 |
Часть 2 Математический анализ
|
|
|
|
Задания для контрольных работ
Часть 1 Алгебра и геометрия
Раздел 1.1 Множества. Комплексные числа. Элементы общей алгебры
Задание 1.1.1
Выполнить указанные операции над множествами 
подмножествами множества N натуральных чисел.
Вариант 6 
.
Задание 1.1.2
Найти сумму, произведение и частное чисел 
и 
.
Вариант 6 
, 
.
Задание 1.1.3
Решить уравнения.
Вариант 6 а) 
; б) 
.
а). 
б). 
Итак, 
В тригонометрической форме 
Тогда 
Задание 1.1.4
Найти все нули многочлена и разложить его на неприводимые множители с действительными коэффициентами, если известен один из его нулей .
Вариант 6 
, 
.
Решение:
Поскольку 
является нулем многочлена, то и 
является нулем многочлена, то есть многочлен делится на 
где 
Разделим заданный многочлен на 
Получим 
Задание 1.1.5
Даны многочлены 
и 
.
Требуется:
а) подобрать целые нули многочлена среди делителей свободного члена;
б) разложить многочлен на линейные и неприводимые квадратичные множители с действительными коэффициентами;
в) разложить многочлен на линейные множители;
г) представить дробь 
в виде суммы простейших дробей с действительными коэффициентами.
Вариант 6 
, 
.
а). делителями свободного члена являются 1,-1,3,-3
подставляя эти числа,получаем: целым нулем многочлена является z=3
б) итак, z=3 является нулем заданного многочлена, разделим многочлен на z-3. получим
Разложим на множители многочлен 
Его целым нулем является z=-1
Разделим многочлен на z+1: 
Поскольку корни многочлена 
- не являются действительными числами, разложение исходного многочлена заданным образом выглядит:
в) разложим на множители многочлен .
Его корни: 
|
|
|
Таким образом 
г) Дробь 
является правильной, и может быть представлена в виде суммы простейших дробей (метод неопределенных коэффициентов):
Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю, получим
Из равенства дробей и знаменателей этих дробей следует равенство и числителей, то есть:
3
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 
, получим систему:
Решая систему, получим:
то есть
Раздел 1.2 Линейная алгебра
Задание 1.2.1
Даны матрицы 
и числа 
и 
Найти матрицу 
.
Вариант 6
.
Задание 1.2.2
Решить матричные уравнения: а) 
б) 
; в) 
.
Вариант 6 
.
Задание 1.2.3
Решить систему уравнений:
а) по правилу Крамера;
б) методом Гаусса;
в) матричным методом.
Вариант 5 
Вариант 6 
Решение:
Запишем систему в виде:
Посчитаем вспомогательные определители
Решим систему методом Гаусса. Запишем ее в виде расширенной матрицы
Умножи первую строку на -3 и добавим ко второй строке.
Умножим первую строку на 2 и добавим к третьей строке
Получим:
Разделим вторую строку на 5 и поменяем местами вторую и третью строки:
Добавим к третьей строке вторую, умноженную на -2
Разделим третью строку на 3:
Теперь исходная система запишется в виде
Из второй строки 
Из первой строки 
Запишем систему в матричном виде:
АХ=В, где
Найдем 
:
Задание 1.2.4
Решить системы уравнений.
Вариант 6 а) 
б) 
а).Составим матрицу системы:
Поменям местами вторую и третью строки
Добавим к полученной третьей строке первую, умноженную на 2
Система принимает вид:
Из второго уравнения 
Из первого уравнения
б).Составим матрицу системы:
Добавим ко второй строке первую, умноженную на -3
Добавим к третьей строке первую, умноженную на -5
Из полученных второй и третьей строки видно, что система не имеет решения
|
|
|
Раздел 1.3 Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Задание 1.3.1
Даны вершины пирамиды ABCD и точка 
.
Найти:
а) длину ребра АВ;
б) косинус угла между ребрами АВ и СD;
в) площадь грани АВС;
г) объем пирамиды;
д) уравнение прямой, на которой лежит ребро АВ;
е) уравнение прямой, на которой лежит высота 
пирамиды, опущенная из вершины 
.
Выяснить, лежат ли точки 
и 
по одну сторону от плоскости грани 
или по разные?
Вариант 6
.
Решение:
Длина ребра 
Из формулы скалярного произведения векторов АВи СD
Площадь грани АВС находим по формуле:
Теперь
Объем пирамиды вычислим по формуле
Вычислим векторы: 
, 
, 
Смешанное произведение: 
Итак,
Уравнение прямой, проходящей через точки А и В:
То есть
Уравнение высоты пирамиды через вершину A
Найдем уравнение плоскости ABC, оно представляется уравнением:
(x-3)((-5) • 7-(-5) • 3) - (y-2)(2 • 7-(-8) • 3) + (z+5)(2 • (-5)-(-8) • (-5)) = -20x - 38y - 50z-114 = 0
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Задание 1.3.2
Кривая в полярной системе координат задана уравнением 
.
Требуется:
а) изобразить кривую по точкам, придавая 
значения из промежутка 
с шагом p/8;
б) записать уравнение этой кривой в декартовой прямоугольной системе координат, согласованной с полярной, и определить тип этой кривой.
Вариант 6 
.
Используя формулы
получаем
Раздел 1.4 Линейные пространства и операторы
Задание 1.4.1
Образует ли линейное подпространство пространства 
множество 
, заданное по правилу:
Вариант 6 а) 
б) 
Возьмем вектора 
и 
н
Составим вектор 
где 
.
Выясним, принадлежит ли он множеству V
а) 
Множество образует линейное подпространство
в) 
Множество не является линейным подпространством
Задание 1.4.2
Даны векторы 
и 
в стандартном базисе пространства .
Требуется:
а) убедиться, что векторы 
и 
образуют базис пространства ;
б) найти разложение вектора по этому базису;
в) найти угол между векторами 
.
Вариант 6 
Решение:
Вычислим определитель, составлнный из координат заданных векторов:
|
|
|
Заданные вектора образуют базис
Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение:
Перепишем векторное уравнение в матричном виде и решим его методом Гауса
Первую строку умножаем на -1
Ко второй и четвертой строкам добавляем первую
Меняем местами вторую и третью строки
К четвертой, умноженной на -2 добавляем третью строку
От первой строки отнимем вторую
К третьей строке добавим четвертую, умноженную на 3
К первой строке добавим третью, умноженную на 5
Вторую строку разделим на 2
Четвертую строку умножим на -1
К первой строке добавим четвертую, умноженную на 9
Ко второй строке добавим третью, умноженную на -3
Ко второй строке добавим четвртую, умноженную на -4
Разложение вектора а по заданному базису:
Задание 1.4.3
Установить, являются ли заданные отображения 
линейными. В случае линейности отображения записать матрицу оператора 
в каноническом базисе 
, 
, 
, 
.
Вариант 6 а) 
;
б) 
.
Отображения будут линейными, если для них выполняются следующие свойства:
Проверим выполнение первого условия. Возьмем
Тогда
То есть 
Далее 
Таким образом, отображение является лиейным
Найдем матрицу этого оператора в каноническом базисе 
, 
, 
, 
.
В силу линейности оператора для произвольного
.
Для заданного преобразования (оператора)
Преобразованный вектор 
имеет в стандартном базисе координаты
Такому оператору соответствует матрица:
Так как
б).
Очевидно, что 
,следовательно, отображение не является линейным
Задание 1.4.4
Линейный оператор 
в базисе 
представлен матрицей .
Найти матрицу этого линейного оператора в базисе 
.
Вариант 6 
Решение:
При переходе от «старого» базиса 
к «новому» базису 
изменяются координаты векторов пространства и, следовательно, изменяется матрица линейного оператора. При этом, матрица 
оператора в «старом» базисе и матрица 
того же оператора в «новом» базисе связаны соотношением 
, где 
- матрица перехода от «старого» базиса к «новому», то есть квадратная матрица, столбцы которой состоят из координат новых базисных векторов в «старом» базисе.
|
|
|
Составим матрицу перехода
и вычислим .
Тогда
Задание 1.4.5
Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в базисе матрицей .
Вариант 6 
.
Решение:
Ненулевой вектор 
называется собственным вектором, а число 
-соответствующим вектору собственным значением оператора , если 
или 
.
Для заданной матрицы последнее матричное уравнение примет вид
Этому матричному уравнению соответствует однородная линейная система уравнений
Для того, чтобы однородная система имела ненулевые решения необходимо, чтобы её определитель был равен нулю.
Уравнение
называется характеристическим уравнением.
Для нахождения собственных значений решим его:
Таким образом, собственными значениями линейного оператора, заданного матрицей (собственными значениями матрицы ), являются
Найдем собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям, то есть векторы 
.
Для 
получим систему уравнений для нахождения координат первого собственного вектора
Полагая 
, получим координаты первого собственного вектора 
.
При 
, получим
.
Для 
получим систему уравнений для нахождения координат второго собственного вектора
Полагая 
, получим координаты второго собственного вектора
При , получим
Для 
получим систему уравнений для нахождения координат третьего собственного вектора
Полагая , получим координаты третьего собственного вектора
При , получим
Задание 1.4.6
Линейным преобразованием координат привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и определить тип кривой.
Вариант 6 
.
Решение.
Приводим квадратичную форму
к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы:
Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
Характеристическое уравнение:
Вид квадратичной формы:
5x21
Исходное уравнение определяет параболу (λ2 = 0)
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B.
Или
Собственный вектор, отвечающий числу λ1 = 5 при x1 = 2:
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор:
или
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ2 = 0, находим из системы:
или
или
Итак, имеем новый ортонормированный базис (i1, j1).
|
|
|
Переходим к новому базису:
Или
Вносим выражения x и y в исходное уравнение 4x2 - 4xy + y2 - 2x - 14y + 7 и, после преобразований, получаем:
Выделяем полные квадраты:
для x1:
Или
Часть 2 Математический анализ
Раздел 2.1 Введение в анализ
Задание 2.1.1
Найти пределы функций в точке 
, используя свойства пределов, замечательные пределы и сравнение бесконечно малых.
Вариант 6
1) 
: а) 
, б) 
, в) 
,г) 
.
2) 
.
3) 
.
4) 
.
Решение.
Найдем корни первого многочлена:
4 x2 +3 x - 1 = 0
Найдем корни второго многочлена:
3 x2 +4 x + 1 = 0
Получаем:
Задание.
Найти предел:
Решение.
Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=-1, то -1 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x +1).
.
.
Задание 2.1.2
Исследовать на непрерывность функции 
и построить эскизы их графиков.
Вариант 6 а) 
б) 
.
Решение:
а). функция непрерывна на всей области определения
б) Функция непрерывна при условии, что
или 
x≠3 x>2 или x<-2
То есть функция непрерывна на 
Раздел 2.2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Задание 2.2.1
Используя определение, найти производную функции.
Вариант 6 
.
Решение:
Задание 2.2.2
Найти производные 
следующих функций:
Вариант 6
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
.
Решение:
Задание 2.2.3
Для заданной функции 
найти дифференциалы первого и второго порядков 
и 
.
Вариант 6 
.
Решение:
Задание 2.2.4
Пользуясь правилом Лопиталя, найти предел.
Вариант 6 
.
Задание 2.2.5
Средствами дифференциального исчисления исследовать функцию 
и построить её график.
Значения коэффициентов В и С приведены в таблице.
| Вариант | ||||||||||
| В | –2 | |||||||||
| С |
Решение:
|
|
|
