Такие предположения называются статистическими гипотезами. Правило, по которому принимают решение принять или отклонить поставленную гипотезу, называется критерием. В работе проверяются 3 гипотезы: о равенстве дисперсий (критерий Фишера), о равенстве математических ожиданий (критерий Стьюдента) и о нормальности распределения объединенных данных (
- критерий или Пирсона).
1.Проверить гипотезу о равенстве дисперсий (критерий Фишера).
Проверяемая гипотеза Н0 –дисперсии обеих серий равны. Пусть 
- оценки дисперсий по первой и второй сериям измерений с числом степеней свободы k1 = n1-1 и k2 = n2-1 соответственно. Разделив большую эмпирическую дисперсию на меньшую, составим статистику 
и сравним ее с квантилью распределения Фишера 
, где p = 
= 0.975, k1=n1-1, k2=n2-1 - число степеней свободы. - выбирается из соответствующих таблиц, приведенных в Приложении. Если полученное значение F* больше табличного (F* > F), то следует признать расхождение 
значительным (т. е. отвергнуть гипотезу о равенстве дисперсий в двух сериях измерений), в противном случае (F* < F) гипотезу о равенстве дисперсий принимают, как не противоречащую результатам измерений (с уровнем значимости 5%). После проверки гипотезы вычислить сводную оценку дисперсии
.
Замечание: сравнивая дисперсии, определяем, одинакова ли погрешность измерений в двух сериях.
2.Проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий (критерий Стьюдента).
Проверяемая гипотеза Н0 – математические ожидания обеих серий равны. Пусть 
- оценки математических ожиданий по двум сериям. Причём в зависимости от выводов, сделанных по результатам проверки гипотезы Фишера имеем два варианта проверки этой гипотезы.
а). Гипотеза о равенстве дисперсий принимается (не отклоняется).
Составим статистику – отношение Стьюдента 
, где 
. Полученное значение T* необходимо сравнить с вычисленной по таблице квантилью распределения Стьюдента Tтабл(p, k), где р = , k = n1 + n2 - 2.
Если | T | > Tтабл(p, k), то гипотезу о равенстве математических ожиданий отвергают, как противоречащую результатам эксперимента, в противном случае – гипотезу принимают.
в). Гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется.
В этом случае статистика – отношение Стьюдента имеет вид 
.
|
|
|
Полученное значение T* необходимо сравнить с вычисленной по таблице квантилью распределения Стьюдента Tтабл(p, k), где р = , k = 
.
Далее проверка проводится так же, как в случае а). После проверки гипотезы необходимо вычислить сводную оценку математического ожидания по формуле:
Замечание: если гипотеза о равенстве математических ожиданий принимается, то это можно трактовать как принадлежность обеих выборок одной и той же нормальной совокупности.
3.Проверить гипотезу о нормальном распределении объединенных данных из двух серий (критерий Пирсона или ).
Проверяемая гипотеза Н0 – генеральная совокупность распределена нормально.
По объединенной выборке наблюдений необходимо найти оценки параметров предполагаемого нормального распределения: 
, где найдена при проверке критерия Стьюдента, 
вычисляется по объединенной выборке из двух серий. Затем область всех значений случайной величины Х разбивается на L интервалов равной вероятности, т.е. такие, вероятность попадания измеряемой величины в каждый из которых одинакова и равна p = 1/L. При этом левая граница выбирается -¥, а правая +¥ (см. пояснения). Подсчитав ni – число попаданий измеряемой величины в i - й интервал (по двум сериям), вычислим статистику
= 
, где n=n1+ n2 , p = 
.
Полученное значение необходимо сравнить с табличной квантилью распределения Пирсона 
при уровне значимости a = 5% с k = L-3 степенями свободы. Если 
, то можно считать, что при заданном уровне значимости a = 5% гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности не противоречит результатам эксперимента. В противном случае гипотезу отвергают. На практике необходимо повторить измерения величины Х.
|
|
|
